【考研类试卷】考研数学二-241及答案解析.doc
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1、考研数学二-241 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.已知向量组 1, 2, s,线性相关,其中 i=ai1,a i2,a inT,i=1,2,s则下列向量组可能线性无关的是( )(分数:4.00)A. i=ai2,a i1,a i3,a inT,i=1,2,sB. i=ai1,a i1-ai2,a i3,a inT,i=1,2,sC. i=ai1,a i2,a in-1T,i=1,2,sD. i=ai1,a i2,a in,a in+1T,i=1,2,s2.设 f(x)在(-,+)内连续且严格单调增,f(0)=0,常数 n 为
2、正奇数,并设 F(x)= (分数:4.00)A.B.C.D.3.设 1, 2, 3, 1+a 2-2 3均是非齐次线性方程组 AX=b 的解,则对应齐次线性方程组 AX=0 有解( )(分数:4.00)A. 1=2 1+a 2+ 3B. 2=-2 1+3 2-2c 3C. s=a 1+2 2- 3D. 4=3 1-2a 2+ 34.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x)2=sinx,且 f(0)=0,则( )(分数:4.00)A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0,f(0)左侧邻域曲线 y=f(x)是凹的,右侧邻域曲线 y=f(x)是凸的D.在点(0,f
3、(0)左侧邻域曲线 y=f(x)是凸的,右侧邻域曲线 y=f(x)是凹的5.设 f(x)在区间(-,+)上连续,且满足 (分数:4.00)A.B.C.D.6.设 f(x)在(-,+)上连续,下述命题若对任意 a, ,则 f(x)必是奇函数若对任意 a, ,则 f(x)必是偶函数若 f(x)为周期 T 的奇函数,则 (分数:4.00)A.B.C.D.7. (分数:4.00)A.B.C.D.8.下列命题设 均存在,则 f(x)在 x=x0处必连续设 f-(x0)与 f+(x0)均存在,则 f(x)在 x=x0处必连续设 均存在,则 f(x)在 x=x0处必连续设 (分数:4.00)A.B.C.D.
4、二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.微分方程 xy“-y=x 的通解是_(分数:4.00)填空项 1:_10.曲线 在点(0, (分数:4.00)填空项 1:_11.设 f(x)连续且 f(x)0,又设 f(x)满足 (分数:4.00)填空项 1:_12. (分数:4.00)填空项 1:_13. (分数:4.00)填空项 1:_14.设 (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 D 为曲线 y=x3与直线 y=x 所围成的两块区域,计算 (分数:10.00)_16.已知 在 x0 处有二阶连续导数,且满足 (分数:11.00)_设 f(x)在
5、a,b上连续,在(a,b)内可导试证明:(分数:11.00)(1).拉格朗日微分中值定理:至少存在一点 (a,b)使 (分数:5.50)_(2).若再添设 f(x)不是一次式的条件,则至少存在一点 (a,b)使|f()| (分数:5.50)_17.在极坐标曲线 r=e 的 (分数:10.00)_18.已知摆线的参数方程为 (分数:9.00)_19.设 x-2证明: (分数:10.00)_20.一长为 l(米)、线密度为 (千克/米)的链条,两端各系一个质量为 m(千克)的物体 A 与 B开始时,仅 A 下垂,其余部分平置于桌面上,假设物体、链条与桌面的摩擦均略而不计问从开始算起经过多少时间,链
6、条全部从桌面上滑下?(分数:11.00)_21.设方程组(*)有通解 k1 1+k2 2=k11,2,1,-1 T+k20,-1,-3,2 T方程组 (*)有通解 1 1+ 2 2= 12,-1,-6,1 T+ 2-1,2,4,a+8 T已知方程组(分数:10.00)_设 (分数:12.00)(1).求 A 的特征值,特征向量;(分数:6.00)_(2).求可逆阵 P,使得 P-1AP=A(分数:6.00)_考研数学二-241 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.已知向量组 1, 2, s,线性相关,其中 i=ai1,a i2,a
7、inT,i=1,2,s则下列向量组可能线性无关的是( )(分数:4.00)A. i=ai2,a i1,a i3,a inT,i=1,2,sB. i=ai1,a i1-ai2,a i3,a inT,i=1,2,sC. i=ai1,a i2,a in-1T,i=1,2,sD. i=ai1,a i2,a in,a in+1T,i=1,2,s 解析:分析 n 维向量 i后面增加了分量(即维数)成 n+1 维向量 i,讨论线性相关性时,相当于以 i为列向量的齐次线性方程组增加了一个方程,有可能使方程组 1x1+ 2x2+ sxs=0变得只有零解,即使 1, 2, s可能线性无关故应选(D)(A)(B)相
8、当于作初等变换,不改变向量组的秩,不改变向量组的线性相关性(C)中向量减少分量,仍保持线性相关2.设 f(x)在(-,+)内连续且严格单调增,f(0)=0,常数 n 为正奇数,并设 F(x)= (分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 *设 x0,则 0x,0 nx n,0f()f(x),故 0 nf()x nf(x),从而 F(x)0设 x0,则 x0,x n n0,f(x)f()0,故 x“f(x)f(),从而 F(x)0,选(C)3.设 1, 2, 3, 1+a 2-2 3均是非齐次线性方程组 AX=b 的解,则对应齐次线性方程组 AX=0 有解( )(分数:4.00)A. 1=2
9、 1+a 2+ 3B. 2=-2 1+3 2-2c 3C. s=a 1+2 2- 3D. 4=3 1-2a 2+ 3 解析:分析 由题设条件 A i=b,i=1,2,3及 A( 1+a 2-2 3)=b+ab-2b=b,得 (1+a-2)b=b,b0,得 1+a-2=1,a=2当 a=2 时,将选项逐个左乘 A,看是否满足 A i=0,i=1,2,3,4A 1-A(2 1+2 2+ 3)=5b0,A 2=A(-2 1+3 2-4 3)=-3b0,A 3=A(2 1+2 2- 3)=3b0,A 4=A(3 1-4 2+ 3)=0故 4是对应齐次方程组 AX=0 的解4.设 f(x)满足 f“(x
10、)+xf(x)2=sinx,且 f(0)=0,则( )(分数:4.00)A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0,f(0)左侧邻域曲线 y=f(x)是凹的,右侧邻域曲线 y=f(x)是凸的D.在点(0,f(0)左侧邻域曲线 y=f(x)是凸的,右侧邻域曲线 y=f(x)是凹的 解析:分析 由 f“(x)+x(f(x)2=sinx 有 f“(0)=0,再求f“(x)+(f(x)2+2xf(x)f“(x)=cosx,f“(0)=1所以*由保号性知,存在 x=0 的去心邻域 u,当 xU 且 x0 时,f“(x)0;当 xU 且 x0 时,f“(x)0,故选(D)
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