2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-北京卷.pdf

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1、绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文史类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页。第卷 3 至 9 页，共 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡颇擦 干净后，再选涂其他答案。不能答在试卷上。 一、本大题共 8 小题，第小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。

2、（ 1）若集合 A=x|-2 x 3 3, B=x|x4, 则集合 A B 等于 （ A） x|x 3 或 x4 （ B） x| 1x 3 （ C） x|3 x4 (D) x| 2 xbc （ B） bac （ C） cab （ D） bca （ 3） “双曲线的方程为 1 169 22 = yx ”是“双曲线的准线方程为 x= 5 9 ”的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 4）已知 ABC 中， a= 2 ,b= 3 ,B=60 ,那么角 A 等于 （ A） 135 (B)90 (C)45 (D)30 （ 5）函数

3、f(x)=(x-1) 2 +1(x1) （ B） f -1 (x)=1- 1x (x1) （ C） f -1 (x)=1+ 1x (x 1) （ D） f -1 (x)=1- 1x (x 1) x-y+1 0, （ 6）若实数 x， y 满足 x+y 0, 则 z=x+2y 的最小值是 x 0, (A)0 (B) 2 1 (C) 1 (D)2 （ 7）已知等差数列 a n 中， a 2 =6,a 5 =15.若 b n =a 2n ,则数列 b n 的前 5 项和等于 (A)30 （ B） 45 (C)90 (D)186 （ 8）如图，动点 P 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D

4、1 的对角线 BD 1 上，过点 P 作垂直平面 BB 1 D 1 D 的直线，与正方体表面相交于 M、 N.设 BP=x,MN=y,则函数 y=f(x)的图象大致是 绝密使用完毕前 2008 年普通高等学校校招生全国统一考试 数学（文史类） （北京卷） 第卷（共 110 分） 注意事项： 1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 三 题号 二 15 16 17 18 19 20 总分 分数 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 (9)若角 a 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2a 的值为 .

5、(10)不等式 1 2 1 + x x 的解集是 . (11)已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且 a = |b| = 4,那么 a b 的值为 . (12)若 5 3 2 ) 1 ( x x + 展开式中常数项为 ；各项系数之和为 .（用数字 作答） (13)如图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC, 其中 A,B,C 的 坐标分别为 （ 0， 4） ，（ 2， 0） ，（ 6， 4） ， 则 f(f(0)= ; 函数 f(x)在 x=1 处的导数 f（ 1） = . (14)已知函数 f(x)=x 2 - cos x, 对于 22 ， 上的任意 x 1 ,x 2 ,有如下条件： x

6、 1 x 2 ; x 2 1 x 2 2 ; |x 1 |x 2 . 其中能使 f(x 1 ) f(x 2 )恒成立的条件序号是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。 （ 15） （本小题共 13 分） 已知函数 2 ( ) sin 3 sin sin( )( 0) 2 fx x x x =+ +f 的最小正周期为 . （）求的值； （）求函数 f(x)在区间 0， 2 3 上的取值范围 . （ 16） （本小题共 14 分） 如图，在三棱锥 P-ABC 中， AC=BC=2， ACB=90， AP=BP=AB， PC AC. （）求证：

7、PC AB； （）求二面角 B-AP-C 的大小 . （ 17） （本小题共 13 分） 已知函数 32 () 3 ( 0), () () 2fx x ax bx cb gx fx= + = 且 是奇函数 . （）求 a,c 的值； （）求函数 f(x)的单调区间 . （ 18） （本小题共 13 分） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A， B， C， D 四个不同的岗位服务，每个岗位 至少有一名志愿者 . （）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； （）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。 （ 19） （本小题共 14 分） 已知 ABC 的顶点 A， B 在椭圆 22 34xy+

8、 = 上， C 在直线 l: y=x+2 上，且 AB l. （）当 AB 边通过坐标原点 O 时，求 AB 的长及 ABC 的面积； （）当 ABC=90，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程 . （ 20） （本小题共 13 分） 数列 a n 满足 2 11 1, ( ) ( 1,2,.), . nn aa nnan + =+ = 是常数 （）当 a 2 =-1 时，求及 a 3 的值； （）数列 a n 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （）求的取值范围，使得存在正整数 m, 当 n m 时总有 a n 0. 绝密考试结束前 2008 年

9、普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类） （北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （ 1） D （ 2） A （ 3） A （ 4） C （ 5） B （ 6） A （ 7） C （ 8） B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （ 9） 4 3 （ 10） |x|x -2| （ 11） -8 （ 12） 10 32 （ 13） 2 -2 （ 14） 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （ 15） （共 13 分） 解： （） 1cos2 3 () sin2 22 x f xx =+ = 31 1 sin cos 2 22 2 xx+ =

10、 1 sin(2 ) . 62 x + 因为函数 f(x)的最小正周期为 ,且 0， 所以 2 2 = 解得 =1. （）由（）得 1 () sin(2 ) . 62 fx x =+ 因为 0 x 2 3 ， 所以 6 2 6 x 7 . 6 所以 1 2 sin (2 ) 6 x 1. 因此 0 1 sin(2 ) 62 x + 3 2 ，即 f(x)的取值范围为 0， 3 2 （ 16） （共 14 分） 解法一： （）取 AB 中点 D，连结 PD， CD. AP=BP， PD AB. AC=BC. CD AB. PD CD D. AB平面 PCD. PC平面 PCD， PC AB. （

11、） AC=BC, AP=BP, APC BPC. 又 PC AC， PC BC. 又 ACB 90，即 AC BC， 且 AC PC=C， BC平面 PA C 取 AP 中点 E,连接 BE,CE AB=BP BE AP. EC 是 BE 在平面 PA C 内的射影， CE AP. BEC 是二面角 B-AP-C 的平面角 . 在 BCE 中， BCE=90 , BC=2, BE= 6 2 3 =AB ， sin BEC= . 3 6 = BE BC 二面角 B-AP-C 的大小为 aresin . 3 6 解法二： （） AC=BC, AP=BP, APC BPC. 又 PC AC. PC

12、BC. AC BC=C, PC平面 ABC. AB平面 ABC， PC AB. ( )如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz. 则 C（ 0， 0， 0） ， A（ 0， 2， 0） ， B（ 2， 0， 0） . 设 P（ 0， 0， t） , PB = AB 2 2 ， t=2, P(0,0,2). 取 AP 中点 E，连结 BE， CE. AC = PC , AB = BP , CE AP, BE AP. BEC 是二面角 B-AP-C 的平面角 . E(0,1,1), ),1,1,2(),1,1,0( = EBEC cos BEC= . 3 3 62 2 = = EBEC

13、EBEC 二面角 B-AP-C 的大小为 arccos . 3 3 （ 17） （共 13 分） 解： （）因为函数 g(x)=f(x)-2 为奇函数， 所以，对任意的 x R, g (-x)= -g (x), 即 f (-x)- 2= -f (x)+2. 又 f(x)=x 3 +ax 2 +3bx+c, 所以 -x 3 +ax 2 -3bx+c-2=-x 3 -ax 2 -3bx-c+2. 所以 .22 , += = cc aa 解得 a=0， c 2. （）由（）得 f(x)=x 3 +3bx+2. 所以 f (x)=3x 2 +3b(b 0). 当 b 0 时，由 f (x)=0 得 x

14、= .b x 变化时， f (x)的变化情况如下表： x (- ,- b ) - b (- b , b ) b (b ,+ ) f (x) + 0 - 0 + 所以，当 b 0 时，函数 f (x)在（ -， - b ）上单调递增，在（ - b ， b ）上单调 递减，在（ b ， +）上单调递增 . 当 b 0 时， f (x) 0.所以函数 f (x)在（ -， +）上单调递增 . （ 18） （共 13 分） 解： （）记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 E A ，那么 P（ E A ） = . 40 1 4 4 2 3 3 3 AC A 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是

15、 . 40 1 （）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件 E，那么 P（ E） . 10 1 4 4 2 3 4 4 = AC A 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P（ E ） =1-P(E)= . 10 9 （ 19） （共 14 分） 解： （）因为 AB l，且 AB 边通过点（ 0， 0） ，所以 AB 所在直线的方程为 y=x. 设 A， B 两点坐标分别为（ x 1 ,y 1 ） ,(x 2 ,y 2 ). 由 22 34,xy yx += = 得 1,x = 所以 12 222.AB x x= 又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离， 所以 1 2.

16、2. 2 ABC hS ABh= null null （）设 AB 所在直线的方程为 y=x+m. 由 22 34,xy yxm += =+ 得 22 46 3 40.xmxm+= 因为 A， B 在椭圆上， 所以 2 12 64 0.m= + 设 A， B 两点坐标分别为（ x 1 , y 1 ） ， （ x 2 , y 2 ） . 则 2 12 12 334 , 24 mm xx xx += = 所以 2 12 32 6 2. 2 m AB x x = 又因为 BC 的长等于点（ 0, m）到直线 l 的距离，即 2 . 2 m BC = 所以 222 22 2 10 ( 1) 11.AC

17、 AB BC m m m= +=+=+ 所以当 m=-1 时， AC 边最长 .（这时 12 64 0=+null ） 此时 AB 所在直线的方程为 y=x-1. (20)（共 13 分） 解： （）由于 2 1 ()(1,2), nn annan + =+ =且 a 1 =1， 所以当 a 2 = -1 时，得 12=, 故 3.= 从而 2 3 (2 2 3) ( 1) 3.a = += （）数列 a n 不可能为等差数列 .证明如下： 由 a 1 =1， 2 1 () nn anna + =+得 23 4 2, (6)(2), (12)(6)(2).aa a= = = 若存在 ，使 a

18、n 为等差数列，则 a 3 -a 2 =a 2 -a 1 ,即 (5 )(2 ) 1 = ， 解得 =3. 于是 21 43 1 2, (11 )(6 )(2 ) 24.aa aa = = = 这与 a n 为等差数列矛盾，所以，对任意 ， a n 都不可能是等差数列 . （）记 2 (1,2,), n bnn n=+= 根据题意可知， b 1 0 且 0 n b ，即 2 且 2 (nnn + N*)，这时总存在 0 n N*，满足：当 n n 0 时， b n 0；当 n n 0 -1 时， b n 0. 所以由 a n+1 =b n a n 及 a 1 =1 0 可知，若 n 0 为偶数，则 0 0 n a ，从而当 n n 0 时 a n 0；若 n 0 为奇数，则 0 0 n a ，从而当 n n 0 时 a n 0. 因此“存在 mN*，当 n m 时总有 a n 0”的充分必要条件是： n o 为偶数， 记 n o =2k(k=1,2, )，则 满足 2 2 2 21 (2 ) 2 0 (2 1) 2 1 0. k k bkk bk k =+ =+ ， 故 的取值范围是 2 42kk 4k 2 +2k (kN*).