【考研类试卷】考研数学三（线性代数）-试卷43及答案解析.doc

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1、考研数学三（线性代数）-试卷 43 及答案解析(总分：32.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：13，分数：32.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_(2).判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A 一 B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：（分数：4.00）(1).AB=BA；

2、（分数：2.00）_(2).存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP，P 一 1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_2.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_3.设 （分数：2.00）_4.设方程组 3 = （分数：2.00）_设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T （分数：4.00）(1).求 A 的其他特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求 A（分数：2.00）_5.设 （分数：2.00

3、）_6.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n，证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n 一 1 = n ，A n =0证明：（分数：4.00）(1). 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.00）_(2).求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_7.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 k 1 设 = （分数：2.00）_8. （分数：2.00）_9.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B

4、T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 43 答案解析(总分：32.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：13，分数：32.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 + 2 + 3 0， 由 A( 1 + 2 + 3 )=2

5、( 1 + 2 + 3 )，得 A 的一个特征值为 1 =2； 又由 A( 1 一 2 )=一( 1 一 2 )，A( 2 一 3 )=一( 2 一 3 )，得 A 的另一个特征值为 2 =一 1因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 一 2 与 2 一 3 也线性无关，所以 2 =一 1 为矩阵 A 的二重特征值，即A 的特征值为 2，一 1，一 1)解析：(2).判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 一 2 ， 2 ， 3 为属于二重特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A 一

6、B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：（分数：4.00）(1).AB=BA；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=A 一 B 得 A 一 B 一 AB+E=E，(E+A)(EB)=E，即 E 一 B 与 E+A 互为逆矩阵，于是(EB)(E+A)=E 一(E+A)(EB)，故 AB=BA)解析：(2).存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP，P 一 1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 有三个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 ，所以 A 可以对角化，没 A 的三个线性无关的特征 向量为 1 ， 2 ， 3 ，则有 A

7、( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， BA( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， AB( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，于是有 AB i = i B i ，i=1，2，3 若 B i 0，则 B i 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 B I = i i ； 若 B i =0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量，无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令 P=( 1

8、， 2 ， 3 )，则 P 一 1 AP，P 一 1 BP 同为对角阵)解析：2.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且|A|=|B| 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP=B， 而 A * =|A|A 一 1 ，B * =|B|B 一 1 ， 于是由 P 一 1 AP=B，得(P 一 1 AP) 一 1 =B 一 1 ，即 P 一 1 A 一 1 P=B 一 1 ， 故 P 一 1 |A|A 一

9、 1 P=|A|B 一 1 或 P 一 1 A * P=B * ，于是A * B * (2)因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P 一 1 AP=B，即 AP=PB，于是 AP=PBPP 一 1 =P(BP)P 一 1 ，故 APBP)解析：3.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|E 一 A|= =0，得 1 = 2 =1， 3 =2 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(E 一 A)=1， 即 a=1，故 由 =1 时，由(E 一A)X=0，得 1 = 由 =2 时，由(2E 一 A)X=0，得 3 = 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )=

10、 两边 n 次幂得 P 一 1 A n P= 从而 A n = )解析：4.设方程组 3 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以 =a 2 一 2a+1=0，解得 a=1 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= (2)|A|=2，A * 对应的特征值为 )解析：设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T （分数：4.00）(1).求 A 的其他特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有特征值 2 =

11、5，对应的特征向量为 又因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为 )解析：(2).求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：5.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即 因为 AB，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1 =1， 2 =0， 3 =6 当 =1 时，由(E 一 A)X=0，得 1 = 当 =0 时，由(0E 一 A)X=0，得 2 = 当 =6 时，由(6E 一 A)X=0，

12、得 3 = 再令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：6.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n，证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0 为 A，B 公共的特征值， A 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX=0 的非零解； B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解， 因为 r(A)+r(B)n，所以方程组 )解析：设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n 一

13、1 = n ，A n =0证明：（分数：4.00）(1). 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0，则 x 1 A 1 +x 2 A 2 +x n A n =0 x 1 2 +x 2 3 +x n 一 1 n =0 x 1 A 2 +x 2 A 3 +x n 一 1 A n =0 )解析：(2).求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n ) ， 令 P=( 1 ， 2 ， n )，则 P 一 1 AP= =B，则 A 与 B 相似，由

14、|E 一 B|=0 )解析：7.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 k 1 设 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ，即 A 有一个特征值为 1 =5，其对应的特征向量为 1 = ，A 1 =5 1 又 AX=0 的通解为 k 1 ，则 r(A)=1 2 = 3 =0，其对应的特征向量为 2 = ，A 2 =0，A 3 =0 令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，解得 x 1 =8，x 2 =一 1，x 3 =一 2， 则 A=8A 1 一 A 2 一 2A 3 =8A 1 =40 )解析：8. （分数：

15、2.00）_正确答案：(正确答案：由|A 一 B|=0，得 1 =一 1， 2 =1， 3 =2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1 =一 1， 2 =1， 3 =2 由 tr(A)= 1 + 2 + 3 ，得 a=1，再由|A|=b= 1 2 3 =一2，得 b=一 2，即 A 由(一 E 一 A)X=0，得 1 =(1，1，0) T ； 由(E 一 A)X=0，得 2 =(一2，1，1) T ； 由(2EA)X=0，得 3 =(一 2，1，0) T ， 令 P 1 = 由(一 E 一 B)X=0，得 1 =(一 1，0，1) T ； 由(E 一 B)X=0，得 2 =(1，0，0) T

16、； 由(2E 一 B)X=0，得 3 =(8，3，4) T ， 令 P 2 = ，则 P 2 一 1 BP 2 = 由 P 1 一 1 AP 1 =P 2 一 1 BP 2 ，得(P 1 P 2 一 1 ) 一 1 AP 1 P 2 一 1 =B， 令 P=P 1 P 2 一 1 = )解析：9.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，所以 B T AB 为对称矩阵，设 B T AB是正定矩阵，则对任意的 X0，X T B T ABX=(BX) T A(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n反之，设 r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0，因为 A为正定矩阵，所以 X T (B T AB)X=(BX) T A(BX)0，所以 B T AB 为正定矩阵)解析：