2014届湖南汝城第一中学、长沙实验中学高三11月联考文数学卷（带解析）.doc

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1、2014届湖南汝城第一中学、长沙实验中学高三 11月联考文数学卷（带解析） 选择题 设全集 ,集合 ，则集合 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：依题意， ，所以. 考点：集合的基本运算 定义在 R上的函数 f(x)满足 f(4)=1， 为函数 f(x)的导函数，已知的图像如图所示，若两个正数 a,b满足 f (2a+b)1，则 的取值范围是（ ） A B CD 答案： A 试题分析：由函数 的图像可知， 时， . 时， .所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增 . 是两个正数， .又 f(4)=1， .故 .以 为横轴，为纵轴，作出由不等式组 表示的平面区域 .则 表示点 到点

2、的斜率 .由下图可知，点 在黄色区域内，则易知， ，所以 .故选 A. 考点：线性规划、斜率公式、导函数与单调性 设双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过 的直线与双曲线的右支交于 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意 、 ，其中 ，且 .由题意不妨设点 在第一象限，点 在第四象限 .双曲线 的左右两支渐近线分别为 、 .设点 到渐近线 、 的距离分别为，点 到渐近线 、 的距离分别为 .因为 是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以 ，而 . .由双曲线的几何性质， 、 、 ，代入得 ，又易知， ， .设 ,则易知 .又 为直

3、角，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上 .由及点 在第一象限得 .又可知直角 的斜边 ， .而 ，所以 .由 得 ，两边平方得： ， . .即 . 考点：直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的几何性质 已知 ，则 “ab 1”是 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：依题意，由 ，而 不一定能得到 ab 1，所以 “ab 1”是 的充分而不必要条件 . 考点：充分条件与必要条件、重要不等式 在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（ ） A（ - ， 0） B（ 0， ） C（ ， ） D（ ， ） 答案： C 试题分析：依题意

4、，易知函数 是增函数，又， ，.所以函数 的零点所在的区间为（ ， ） . 考点：函数的零点存在性定理 等差数列 中 ,若 ,则 的值为（ ） A 180 B 240 C 360 D 720 答案： C 试题分析：等差数列 中， ，所以 ，. 考点：等差数列的性质 已知某几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥 ，其中底面三角形 为等腰三角形， .又易知 ， ，底面三角形 中边 上的高为 2.所以. 考点：三视图、三棱锥的体积公式 设 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 的值为（ ） A B C 1 D

5、3 答案： D 试题分析：依题意， 是纯虚数，所以. 考点：复数的概念与运算 填空题 某计算装置有一个数据入口 A和一个运算出口 B，从入口 A输入一个正整数 n时，计算机通过循环运算，在出口 B输出一个运算结果，记为 f(n).计算机的工作原理如下： 为默认值， f(n 1)的值通过执行循环体 “f(n 1)”后计算得出 .则 f(2) ；当从入口 A输入的正整数 n _ _时，从出口 B输出的运算结果是 . 答案： ， 12. 试题分析：由 及 得，. ， 所以 ， . 所以 ，由 . 考点：算法、累乘法 已知 点 在 上的射影为点 ，则的最大值为 . 答案： 试题分析：依题意知， ，因为

6、 ，所以点 在以点 为圆心的单位圆上 .又点 在 上的射影为点 ，所以 .则可知，当点 在如图所示的位置时，即 为如图所示以点 为圆心的单位圆的切线时， 的值最大 .由 ，得 ，所以， .由 得，. 考点：向量的模、向量的数量积 执行上面（图右）的程序框图，输出的 S值为 . 答案： 试题分析：由程序图可知，输出的 . 考点：程序框图 某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出 100名，已知抽到的职工的月收入都在 元之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如图（图左）所示，则该单位职工的月收入的平均数大约是 元 . 答案： 试题分析：由图易知，月收入在

7、、 、 、 的频率分别是 0.1、 0.2、 0.25、 0.15、 0.05，所以月收入在 的频率为 0.25.所以该单位职工的月收入的平均数为=2900. 考点：频率分布直方图、平均数 设 是第三象限角，且 ，则 . 答案： 试题分析： ,又 ， 是第三象限角，所以易得 . 考点：三角函数诱导公式 在直角坐标系 xOy中，过椭圆 （ 为参数）的右焦点，斜率为的直线方程为 答案： 试题分析：由 ，即 ，所以右焦点坐标为（ 4,0） .又斜率为 ，故易得所求直线方程为 .即. 考点：参数方程、直线的点斜式方程 解答题 在 中， a， b， c分别为内角 A， B， C的对边，已知：， 的外接圆

8、的半径为 . (1)求角 C的大小； (2)求 的面积 S的最大值 . 答案： (1) ；（ 2） . 试题分析： (1)先由正弦定理求出 与 的关系，再代入已知条件中，得到 ，再由余弦定理得 ，从而得到 ；（ 2）由 的面积 及上问得到的已知条件代入，通过三角恒等变换，得到 ，再通过 的范围，得到面积S的最大值 . 试题：（ 1）由正弦定理有 ， ，故有 ，即有 ，又 ， . (2)由（ 1）可知， ，故 . 又 的面积 又因为 ，故 . 所以当 即 时，面积 S取最大值 . 考点： 1.正弦定理； 2.余弦定理； 3.三角恒等变换 . 已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样

9、统计如下表： A B C A 7 20 5 B 9 18 6 C a 4 b 若抽取学生 n人，成绩分为 A(优秀 )、 B（良好）、 C(及格 )三个等级，设 x， y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为 B等级的共有20+18+4=42人，已知 x与 y均为 B等级的概率是 0.18 （ 1）若在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 a， b的值； （ 2）在地理成绩为 C等级的学生中，已知 a10， b8，求数学成绩为 A等级的人数比 C等级的人数少的概率 答案： (1) , ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由已知条件 x与 y均为 B等级的概率是 0. 18以及表中 x

10、与 y均为 B等级的人数是 18，从而得到总人数为 100.所以得到 .又根据该样本 中，数学成绩优秀率是 30%得到 ，从而 ；（ 2）由 及a10， b8得到所以 可能情况 . 其中数学成绩为 A等级的人数比 C等级的人数少即 的情况有 6种，从而得到所求概率为 . 试题： (1)由题意可知， ，所以 7+20+5+9+18+6+a+4+b=100,故 .又在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，所以， . (2)因为 ， a10， b8，故满足条件的 有：（ 10,21）、（ 11,20）、（ 12,19）、（ 13,18） （ 23,8）共 14种，其中 的有（ 10,21）、（ 11,

11、20）、（ 12,19）、（ 13,18）、（ 14,17）、（ 15,16）共 6种，所以数学成绩为 A等级的人数比 C等级的人数少的概率 . 考点： 1.抽样统计； 2.随机事件的概率 . 如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD为边长为 5的正方形， AE 平面 CDE， AE=3. (1)若 为 的中点，求证： 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值 答案： (1)详见；（ 2） . 试题分析： (1)由 为 的中点，连结 交于 ，从而得到 为 中点，再由三角形中位线知识得到线线平行，从而得到 平面 ； (2) 过 作于 ，连结 .再根据已知条件证明 平面 . 为与平面

12、的所成角的平面角 .再解直角三角形 ，得到. 试题： (1)连结 交于 ，连 为 中点， 为 中点， 平面 ， 平面 ， 平面 （ 6分） （ 2）过 作 于 ，连结 ， (7分 ) 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， 为 在平面 内的射影， 为 与平面 的所成角的平面角，又 平面， 为直角三角形， ，且 ， （ 12分） 考点： 1.线面平行的判定定理； 2.线面垂直的判定定理； 3.直线与平面所成的角 . 大学生自主创业已成为当代潮流某大学大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品银行贷款的年利率为 6%，约定一年后

13、一次还清贷款已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的 20%,当月房租等其他开支 1500元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出 （ 1)设夏某第 n个月月底余 元，第 n+l个月月底余 元，写出 a1的值并建立与 的递推关系； （ 2）预计年底夏某还清银行 贷款后的纯收入 答案： (1) , ；（ 2） 20532. 试题分析：（ 1）由每月月底获得的利润是该月月初投人资金的 15，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的 20%,当月房租等其他开支 1500元及今年一月初向银行贷款两万元即可得

14、到 .然后根据条件得到；（ 2）由递推公式经变形，可通过等比数列通项公式得到 ，再将 代入得到.又年底偿还银行本利总计,从而得到年底夏某还清银行贷款后的纯收入 . 试题： (1)依题意， （元） （ 2）令 ， ，对比（ 1）中的递推公式，得 . 则 ，即 . 则 （元） 又年底偿还银行本利总计 （元） 故该生还清银行贷款后纯收入 （元） . 考点： 1.数列的递推公式； 2.等比数列的通项公式 . 已知中心在原点 O，焦点在 x轴上，离心率为 的椭圆过点 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设不过原点 O的直线 与该椭圆交于 P， Q两点，满足直线的斜率依次成等比数列， 求 面积的取值范围 .

15、答案： (1) ；（ 2） . 试题分析： (1)先设出椭圆方程为 ，再根据条件离心率为及椭圆上的点 ，代入即可得到椭圆方程；（ 2）先设出直线 方程及 ，然后联立椭圆方程得到及.再由直线 的斜率依次成等比数列得到 ，由 得到 .代入 中及直线 的斜率存在得到 ，且 ，然后由点到直线的距离公式及两点间距离公式得到 面积 .最后由基本不等式得到 ，从而得到 面积的取值范围 . 试题： (1) 由题意可设椭圆方程为 ，则 （其中， ），且 ，故 . 所以椭圆的方程为 . (2)由题意可知，直线 的斜率存在且不为 0.故可设直线 ： ， 设 ， 由 ，消去 得 ， 则 ， 且 ， 故 ， 因为直线

16、的斜率依次成等比数列， 所以 ，即 . 又 ，所以 ，即 . 由于直线 的斜率存在，且 ，得 ，且 ， 设 为点 到直线 的距离，则 ， ， 所以 ， 故 面积的取值范围为 . 考点： 1.椭圆的标准方程及几何性质； 2.直线与圆锥曲线的位置关系； 3.点到直线的距离公式； 4.基本不等式 . 设函数 （ 1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （ 2）当 时，求函数 的单调区间； （ 3）在（ 2）的条件下，设函数 ，若对于 1， 2， 0， 1，使 成立，求实数 的取值范围 . 答案： (1) ；（ 2）递增区间为（ 1,2），递减区间为（ 0,1）， ；（ 3） . 试题分析： (1)将

17、 代入，分别得到 ， ，再由点斜式得到在 处的切线方程为 ；（ 2）将 代入得到，从而得到递增区间为（ 1,2），递减区间为（ 0,1）， ；（ 3）先将题设条件转化为 在 0,1上的最小值不大于在 1,2上的的最小值 .再得到 ，然后讨论 的范围，又 在 1,2上最小值为 .由单调性及从而得到 的取值范围为 . 试题： (1)函数 的定义域为 ， 当 时， ， ， ，故 . 所以 在 处的切线方程为 . (2)当 时， . 故当 或 时， ；当 时， . 所以函数的递增区间为（ 1,2），递减区间为（ 0,1）， . (3)由（ 2）知， 在（ 1,2）上为增函数， 所以 在 1,2上的最小值为 ， 若对于 1， 2， 0， 1，使 成立 在 0,1上的最小值不大于 在 1,2上的的最小值 . 又 ， 当 时， 在 0,1上为增函数， 与题设不符 . 当 时， ，由 及 ，得； 当 时， 在 0,1上为减函数， 及 得 . 综上所述， 的取值范围为 . 考点： 1.导数； 2.直线的方程； 3.函数的单调性与最值 .