2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ）数学文及答案解析.docx

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1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 新 课 标 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的1.已 知 集 合 M=x|-1 x 3， N=x|-2 x 1， 则 M N=( )A.(-2， 1)B.(-1， 1)C.(1， 3)D.(-2， 3)解 析 ： M=x|-1 x 3， N=x|-2 x 1， 则 M N=x|-1 x 1，答 案 ： B 2.若 tan 0， 则 ( )A.sin 0B.cos 0C

2、.sin2 0D.cos2 0解 析 ： tan 0， ， 则 sin2 =2sin cos 0.答 案 ： C.3.设 z= +i， 则 |z|=( ) A.B.C.D.2解 析 ： z= +i= +i= ， 故 |z|= = .答 案 ： B.4.已 知 双 曲 线 - =1(a 0)的 离 心 率 为 2， 则 a=( ) A.2B. C.D.1解 析 ： 双 曲 线 的 离 心 率 e= =2， 解 答 a=1.答 案 ： D.5.设 函 数 f(x)， g(x)的 定 义 域 都 为 R， 且 f(x)是 奇 函 数 ， g(x)是 偶 函 数 ， 则 下 列 结 论 中 正确 的

3、是 ( )A.f(x)g(x)是 偶 函 数B.|f(x)|g(x)是 奇 函 数C.f(x)|g(x)|是 奇 函 数 D.|f(x)g(x)|是 奇 函 数解 析 ： f(x)是 奇 函 数 ， g(x)是 偶 函 数 ， |f(x)|为 偶 函 数 ， |g(x)|为 偶 函 数 .再 根 据 两 个 奇 函 数 的 积 是 偶 函 数 、 两 个 偶 函 数 的 积 还 是 偶 函 数 、 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 的积 是 奇 函 数 ， 可 得 f(x)|g(x)|为 奇 函 数 ，答 案 ： C.6.设 D， E， F 分 别 为 ABC的 三 边 BC， CA

4、， AB 的 中 点 ， 则 + =( )A.B. C.D.解 析 ： D， E， F 分 别 为 ABC的 三 边 BC， CA， AB 的 中 点 ， + =( + )+( + )= + = ( + )= . 答 案 ： A 7.在 函 数 y=cos 丨 2x 丨 ， y=丨 cosx丨 ， y=cos(2x+ ) y=tan(2x- )中 ， 最 小 正周 期 为 的 所 有 函 数 为 ( )A. B. C. D. 解 析 ： 函 数 y=cos 丨 2x 丨 的 最 小 正 周 期 为 = ， y=丨 cosx丨 的 最 小 正 周 期 为 = ， y=cos(2x+ )的 最 小

5、 正 周 期 为 = ， y=tan(2x- )的 最 小 正 周 期 为 ，答 案 ： A8.如 图 ， 网 格 纸 的 各 小 格 都 是 正 方 形 ， 粗 实 线 画 出 的 是 一 个 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 这 个 几 何 体是 ( ) A.三 棱 锥B.三 棱 柱C.四 棱 锥D.四 棱 柱解 析 ： 根 据 网 格 纸 的 各 小 格 都 是 正 方 形 ， 粗 实 线 画 出 的 是 一 个 几 何 体 的 三 视 图 ， 可 知 几 何 体 如 图 ： 几 何 体 是 三 棱 柱 .答 案 ： B. 9.执 行 如 图 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 a

6、， b， k分 别 为 1， 2， 3， 则 输 出 的 M=( ) A.B.C.D.解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 第 一 次 循 环 M=1+ = ， a=2， b= ， n=2；第 二 次 循 环 M=2+ = ， a= ， b= ， n=3；第 三 次 循 环 M= + = ， a= ， b= ， n=4. 不 满 足 条 件 n 3， 跳 出 循 环 体 ， 输 出 M= .答 案 ： D.10.已 知 抛 物 线 C： y2=x 的 焦 点 为 F， A(x0， y0)是 C 上 一 点 ， |AF|= x0， x0=( )A.1B.2C.4D.8 解 析 ： 由 抛 物

7、线 的 定 义 ， 可 得 |AF|=x0+ ， |AF|= x0， x0+ = x0， x0=1，答 案 ： A.11.设 x， y满 足 约 束 条 件 ， 且 z=x+ay的 最 小 值 为 7， 则 a=( )A.-5B.3C.-5或 3D.5或 -3解 析 ： 由 约 束 条 件 作 可 行 域 如 图 ， 联 立 ， 解 得 . A( ).当 a=0时 A为 ( )， z=x+ay 的 最 小 值 为 ， 不 满 足 题 意 ；当 a 0 时 ， 由 z=x+ay 得 ，要 使 z最 小 ， 则 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 最 大 ， 满 足 条 件 的 最 优 解 不 存

8、 在 ；当 a 0 时 ， 由 z=x+ay 得 ，由 图 可 知 ， 当 直 线 过 点 A时 直 线 在 y轴 上 的 截 距 最 小 ， z 最 小 . 此 时 z= ， 解 得 ： a=3或 a=-5(舍 ).答 案 ： B.12.已 知 函 数 f(x)=ax3-3x2+1， 若 f(x)存 在 唯 一 的 零 点 x0， 且 x0 0， 则 a 的 取 值 范 围 是 ( )A. (2， + )B. (1， + ) C. (- ， -2)D. (- ， -1)解 析 ： 当 a=0时 ， f(x)=-3x2+1=0， 解 得 x= ， 函 数 f(x)有 两 个 零 点 ， 不 符

9、 合 题 意 ， 应舍 去 ；当 a 0 时 ， 令 f (x)=3ax2-6x=3ax =0， 解 得 x=0或 x= 0， 列 表 如 下 ： x + ， f(x) - ， 而 f(0)=1 0， 存 在 x 0， 使 得 f(x)=0， 不 符 合 条 件 ： f(x)存 在唯 一 的 零 点 x0， 且 x0 0， 应 舍 去 .当 a 0 时 ， f (x)=3ax2-6x=3ax =0， 解 得 x=0或 x= 0， 列 表 如 下 ：而 f(0)=1 0， x + 时 ， f(x) - ， 存 在 x 0 0， 使 得 f(x0)=0， f(x)存 在 唯 一 的 零 点 x0，

10、 且 x0 0， 极 小 值 = ，化 为 a2 4， a 0， a -2.综 上 可 知 ： a 的 取 值 范 围 是 (- ， -2).答 案 ： C.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分13.将 2 本 不 同 的 数 学 书 和 1 本 语 文 书 在 书 架 上 随 机 排 成 一 行 ， 则 2 本 数 学 书 相 邻 的 概 率为 .解 析 ： 首 先 求 出 所 有 的 基 本 事 件 的 个 数 ， 再 从 中 找 到 2 本 数 学 书 相 邻 的 个 数 ， 最 后 根 据 概 率公 式 计 算 即 可 . 答 案 ： 2 本 不

11、同 的 数 学 书 和 1本 语 文 书 在 书 架 上 随 机 排 成 一 行 ， 所 有 的 基 本 事 件 有 （ 数 学 1，数 学 2， 语 文 ） ， （ 数 学 1， 语 文 ， 数 学 2） ， （ 数 学 2， 数 学 1， 语 文 ） ， （ 数 学 2， 语 文 ， 数 学1） ， （ 语 文 ， 数 学 1， 数 学 2） ， （ 语 文 ， 数 学 2， 数 学 1） 共 6 个 ，其 中 2本 数 学 书 相 邻 的 有 （ 数 学 1， 数 学 2， 语 文 ） ， （ 数 学 2， 数 学 1， 语 文 ） ， （ 语 文 ， 数 学1， 数 学 2） ， （

12、语 文 ， 数 学 2， 数 学 1） 共 4个 ， 故 本 数 学 书 相 邻 的 概 率 P= .答 案 ： . 14.甲 、 乙 、 丙 三 位 同 学 被 问 到 是 否 去 过 A， B， C 三 个 城 市 时 ，甲 说 ： 我 去 过 的 城 市 比 乙 多 ， 但 没 去 过 B 城 市 ；乙 说 ： 我 没 去 过 C 城 市 ；丙 说 ： 我 们 三 人 去 过 同 一 城 市 ；由 此 可 判 断 乙 去 过 的 城 市 为 .解 析 ： 由 乙 说 ： 我 没 去 过 C 城 市 ， 则 乙 可 能 去 过 A 城 市 或 B 城 市 ，但 甲 说 ： 我 去 过 的

13、城 市 比 乙 多 ， 但 没 去 过 B城 市 ， 则 乙 只 能 是 去 过 A， B 中 的 任 一 个 ，再 由 丙 说 ： 我 们 三 人 去 过 同 一 城 市 ，则 由 此 可 判 断 乙 去 过 的 城 市 为 A.答 案 ： A. 15.设 函 数 f(x)= ， 则 使 得 f(x) 2成 立 的 x的 取 值 范 围 是 .解 析 ： x 1时 ， ex-1 2， x ln2+1， x 1；x 1 时 ， 2， x 8， 1 x 8，综 上 ， 使 得 f(x) 2成 立 的 x的 取 值 范 围 是 x 8.答 案 ： x 8.16.如 图 ， 为 测 量 山 高 MN

14、， 选 择 A 和 另 一 座 山 的 山 顶 C为 测 量 观 测 点 ， 从 A 点 测 得 M 点 的 仰角 MAN=60 ， C 点 的 仰 角 CAB=45 ， 以 及 MAC=75 ； 从 C 点 测 得 MCA=60 .已 知 山高 BC=100m， 则 山 高 MN= m. 解 析 ： ABC中 ， BAC=45 ， ABC=90 ， BC=100， AC= =100 . AMC中 ， MAC=75 ， MCA=60 ， AMC=45 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ，即 ， 解 得 AM=100 .Rt AMN中 ， MN=AMsin MAN=100 sin60 =150(m

15、)，答 案 ： 150.三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 .证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17.（ 12 分 ） 已 知 an是 递 增 的 等 差 数 列 ， a2， a4是 方 程 x2-5x+6=0的 根 .(1)求 an的 通 项 公 式 ；(2)求 数 列 的 前 n 项 和 .解 析 ： (1)解 出 方 程 的 根 ， 根 据 数 列 是 递 增 的 求 出 a2， a4的 值 ， 从 而 解 出 通 项 ；(2)将 第 一 问 中 求 得 的 通 项 代 入 ， 用 错 位 相 减 法 求 和 .答 案 ： (1)方 程 x 2-5x+6=0的

16、根 为 2， 3.又 an是 递 增 的 等 差 数 列 ，故 a2=2， a4=3， 可 得 2d=1， d= ， 故 an=2+(n-2) = n+1，(2)设 数 列 的 前 n 项 和 为 Sn，S n= ， Sn= ， - 得 S n= = ，解 得 Sn= =2- .18.（ 12 分 ） 从 某 企 业 生 产 的 产 品 中 抽 取 100件 ， 测 量 这 些 产 品 的 一 项 质 量 指 标 值 ， 由 测 量结 果 得 如 下 频 数 分 布 表 ：(1)在 表 格 中 作 出 这 些 数 据 的 频 率 分 布 直 方 图 ； (2)估 计 这 种 产 品 质 量 指

17、 标 的 平 均 数 及 方 差 （ 同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 作 代 表 ） ；(3)根 据 以 上 抽 样 调 查 数 据 ， 能 否 认 为 该 企 业 生 产 的 这 种 产 品 符 合 “ 质 量 指 标 值 不 低 于 95的 产 品 至 少 要 占 全 部 产 品 80%” 的 规 定 ？解 析 ： (1)根 据 频 率 分 布 直 方 图 做 法 画 出 即 可 ；(2)用 样 本 平 均 数 和 方 差 来 估 计 总 体 的 平 均 数 和 方 差 ， 代 入 公 式 计 算 即 可 .(3)求 出 质 量 指 标 值 不 低 于 95

18、 的 产 品 所 占 比 例 的 估 计 值 ， 再 和 0.8比 较 即 可 .答 案 ： (1)频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 ： (2)质 量 指 标 的 样 本 平 均 数 为 =80 0.06+90 0.26+100 0.38+110 0.22+120 0.08=100，质 量 指 标 的 样 本 的 方 差 为S2=(-20)2 0.06+(-10)2 0.26+0 0.38+102 0.22+202 0.08=104，这 种 产 品 质 量 指 标 的 平 均 数 的 估 计 值 为 100， 方 差 的 估 计 值 为 104.(3)质 量 指 标 值 不 低 于

19、95的 产 品 所 占 比 例 的 估 计 值 为 0.38+0.22+0.08=0.68，由 于 该 估 计 值 小 于 0.8， 故 不 能 认 为 该 企 业 生 产 的 这 种 产 品 符 合 “ 质 量 指 标 值 不 低 于 95的产 品 至 少 要 占 全 部 产 品 80%” 的 规 定 . 19.（ 12 分 ） 如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， 侧 面 BB1C1C为 菱 形 ， B1C 的 中 点 为 O， 且 AO 平 面BB1C1C.(1)证 明 ： B 1C AB；(2)若 AC AB1， CBB1=60 ， BC=1， 求 三 棱 柱 ABC-A

20、1B1C1的 高 .解 析 ： (1)连 接 BC1， 则 O为 B1C 与 BC1的 交 点 ， 证 明 B1C 平 面 ABO， 可 得 B1C AB；(2)作 OD BC， 垂 足 为 D， 连 接 AD， 作 OH AD， 垂 足 为 H， 证 明 CBB1为 等 边 三 角 形 ， 求 出B1到 平 面 ABC的 距 离 ， 即 可 求 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 高 .答 案 ： (1)连 接 BC1， 则 O为 B1C 与 BC1的 交 点 ， 侧 面 BB1C1C 为 菱 形 ， BC1 B1C， AO 平 面 BB 1C1C， AO B1C， AO BC1=O， B1

21、C 平 面 ABO， AB平 面 ABO， B1C AB；(2)作 OD BC， 垂 足 为 D， 连 接 AD， 作 OH AD， 垂 足 为 H， BC AO， BC OD， AO OD=O， BC 平 面 AOD， OH BC， OH AD， BC AD=D， OH 平 面 ABC， CBB 1=60 ， CBB1为 等 边 三 角 形 ， BC=1， OD= ， AC AB1， OA= B1C= ，由 OHAD=ODOA， 可 得 AD= = ， OH= ， O 为 B 1C 的 中 点 ， B1到 平 面 ABC的 距 离 为 ， 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 高 .20.（

22、12 分 ） 已 知 点 P(2， 2)， 圆 C： x2+y2-8y=0， 过 点 P的 动 直 线 l 与 圆 C交 于 A， B 两 点 ，线 段 AB的 中 点 为 M， O 为 坐 标 原 点 .(1)求 M 的 轨 迹 方 程 ；(2)当 |OP|=|OM|时 ， 求 l的 方 程 及 POM的 面 积 .解 析 ： (1)由 圆 C 的 方 程 求 出 圆 心 坐 标 和 半 径 ， 设 出 M 坐 标 ， 由 与 数 量 积 等 于 0 列 式得 M 的 轨 迹 方 程 ； (2)设 M 的 轨 迹 的 圆 心 为 N， 由 |OP|=|OM|得 到 ON PM.求 出 ON所

23、 在 直 线 的 斜 率 ， 由 直 线 方 程的 点 斜 式 得 到 PM 所 在 直 线 方 程 ， 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 出 O 到 l 的 距 离 ， 再 由 弦 心 距 、圆 的 半 径 及 弦 长 间 的 关 系 求 出 PM的 长 度 ， 代 入 三 角 形 面 积 公 式 得 答 案 .答 案 ： (1)由 圆 C： x2+y2-8y=0， 得 x2+(y-4)2=16， 圆 C的 圆 心 坐 标 为 (0， 4)， 半 径 为 4.设 M(x， y)， 则 ， .由 题 意 可 得 ： .即 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0.整 理 得 ： (x-

24、1) 2+(y-3)2=2.由 于 点 P 在 圆 C内 部 ， M 的 轨 迹 方 程 是 (x-1)2+(y-3)2=2.(2)由 (1)知 M 的 轨 迹 是 以 点 N(1， 3)为 圆 心 ， 为 半 径 的 圆 ， 由 于 |OP|=|OM|，故 O 在 线 段 PM 的 垂 直 平 分 线 上 ，又 P 在 圆 N上 ， 从 而 ON PM. k ON=3， 直 线 l 的 斜 率 为 - . 直 线 PM 的 方 程 为 ， 即 x+3y-8=0.则 O 到 直 线 l 的 距 离 为 .又 N 到 l 的 距 离 为 ， |PM|= = . .21.（ 12 分 ） 设 函

25、数 f(x)=alnx+ x 2-bx(a 1)， 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 斜率 为 0，(1)求 b；(2)若 存 在 x0 1， 使 得 f(x0) ， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)利 用 导 数 的 几 何 意 义 即 可 得 出 ；(2)对 a 分 类 讨 论 ： 当 a 时 ， 当 a 1 时 ， 当 a 1 时 ， 再 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调性 极 值 与 最 值 即 可 得 出 .答 案 ： (1)f (x)= (x 0)， 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 斜 率 为 0， f

26、 (1)=a+(1-a) 1-b=0， 解 得 b=1.(2)函 数 f(x)的 定 义 域 为 (0， + )， 由 (1)可 知 ： f(x)=alnx+ ， = . 当 a 时 ， 则 ，则 当 x 1 时 ， f (x) 0， 函 数 f(x)在 (1， + )单 调 递 增 ， 存 在 x0 1， 使 得 f(x0) 的 充 要 条 件 是 ， 即 ，解 得 ； 当 a 1时 ， 则 ，则 当 x 时 ， f (x) 0， 函 数 f(x)在 上 单 调 递 减 ； 当 x 时 ， f (x) 0， 函 数 f(x)在 上 单 调 递 增 . 存 在 x0 1， 使 得 f(x0)

27、的 充 要 条 件 是 ，而 = + ， 不 符 合 题 意 ， 应 舍 去 . 若 a 1 时 ， f(1)= ， 成 立 .综 上 可 得 ： a的 取 值 范 围 是 .请 考 生 在 第 22， 23， 24题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 ， 作 答 时 清写 清 题 号 。 【 选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲 】22.（ 10 分 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD是 O 的 内 接 四 边 形 ， AB的 延 长 线 与 DC的 延 长 线 交 于 点 E，且 CB=CE.( )证 明 ： D= E；( )

28、设 AD 不 是 O 的 直 径 ， AD的 中 点 为 M， 且 MB=MC， 证 明 ： ADE为 等 边 三 角 形 . 解 析 ： ( )利 用 四 边 形 ABCD是 O 的 内 接 四 边 形 ， 可 得 D= CBE， 由 CB=CE， 可 得 E= CBE，即 可 证 明 ： D= E；( )设 BC的 中 点 为 N， 连 接 MN， 证 明 AD BC， 可 得 A= CBE， 进 而 可 得 A= E， 即 可 证明 ADE为 等 边 三 角 形 . 答 案 ： ( ) 四 边 形 ABCD是 O 的 内 接 四 边 形 ， D= CBE， CB=CE， E= CBE，

29、D= E；( )设 BC 的 中 点 为 N， 连 接 MN， 则 由 MB=MC 知 MN BC， O 在 直 线 MN上 ， AD 不 是 O 的 直 径 ， AD的 中 点 为 M， OM AD， AD BC， A= CBE， CBE= E， A= E，由 ( )知 ， D= E， ADE为 等 边 三 角 形 .【 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 】23.已 知 曲 线 C： + =1， 直 线 l： （ t 为 参 数 ）( )写 出 曲 线 C的 参 数 方 程 ， 直 线 l 的 普 通 方 程 .( )过 曲 线 C 上 任 意 一 点 P 作 与 l夹 角

30、为 30 的 直 线 ， 交 l于 点 A， 求 |PA|的 最 大 值 与 最 小值 .解 析 ： ( )联 想 三 角 函 数 的 平 方 关 系 可 取 x=2cos 、 y=3sin 得 曲 线 C的 参 数 方 程 ， 直 接消 掉 参 数 t得 直 线 l的 普 通 方 程 ；( )设 曲 线 C 上 任 意 一 点 P(2cos ， 3sin ).由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 到 P到 直 线 l的 距 离 ， 除 以 sin30 进 一 步 得 到 |PA|， 化 积 后 由 三 角 函 数 的 范 围 求 得 |PA|的 最 大 值 与 最 小 值 .答 案 ：

31、 ( )对 于 曲 线 C： + =1， 可 令 x=2cos 、 y=3sin ，故 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ， ( 为 参 数 ).对 于 直 线 l： ，由 得 ： t=x-2， 代 入 并 整 理 得 ： 2x+y-6=0；( )设 曲 线 C 上 任 意 一 点 P(2cos ， 3sin ).P到 直 线 l的 距 离 为. 则 ， 其 中 为 锐 角 .当 sin( + )=-1时 ， |PA|取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为 . 当 sin( + )=1 时 ， |PA|取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为 .【 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 】24

32、.若 a 0， b 0， 且 + = .( )求 a3+b3的 最 小 值 ；( )是 否 存 在 a， b， 使 得 2a+3b=6？ 并 说 明 理 由 .解 析 ： ( )由 条 件 利 用 基 本 不 等 式 求 得 ab 4， 再 利 用 基 本 不 等 式 求 得 a 3+b3的 最 小 值 .( )根 据 ab 4 及 基 本 不 等 式 求 的 2a+3b 8， 从 而 可 得 不 存 在 a， b， 使 得 2a+3b=6.答 案 ： ( ) a 0， b 0， 且 + = ， = + 2 ， ab 2，当 且 仅 当 a=b= 时 取 等 号 . a3+b3 2 2 =4 ， 当 且 仅 当 a=b= 时 取 等 号 ， a 3+b3的 最 小 值 为 4 .( )由 (1)可 知 ， 2a+3b 2 =2 4 6， 故 不 存 在 a， b， 使 得 2a+3b=6成 立 .