2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-全国卷1.pdf

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1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，

2、只有一项是 符合题目要求的 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 3 4 3 VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) ( 01,2 ) kk nk nn Pk CP P k n =L， 一、选择题 1函数 1yxx=+ 的定义域为 A | 1xx B | 0 xx C | 1

3、0 xx x或 D |0 1xx 2汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是 s t O A s t O s t O s t O B C D 3 5 1 2 x + 的展开式中 2 x 的系数为 A 10 B 5 C 5 2 D 1 4曲线 3 24yx x=+在点 (1 3)， 处的切线的倾斜角为 A 30 B 45 C 60 D 120 5在 ABC 中， AB =c， AC =b若点 D 满足 2BDDC= uuur uuur ，则 AD uuur = A 3 2 b+ 3 1 c B 3 5 c- 3 2

4、 b C 3 2 b- 3 1 c D 3 1 b+ 3 2 c 6 2 (sin cos ) 1yxx= 是 A最小正周期为 2的偶函数 B最小正周期为 2的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的奇函数 7已知等比数列 n a 满足 12 23 36aa aa+= +=， ，则 7 a = A 64 B 81 C 128 D 243 8若函数 ()yfx= 的图象与函数 ln 1yx= + 的图象关于直线 yx= 对称，则 ()f x = A e 2x-2 B e 2x C e 2x+1 D e 2x+2 9为得到函数 cos 3 yx =+ 的图象，只需将函数 y=sinx

5、的图像 A向左平移 6 个长度单位 B向右平移 6 个长度单位 C向左平移 5 6 个长度单位 D向右平移 5 6 个长度单位 10若直线 1 xy ab +=与圆 x 2 +y 2 =1 有公共点，则 A a 2 +b 2 1 B a 2 +b 2 1 C 22 11 1 ab + D 22 11 ab + 1 11 已知三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 的侧棱与底面边长都相等， A 1 在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心，则 1 AB 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 12将 1， 2， 3 填入 33 的方格中，要求每行

6、、每列都没有重复数字， 下面是一种填法，则不同的填写方法共有 A 6 种 B 12 种 C 24 种 D 48 种 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 1 2 3 3 1 2 2 3 1 文科数学（必修 +选修） 第卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第卷共 7 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作答无效 3本卷共 10 小题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填

7、在题中横线上 （注意：在试题卷上作答无效 ） 13若 x y， 满足约束条件 0 30 03 xy xy x + + ， ， ， 则 2zxy= 的最大值为 14已知抛物线 y=ax 2 -1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三 角形面积为 15在 ABC 中， 90A= o ， 3 tan 4 B = 若以 AB， 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆 的离心率 e = 16已知菱形 ABCD 中， 2AB = ， 120A= o ，沿对角线 BD 将 ABD 折起，使二面角 ABDC为 120 o ，则点 A 到 BCD 所在平面的距离等于 三、解答题：本大题共 6

8、小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 设 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边长分别为 a、 b、 c，且 a cosB=3， b sinA=4 （）求边长 a； （）若 ABC 的面积 10S = ，求 ABC 的周长 l 18 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 四棱锥 A - BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC底面 BCDE， BC=2， 2CD = ， AB AC= （）证明： AD CE； （）设侧面 ABC 为等边三角形，求二面角 C - AD - E 的大

9、小 19 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 在数列 a n 中， a 1 =1, a n+1 =2a n +2 n . （）设 1 2 n n n a b = 证明：数列 n b 是等差数列； （）求数列 n a 的前 n 项和 n S 20 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验 结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这 3

10、只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中 任取 1 只化验 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率 21 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知函数 32 () 1f xxaxx=+ +， aR （）讨论函数 ()f x 的单调区间； （）设函数 ()f x 在区间 21 33 ， 内是减函数，求 a 的取值范围 C D E A B 22 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 12 ll， ，经过右焦点 F 垂直于 1 l 的直

11、线分别交 12 ll， 于 AB， 两点已知 OA AB OB uuur uuur uuur 、 成等差数列，且 BF uuur 与 FA uuur 同向 （）求双曲线的离心率； （）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B A D A A 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 C D B B 9 2 2 1 2 3 17、解： （ I）依题设得 4 3 sin cos = Ab Ba 由正弦定理得 B A b a sin sin = 所以

12、 4 3 sin cos = B B )cos1( 16 9 sin 16 9 cos 222 BBB = 即 25 9 cos 2 =B 依题设知 a 2 cos 2 B=9 所以 a 2 =25，得 a=5 （ II）因为 S= ,2sin 2 1 cAbc = 所以，由 S=10 得 c=5 应用余弦定理得 b= 52cos2 22 =+ Bacca 故 ABC 的周长 l =a+b+c=2(5+ 5 ) 18解法一： (I)作 AO BC，垂足为 O，连接 OD，由题设知， AO底面 BCDE，且 O 为 BC 中点， 由 2 1 = DE CD CD OC 知， Rt OCD Rt

13、CDE， 从而 ODC= CED，于是 CE OD， 由三垂线定理知， AD CE （ II）作 CG AD，垂足为 G，连接 GE。 由（ I）知， CE AD， 又 CE CG=C，故 AD平面 CGE， AD GE， 所以 CGE 是二面角 C-AD-E 的平面角。 GE= ,6, 3 10 6 52 ) 2 1 ( 22 = = CE AD DEADDE cos CGE= 10 10 3 10 3 2 2 6 3 10 3 4 2 222 = + = + GECG CEGECG 所以二面角 C-AD-E 为 arccos( 10 10 ) 解法二： （ I）作 AO BC，垂足为 O，

14、由题设知 AO底面 BCDE，且 O 为 BC 的中点，以 O 为坐 标原点，射线 OC 为 x 轴正向，建立如图所示的直角坐标系 O-xyz. 设 A（ 0,0,t） ，由已知条件有 C(1,0,0), D(1, 2 ,0), E(-1, 2 ,0), ),2,1(),0,2,2( tADCE = 所以 0= ADCE ，得 AD CE （ II） ABC 为等边三角形，因此 A（ 0， 0， 3 ） 作 CG AD，垂足为 G，连接 GE，在 Rt ACD 中，求得 |AG|= 3 2 |AD| 故 G（ 3 3 , 3 22 , 3 2 ） = = 3 3 , 3 2 , 3 5 , 3

15、 3 , 3 22 , 3 1 GEGC 又 )3,2,1( =AD 0,0 = ADGEADGC 所以 GEGC与 的夹角等于二面角 C-AD-E 的平面角。 由 cos( GEGC, )= 10 10 | = GEGC GEGC 知二面角 C-AD-E 为 arccos( 10 10 ) （ 19） 解： （ I）由已知 a n+1 =2a n +2 n 得 b n+1 = 11 22 22 2 1 1 +=+= + = + n n n n n n n n b aaa 又 b 1 =a 1 =1，因此 b n 是首项为 1，公差为 1 的等差数列 （ II）由（ I）知 1 1 2, 2

16、= n n n nan a n 即 S n =1+22 1 +32 2 + +n2 n 1 两边乘以 2 得 2S n =2+22 2 + +n2 n 两式相减得 S n = 1 2 1 2 2 2 n 1 +n2 n = (2 n 1)+n2 n =(n 1)2 n +1 （ 20）解： 记 A 1 、 A 2 分别表示依方案甲需化验 1 次、 2 次， B表示依方案乙需化验 3 次， A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知 A 2 与 B 独 立，且 BAAA 21 += 5 1 C 1 )A(P 1 5 1 = ， 5 1 A A )A(P 2 5 1 4 2 =

17、 ， 5 2 )( 1 3 3 5 1 2 2 4 = = CC CC BP 。 P(A )=P(A 1 +A 2 B) =P(A 1 )+P(A 2 B) =P(A 1 )+P(A 2 )P(B) = 5 2 5 1 5 1 + = 25 7 所以 P(A)=1-P( A )= 25 18 =0.72 （ 21）解： （ I） f (x)=3x 2 +2ax+1 判别式 =4(a 2 -3) (i)若 a 3 或 a0， f(x)是增函数； 在（ 3 3 , 3 3 22 + aaaa ）内 f (x)0， f(x)是增函数 (ii)若 33 0，故此时 f(x)在 R 上是增函数 (iii

18、)若 a= 3 ，则 f ( 3 a )=0，且对所有的 x 3 a 都有 f (x)0，故当 a= 3 时， f(x)在 R 上是增函数 （ II）由（ I）知，只有当 a 3 或 a 3 时，由、解得 a 2 因此 a 的取值范围是 2,+ ) 22、解： （）设双曲线方程为 1 b y a x 2 2 2 2 = (a0,b0)，右焦点为 F(c,0)(c0)，则 c 2 =a 2 +b 2 不妨设 l 1 ： bx-ay=0， l 2 ： bx+ay=0 则 b ba |0acb| |FA| 22 = + = ， aAFOF|OA| 22 = 因为 | AB 2 + | OA 2 =

19、| OB 2 ，且 | OB =2 | AB - | OA ， 所以 |AB| 2 + |OA| 2 =(2 |AB| - |OA| ) 2 ， 于是得 tan AOB= 3 4 |OA| |AB| = 。 又 BF 与 FA 同向，故 AOF= 2 1 AOB， 所以 3 4 AOFtan1 AOFtan2 2 = 解得 tan AOF= 2 1 ，或 tan AOF=-2（舍去） 。 因此 b5bac,b2a, 2 1 a b 22 =+= 所以双曲线的离心率 e= a c = 2 5 （）由 a=2b 知，双曲线的方程可化为 x 2 -4y 2 =4b 2 由 l 1 的斜率为 2 1 ， c= 5 b 知，直线 AB 的方程为 y=-2(x- 5 b) 将代入并化简，得 15x 2 -32 5 bx+84b 2 =0 设 AB 与双曲线的两交点的坐标分别为 (x 1 ,y 1 )， (x 2 ,y 2 )，则 x 1 +x 2 = 15 b532 ， x 1 x 2 = 15 b84 2 AB 被双曲线所截得的线段长 l= xx4)xx(5|xx|)2(1 21 2 2121 2 +=+ 将代入，并化简得 l= 3 b4 ，而由已知 l=4，故 b=3， a=6 所以双曲线的方程为 1 9 y 36 x 22 =