(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习第八章解析几何第三节椭圆讲义(含解析).doc
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1、1第三节 椭圆突破点一 椭圆的定义和标准方程基 本 知 识 1椭圆的定义平面内与两个定点 F1, F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合 P M|MF1| MF2|2 a,| F1F2|2 c,其中 a0, c0,且 a, c 为常数(1)若 a c,则集合 P 为椭圆(2)若 a c,则集合 P 为线段(3)若 a c,则集合 P 为空集2椭圆的标准方程(1)焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程是 1( a b0),焦点为 F1( c,0),x2a2 y2b2F2(c,0),其中 c2 a2 b2.(2)焦点在 y
2、 轴上的椭圆的标准方程是 1( a b0),焦点为 F1(0, c),y2a2 x2b2F2(0, c),其中 c2 a2 b2.基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ,错的打“”)(1)平面内与两个定点 F1, F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( )(2)方程 mx2 ny21( m0, n0, m n)表示的曲线是椭圆( )(3) 1( a b)表示焦点在 y 轴上的椭圆( )y2a2 x2b2答案:(1) (2) (3)二、填空题1已知 ABC 的顶点 B, C 在椭圆 y21 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的x23另外一个焦点在 BC 边上,则 ABC 的周长是_答案:
3、4 32如果方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是x2a2 y2a 6_答案:(6,2)(3,)3已知椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点,则椭圆 C 的标准方程为2_答案: 1x216 y212全 析 考 法 考法一 椭圆的定义及应用 例 1 (1)(2019衡水调研)已知 A(1,0), B 是圆 F: x22 x y2110( F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为( )A. 1 B. 1x212 y211 x236 y235C. 1 D. 1x23 y22 x23 y22(2)(2019齐
4、齐哈尔八中模拟)如图,椭圆 1( a2)的x2a2 y24左、右焦点分别为 F1, F2,点 P 是椭圆上的一点,若 F1PF260,那么 PF1F2的面积为( )A. B.233 332C. D.334 433解析 (1)由题意得| PA| PB|,| PA| PF| PB| PF| r2 | AF|2,3点 P 的轨迹是以 A, F 为焦点的椭圆,且 a , c1, b ,3 2动点 P 的轨迹方程为 1,故选 D.x23 y22(2)设| PF1| m,| PF2| n,则 cos 60 ,化简得,3 mn4( a2 c2)m2 n2 2c 22mn 2a 2 2mn 2c 22mn 1
5、24 b2, b24, mn , S PF1F2 mnsin 60 .故选 D.163 12 433答案 (1)D (2)D方法技巧椭圆焦点三角形中的常用结论以椭圆 1( a b0)上一点 P(x0, y0)(y00)和焦点 F1( c,0), F2(c,0)为顶x2a2 y2b2点的 PF1F2中,若 F1PF2 ,则(1)|PF1| PF2|2 a.(2)4c2| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|cos .3(3) S PF1F2 |PF1|PF2|sin ,当| y0| b,即 P 为短轴端点时, S PF1F2取最大值12为 bc.(4)焦点三角形的周长为 2(a c)
6、考法二 椭圆的标准方程 例 2 (1)如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O, F(2 ,0)为 C5的左焦点, P 为 C 上一点,满足| OP| OF|且| PF|4,则椭圆 C 的方程为( )A. 1 x225 y25B. 1x230 y210C. 1 x236 y216D. 1x245 y225(2)(2019武汉调研)一个椭圆的中心在原点,焦点 F1, F2在 x 轴上, P(2, )是椭3圆上一点,且| PF1|,| F1F2|,| PF2|成等差数列,则椭圆方程为_解析 (1)设 F为椭圆的右焦点,连接 PF,在 POF 中,由余弦定理,得cos POF ,则| PF|OP|2 |
7、OF|2 |PF|22|OP|OF| 358,由椭圆定义,知|OP|2 |OF |2 2|OP|OF |cos POF2a4812,所以 a6,又 c2 ,所以 b216.5故椭圆 C 的方程为 1.x236 y216(2)椭圆的中心在原点,焦点 F1, F2在 x 轴上,可设椭圆方程为 1( a b0),x2a2 y2b2 P(2, )是椭圆上一点,且| PF1|,| F1F2|,| PF2|成等差数列,3Error! 又 a2 b2 c2, a2 , b , c ,2 6 2椭圆方程为 1.x28 y26答案 (1)C (2) 1x28 y26方法技巧 待定系数法求椭圆方程的思路4集 训
8、冲 关 1. 已知椭圆 C: 1( a b0)的长轴长为 6,且两焦点恰好将长轴三等考 法 二 x2a2 y2b2分,则此椭圆的标准方程为( )A. 1 B. 1x236 y232 x29 y28C. 1 D. 1x29 y25 x216 y212解析:选 B 由题意可得 ,2 a6,解得 a3, c1,则 b ,2c2a 13 32 12 8所以椭圆 C 的方程为 1.故选 B.x29 y282. 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 ,且椭圆考 法 一 、 二 32G 上一点到两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为( )A. 1 B. 1x236 y29 x
9、29 y236C. 1 D. 1x24 y29 x29 y24解析:选 A 依题意设椭圆 G 的方程为 1( a b0),椭圆上一点到两焦点x2a2 y2b2的距离之和为 12,2 a12, a6,椭圆的离心率为 , e ,即32 ca 1 b2a2 32 ,解得 b29,椭圆 G 的方程为 1,故选 A.1 b236 32 x236 y293. P 为椭圆 1 上一点, F1, F2分别是椭圆的左焦点和右焦点,过 P 点考 法 一 x225 y29作 PH F1F2于点 H,若 PF1 PF2,则| PH|( )A. B.254 835C8 D.94解析:选 D 由椭圆 1 得 a225,
10、b29,x225 y29则 c 4,a2 b2 25 9| F1F2|2 c8.由椭圆的定义可得| PF1| PF2|2 a10, PF1 PF2,| PF1|2| PF2|28 2.2| PF1|PF2|(| PF1| PF2|)2(| PF1|2| PF2|2)1006436,| PF1|PF2|18.又 S PF1F2 |PF1|PF2| |F1F2|PH|,12 12| PH| .故选 D.|PF1|PF2|F1F2| 94突破点二 椭圆的几何性质基 本 知 识 标准方程 1( a b0)x2a2 y2b2 1( a b0)y2a2 x2b2图形范围 a x a, b y b b x
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