【学历类职业资格】概率论与数理统计自考题分类模拟14及答案解析.doc

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1、概率论与数理统计自考题分类模拟 14 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：15，分数：8.00)1.糖厂用自动包装机包装糖果，包得的袋装糖净重是一个随机变量，今随机地抽查 12 袋，称得净重为(单位：克)： 1001 1004 1003 1000 997 999 1004 1000 996 1002 998 999 则总体均值 的矩估计值为 1，方差 2 的矩估计值为 2，样本方差 s 2 为 3 （分数：0.50）2.设总体 X 服从参数为 (0)的指数分布，其概率密度为 由来自总体 X 的一个样本 x 1 ，x 2 ，x n 算得样本平均值 ，则参数

2、的矩估计 （分数：0.50）3.总体 XN(， 2 )，则 2+ 的极大似然估计值为 1 （分数：0.50）4.设总体 X 的分布列为 P(X=k)=(1-p) k-1 p，k=1，2，其中 p 为未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 瓦为取自总体 X 的样本，则 p 的矩估计为 1 （分数：0.50）5.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，x 1 ，x 2 ，x n 为 X 的一个样本，其样本均值 ，则 的矩估计值 （分数：0.50）6.如果 都是未知参数 的估计量，称 有效，则 （分数：0.50）7.设某钢珠直径 X 服从正态分布 N(，1)，其中 为未知参数，从刚生产出的一大堆钢珠

3、中随机抽出 9个，求得样本均值 ，样本方差 （分数：0.50）8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是 n 个互相独立同分布的随机变量，E(X i )=，D(X i )=8(i=1，2，n)，对于 ，估计 （分数：0.50）9.若估计量 是未知参数 的无偏估计，则一定有 （分数：0.50）10.设总体 XN(， 2 )，x 1 ，x 2 ，x 3 为来自 X 的样本，则当常数 a= 1 时， （分数：0.50）11.设总体 XN(， 2 )， 2 已知，x 1 ，x 2 ，x n 为来自总体 X 的一个样本， （分数：0.50）12.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X n 为来自 X 的样本

4、，为使 （分数：0.50）13.设总体 XN(， 2 )，若 2 已知，总体均值 的置信度为 1- 的置信区间为 （分数：0.50）14.总体 XN(， 2 )，其中 2 未知，x 1 ，x 2 ，x n 为样本，(n2)，则未知参数 的置信水平为 1- 的置信区间为 1 （分数：0.50）15.从正态总体 N(3.4，6 2 )中抽取容量为 7z 的样本，已知 (1.96)=0.975，如果要求其样本均值位于区间(1.4，5.4)内的概率不小于 0.95，则样本容量 n 至少应取 1 （分数：1.00）二、计算题(总题数：11，分数：33.00)16.设总体 X 的概率密度为 其中 (1)是

5、未知参数，x 1 ，x 2 ，x n 是来自该总体的样本，试求 的矩估计 （分数：3.00）_17.使用一测量仪器对同一值进行了 12 次独立测量，测量值为(单位 mm)： 232.50，232.48，232.15，232.53，232.24，232.30，232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30 试用矩估计法估计测量值的真值与方差 （分数：3.00）_假设新生儿体重 X(单位：g)服从正态分布 N(， 2 )，统计 10 名新生儿体重得 ， （分数：3.00）(1).参数 和 2 的矩估计（分数：1.50）_(2).在置信度为 0.95 下，参数 和

6、 2 的置信区间（分数：1.50）_18.设连续型随机变量 X 的密度函数为 （分数：3.00）_19.设总体 X 的概率密度为 其中未知参数 0，x 1 ，x 2 ，x n 为来自总体 X 的一个样本求 的极大似然估计 （分数：3.00）_20.在处理快艇的 6 次试验数据中，得到下列最大速度值(米/秒)：27，38，30，37，35，31，求最大艇速的均值与方差的无偏估计 （分数：3.00）_21.设总体 X 服从两点分布 X 0 1 p q 1 p 1 (0p 1 1，q 1 =1-p 1 ) 又设总体 Y 也服从两点分布 Y 0 1 p q 2 p 2 (0p 2 1，q 2 =1-p

7、 2 ) 设 x 1 ，x 2 ，x n1 为来自总体 X 的样本，y 1 ，y 2 ，y n2 为来自总体 Y 的样本，两样本独立，求参数 p 1 -p 2 的一个无偏估计 （分数：3.00）_22.设 是 的两个独立的无偏估计量，假定 求常数 C 1 及 C 2 ，使 为 的无偏估计，并使 （分数：3.00）_23.从一正态总体 X 中抽取容量为 10 的样本，假设有 2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在 4 以上，求总体的标准差 （分数：3.00）_24.某手表厂生产的手表，其走时误差(单位：秒/日)服从正态分布，从装配线上随机抽取 9 只进行检测，结果如下： -4.0，3.1，2.5

8、，-2.9，0.9，1.1，2.0，-3.0，2.8 取置信概率为 0.95，求这种手表的走时误差的均值 及方差 2 的置信区间 （分数：3.00）_25.某香烟厂向化验室送去两批烟草，化验室从两批烟草中各随机抽取重量相同的 5 例化验，测得尼古丁的毫克数为 第一批：24，27，26，21，24 第二批：27，28，23，31，26 假设烟草中尼古丁的含量服从正态分布，且两批的方差分别为 5 和 8，在置信度为 95%下，求两批烟草的尼古丁平均含量差的置信区间 （分数：3.00）_三、综合题(总题数：10，分数：30.00)26.设总体 X 服从参数 p 的两点分布(0-1 分布)，X 1 ，

9、X 2 ，X n 是取自总体 X 的样本，证明 （分数：3.00）_设总体 X 具有正态分布 N(， 2 )（分数：3.00）(1).若 2 已知，求 的极大似然估计；（分数：1.50）_(2).若 已知，求 2 的极大似然估计（分数：1.50）_设总体 X 服从泊松分布 p()其中 为未知参数，x 1 ，x 2 ，x n 为样本（分数：3.00）(1).求 的矩估计；（分数：1.50）_(2).求 的极大似然估计（分数：1.50）_27.设总体 x 的分布中带有未知参数 ，x 1 ，x 2 ，x n 为样本 (x 1 ，x 2 ，x n )与 (x 1 ，x 2 ，x n )均为 的两个估计

10、量，且 ，证明： （分数：3.00）_28.设正态总体 XN( 2 ， 2 )与正态总体 YN( 2 ， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n1 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n2 分别为总体 X，Y 的相互独立的样本，记 ，试证对任意常数 a，b(a+b=1)， （分数：3.00）_29.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 是取自总体 X 的样本，令 其中 C 1 +C 2 +C 3 =1，且 C 1 0，C 2 0，C 3 0，证明： 均为 的无偏估计量且 （分数：3.00）_30.设总体 X 服从，+1上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 为 X 的一个样本， ，证明：

11、 （分数：3.00）_31.设总体 X 服从二项分布， 设 p(A)=p，0p1，p 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为样本，证明： （分数：3.00）_32.设总体 X 服从区间-，上的均匀分布，其中 0 为未知参数，又 X 1 ，X 2 ，X n 为样本，试证： （分数：3.00）_33.设总体 X 的数学期望为 ，方差为 2 ，分别抽取容量为 n 1 和 n 2 的两个独立样本， 分别为两样本均值试证：如果 a，b 满足 a+b=1，则 （分数：3.00）_四、应用题(总题数：7，分数：29.00)34.设总体 X 的均值为 ，方差为 2 ，其中 2 为未知参数，又 x 1 ，x

12、 2 ，x n 为样本，且 证明： （分数：4.00）_35.设某种果树单株产量 X 服从正态分布，已知 2 =64(千克 2 )，现随机抽取 6 株统计当年的产量为(单位：千克)120、161、182、208、176、234，以 90%的置信度估计该种果树的年平均产量(已知 u 0.05 =1.645) （分数：4.00）_36.在机器 A 生产的钢管中抽取 18 只，测得内径的样本方差 (毫米 2 )；在机器 B 生产的钢管中抽取 13 只，测得内径的样本方差 (毫米 2 )，两样本相互独立，且假定两钢管内径皆服从正态分布，求两总体方差比 （分数：4.00）_37.随机地从一批钉子中抽取

13、16 枚，测得其长度(厘米)为 2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10 2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11 设钉长服从正态分布，试求总体均值 的置信度 0.90 的置信区间： (1)若已知 =0.01(厘米)； (2)若 =未知 （分数：4.00）_38.已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布在某星期所生产的该种灯泡中随机地抽取 10 只，测得其寿命(单位：小时)为 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948设总体参数都为未知，试用极大似然估计这个星期中生产的灯泡能使用到

14、 1300 小时以上的概率 （分数：4.00）_39.一台自动车床加工的零件长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(， 2 )，从该车床加工的零件中随机抽取 4 个，测得样本方差 ，试求：总体方差 2 的置信度为 95%的置信区间附： （分数：4.00）_40.两台机床生产同一型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中取 8 个，从乙机床生产的滚珠中取 9 个，测得这些滚珠的直径(毫米)如下： 甲机床：15.0，14.8，15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，14.8 乙机床：15.2，15.0，14.8，15.1，15.0，14.6，14.8，15.1，14.5 设两台机床生产的滚珠直径服

15、从正态分布，且 1 ， 2 未知，假设 1 = 2 =，求这两台机床生产的滚珠直径均值差 1 - 2 对应于置信度 0.90 的置信区间 （分数：5.00）_概率论与数理统计自考题分类模拟 14 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：15，分数：8.00)1.糖厂用自动包装机包装糖果，包得的袋装糖净重是一个随机变量，今随机地抽查 12 袋，称得净重为(单位：克)： 1001 1004 1003 1000 997 999 1004 1000 996 1002 998 999 则总体均值 的矩估计值为 1，方差 2 的矩估计值为 2，样本方差 s 2 为 3 （分

16、数：0.50）解析：1000.25；6.35；6.93 解析 由矩估计知总体均值 及方差 2 的矩估计量 所以 及方差 2 的矩估计值为： 2.设总体 X 服从参数为 (0)的指数分布，其概率密度为 由来自总体 X 的一个样本 x 1 ，x 2 ，x n 算得样本平均值 ，则参数 的矩估计 （分数：0.50）解析：解析 的矩阵估计 3.总体 XN(， 2 )，则 2+ 的极大似然估计值为 1 （分数：0.50）解析：解析 由于 是 的极大似然估计，从而 是 2+ 的极大似然估计4.设总体 X 的分布列为 P(X=k)=(1-p) k-1 p，k=1，2，其中 p 为未知参数，X 1 ，X 2

17、，X n 瓦为取自总体 X 的样本，则 p 的矩估计为 1 （分数：0.50）解析： 解析 x 1 ，x n 是样本，此处 k=1，由于 故 p 的矩法估计为 5.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，x 1 ，x 2 ，x n 为 X 的一个样本，其样本均值 ，则 的矩估计值 （分数：0.50）解析：2解析 本题考查关于矩估计的求法，总体 X 服从参数为 的泊松分布，E(X)=，矩估计量6.如果 都是未知参数 的估计量，称 有效，则 （分数：0.50）解析：解析 根据有效性的定义， 为 的两个无偏估计，有 有效，得 7.设某钢珠直径 X 服从正态分布 N(，1)，其中 为未知参数，从刚生

18、产出的一大堆钢珠中随机抽出 9个，求得样本均值 ，样本方差 （分数：0.50）解析：31.06 解析 似然函数为 即 8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是 n 个互相独立同分布的随机变量，E(X i )=，D(X i )=8(i=1，2，n)，对于 ，估计 （分数：0.50）解析： 解析 由题知， ，X i 服从 E(X i )=，D(X i )=8 的分布 9.若估计量 是未知参数 的无偏估计，则一定有 （分数：0.50）解析：解析 若 是未知参数 的无偏估计，由定义知10.设总体 XN(， 2 )，x 1 ，x 2 ，x 3 为来自 X 的样本，则当常数 a= 1 时， （分数：0.50

19、）解析：解析 设 是 的一个估计， 的参数空间为 ，若对任意的 ，则称 是 的无偏估计因此根据题意有 11.设总体 XN(， 2 )， 2 已知，x 1 ，x 2 ，x n 为来自总体 X 的一个样本， （分数：0.50）解析：解析 令 ，u 的分布为 N(0，1)，所以有 ，因为 可化成 ，所以有12.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X n 为来自 X 的样本，为使 （分数：0.50）解析：27 解析 13.设总体 XN(， 2 )，若 2 已知，总体均值 的置信度为 1- 的置信区间为 （分数：0.50）解析： 解析 2 已知 的置信度为 1-a 的置信区间为 14.总体 XN(， 2

20、 )，其中 2 未知，x 1 ，x 2 ，x n 为样本，(n2)，则未知参数 的置信水平为 1- 的置信区间为 1 （分数：0.50）解析：解析 未知时， 的 1-a 置信区间为15.从正态总体 N(3.4，6 2 )中抽取容量为 7z 的样本，已知 (1.96)=0.975，如果要求其样本均值位于区间(1.4，5.4)内的概率不小于 0.95，则样本容量 n 至少应取 1 （分数：1.00）解析：35 解析 由题知： 二、计算题(总题数：11，分数：33.00)16.设总体 X 的概率密度为 其中 (1)是未知参数，x 1 ，x 2 ，x n 是来自该总体的样本，试求 的矩估计 （分数：3

21、.00）_正确答案：()解析：解： 令 ， 解得 ， 故 的矩估计为 17.使用一测量仪器对同一值进行了 12 次独立测量，测量值为(单位 mm)： 232.50，232.48，232.15，232.53，232.24，232.30，232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30 试用矩估计法估计测量值的真值与方差 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：以样本均值估计总体均值，得 以样本二阶中心矩估计总体二阶中心矩即方差，得 假设新生儿体重 X(单位：g)服从正态分布 N(， 2 )，统计 10 名新生儿体重得 ， （分数：3.00）(1).参数 和

22、2 的矩估计（分数：1.50）_正确答案：()解析：解： (2).在置信度为 0.95 下，参数 和 2 的置信区间（分数：1.50）_正确答案：()解析：解： ，s=445， 的置信区间为 t 0.025 (9)=2.262， 置信区间为2822，3458 2 的置信区间为 18.设连续型随机变量 X 的密度函数为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：似然函数为 19.设总体 X 的概率密度为 其中未知参数 0，x 1 ，x 2 ，x n 为来自总体 X 的一个样本求 的极大似然估计 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：似然函数为 ， 解得 的极大似然估计 20.在处理快艇的

23、 6 次试验数据中，得到下列最大速度值(米/秒)：27，38，30，37，35，31，求最大艇速的均值与方差的无偏估计 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：最大艇速度的均值的无偏估计 方差的无偏估计为 21.设总体 X 服从两点分布 X 0 1 p q 1 p 1 (0p 1 1，q 1 =1-p 1 ) 又设总体 Y 也服从两点分布 Y 0 1 p q 2 p 2 (0p 2 1，q 2 =1-p 2 ) 设 x 1 ，x 2 ，x n1 为来自总体 X 的样本，y 1 ，y 2 ，y n2 为来自总体 Y 的样本，两样本独立，求参数 p 1 -p 2 的一个无偏估计 （分数：3.0

24、0）_正确答案：()解析：解：由题设知 E(X)=p 1 ，E(Y)=p 2 ， 又由样本均值是总体均值的无偏估计，所以有： 为 x 1 ，x 2 ，x n1 的均值； 为 y 1 ，y 2 ，y n2 的均值 又两样本独立，从而有 所以 22.设 是 的两个独立的无偏估计量，假定 求常数 C 1 及 C 2 ，使 为 的无偏估计，并使 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：由于 是 的两个独立的无偏估计，则有 要使 为 的无偏估计，则有 即 C 1 ，C 2 必须满足 C 1 +C 2 =1 又 有效，而 所以当 时， 为 的无偏估计，并使 23.从一正态总体 X 中抽取容量为 10

25、的样本，假设有 2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在 4 以上，求总体的标准差 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：设 XN(， 2 )，则 据题意，有 将 n=10 代入 有 查表知 (2.33)=0.99 24.某手表厂生产的手表，其走时误差(单位：秒/日)服从正态分布，从装配线上随机抽取 9 只进行检测，结果如下： -4.0，3.1，2.5，-2.9，0.9，1.1，2.0，-3.0，2.8 取置信概率为 0.95，求这种手表的走时误差的均值 及方差 2 的置信区间 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：(1) 的置信区间为 由已知 n=9， ，s=2.793， 对 =0

26、.05，t 0.025 (8)=2.306，置信区间为-1.869，2.425 (2) 2 的置信区间为 对 =0.05， 25.某香烟厂向化验室送去两批烟草，化验室从两批烟草中各随机抽取重量相同的 5 例化验，测得尼古丁的毫克数为 第一批：24，27，26，21，24 第二批：27，28，23，31，26 假设烟草中尼古丁的含量服从正态分布，且两批的方差分别为 5 和 8，在置信度为 95%下，求两批烟草的尼古丁平均含量差的置信区间 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：设两批的尼古丁含量分别服从 N( 1 ，5)，N( 2 ，8)， 1 - 2 的置信区间为 由已知 n 1 =n 2

27、 =5， ， 三、综合题(总题数：10，分数：30.00)26.设总体 X 服从参数 p 的两点分布(0-1 分布)，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的样本，证明 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：X 的分布律为 P(X=k)=p k (1-p) 1-k ，k=0，因此对于样本 X 1 ，X 2 ，X n ，似然函数为 lnL=(X i )lnp+(n-X i )ln(1-p) 令 解方程得 ，所以 设总体 X 具有正态分布 N(， 2 )（分数：3.00）(1).若 2 已知，求 的极大似然估计；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：由于 2 已知，所以似然函数

28、解得 (2).若 已知，求 2 的极大似然估计（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：由于 已知，所以似然函数 解得 设总体 X 服从泊松分布 p()其中 为未知参数，x 1 ，x 2 ，x n 为样本（分数：3.00）(1).求 的矩估计；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：由于总体 X 服从泊松分布 p()，所以其分布列 ，k=0，1，2， ，得 ，所以(2).求 的极大似然估计（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：极大似然函数 得 27.设总体 x 的分布中带有未知参数 ，x 1 ，x 2 ，x n 为样本 (x 1 ，x 2 ，x n )与 (x 1 ，x 2 ，x

29、n )均为 的两个估计量，且 ，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：解： 所以 28.设正态总体 XN( 2 ， 2 )与正态总体 YN( 2 ， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n1 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n2 分别为总体 X，Y 的相互独立的样本，记 ，试证对任意常数 a，b(a+b=1)， （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：因为 所以 故 29.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 是取自总体 X 的样本，令 其中 C 1 +C 2 +C 3 =1，且 C 1 0，C 2 0，C 3 0，证明： 均为 的无偏估计量且 （分数：3.00）_正确答

30、案：()解析：解： 所以 均为 的无偏估计量 此处由于 ，故 由于 ，所以 30.设总体 X 服从，+1上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 为 X 的一个样本， ，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：因为 X 服从，+1上的均匀分布， 故 则 所以 31.设总体 X 服从二项分布， 设 p(A)=p，0p1，p 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为样本，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：E(X)=p，故 E(X i )=p，E(1-X i )=1-p， 因为 所以 32.设总体 X 服从区间-，上的均匀分布，其中 0 为未知参数，又 X 1 ，X

31、2 ，X n 为样本，试证： （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：因为 所以 33.设总体 X 的数学期望为 ，方差为 2 ，分别抽取容量为 n 1 和 n 2 的两个独立样本， 分别为两样本均值试证：如果 a，b 满足 a+b=1，则 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：已知 E(X)=，有 ， 故 ， 则 Y 是 的无偏估计量， 要使 D(Y)最小，只须 最小由 ，解得 a= 四、应用题(总题数：7，分数：29.00)34.设总体 X 的均值为 ，方差为 2 ，其中 2 为未知参数，又 x 1 ，x 2 ，x n 为样本，且 证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：解： 故 又 从而 35.设某种果树单株产量 X 服从正态分布，已知 2 =64(千克 2 )，现随机抽取 6 株统计当年的产量为(单位：千克)120、161、182、208、176、234，以 90%的置信度估计该种果树的年平均产量(已知 u 0.0