1、1第三节 椭圆突破点一 椭圆的定义和标准方程基 本 知 识 1椭圆的定义平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合 P M|MF1| MF2|2 a，| F1F2|2 c，其中 a0， c0，且 a， c 为常数(1)若 a c，则集合 P 为椭圆(2)若 a c，则集合 P 为线段(3)若 a c，则集合 P 为空集2椭圆的标准方程(1)焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程是 1( a b0)，焦点为 F1( c,0)，x2a2 y2b2F2(c,0)，其中 c2 a2 b2.(2)焦点在 y
2、 轴上的椭圆的标准方程是 1( a b0)，焦点为 F1(0， c)，y2a2 x2b2F2(0， c)，其中 c2 a2 b2.基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)平面内与两个定点 F1， F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( )(2)方程 mx2 ny21( m0， n0， m n)表示的曲线是椭圆( )(3) 1( a b)表示焦点在 y 轴上的椭圆( )y2a2 x2b2答案：(1) (2) (3)二、填空题1已知 ABC 的顶点 B， C 在椭圆 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的x23另外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是_答案：
3、4 32如果方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是x2a2 y2a 6_答案：(6，2)(3，)3已知椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点，则椭圆 C 的标准方程为2_答案： 1x216 y212全 析 考 法 考法一 椭圆的定义及应用 例 1 (1)(2019衡水调研)已知 A(1,0)， B 是圆 F： x22 x y2110( F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为( )A. 1 B. 1x212 y211 x236 y235C. 1 D. 1x23 y22 x23 y22(2)(2019齐
4、齐哈尔八中模拟)如图，椭圆 1( a2)的x2a2 y24左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 是椭圆上的一点，若 F1PF260，那么 PF1F2的面积为( )A. B.233 332C. D.334 433解析 (1)由题意得| PA| PB|，| PA| PF| PB| PF| r2 | AF|2，3点 P 的轨迹是以 A， F 为焦点的椭圆，且 a ， c1， b ，3 2动点 P 的轨迹方程为 1，故选 D.x23 y22(2)设| PF1| m，| PF2| n，则 cos 60 ，化简得，3 mn4( a2 c2)m2 n2 2c 22mn 2a 2 2mn 2c 22mn 1
5、24 b2， b24， mn ， S PF1F2 mnsin 60 .故选 D.163 12 433答案 (1)D (2)D方法技巧椭圆焦点三角形中的常用结论以椭圆 1( a b0)上一点 P(x0， y0)(y00)和焦点 F1( c,0)， F2(c,0)为顶x2a2 y2b2点的 PF1F2中，若 F1PF2 ，则(1)|PF1| PF2|2 a.(2)4c2| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|cos .3(3) S PF1F2 |PF1|PF2|sin ，当| y0| b，即 P 为短轴端点时， S PF1F2取最大值12为 bc.(4)焦点三角形的周长为 2(a c)
6、考法二 椭圆的标准方程 例 2 (1)如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O， F(2 ，0)为 C5的左焦点， P 为 C 上一点，满足| OP| OF|且| PF|4，则椭圆 C 的方程为( )A. 1 x225 y25B. 1x230 y210C. 1 x236 y216D. 1x245 y225(2)(2019武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1， F2在 x 轴上， P(2， )是椭3圆上一点，且| PF1|，| F1F2|，| PF2|成等差数列，则椭圆方程为_解析 (1)设 F为椭圆的右焦点，连接 PF，在 POF 中，由余弦定理，得cos POF ，则| PF|OP|2 |
7、OF|2 |PF|22|OP|OF| 358，由椭圆定义，知|OP|2 |OF |2 2|OP|OF |cos POF2a4812，所以 a6，又 c2 ，所以 b216.5故椭圆 C 的方程为 1.x236 y216(2)椭圆的中心在原点，焦点 F1， F2在 x 轴上，可设椭圆方程为 1( a b0)，x2a2 y2b2 P(2， )是椭圆上一点，且| PF1|，| F1F2|，| PF2|成等差数列，3Error! 又 a2 b2 c2， a2 ， b ， c ，2 6 2椭圆方程为 1.x28 y26答案 (1)C (2) 1x28 y26方法技巧 待定系数法求椭圆方程的思路4集 训
8、冲 关 1. 已知椭圆 C： 1( a b0)的长轴长为 6，且两焦点恰好将长轴三等考 法 二 x2a2 y2b2分，则此椭圆的标准方程为( )A. 1 B. 1x236 y232 x29 y28C. 1 D. 1x29 y25 x216 y212解析：选 B 由题意可得 ，2 a6，解得 a3， c1，则 b ，2c2a 13 32 12 8所以椭圆 C 的方程为 1.故选 B.x29 y282. 已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且椭圆考 法 一 、 二 32G 上一点到两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为( )A. 1 B. 1x236 y29 x
9、29 y236C. 1 D. 1x24 y29 x29 y24解析：选 A 依题意设椭圆 G 的方程为 1( a b0)，椭圆上一点到两焦点x2a2 y2b2的距离之和为 12，2 a12， a6，椭圆的离心率为 ， e ，即32 ca 1 b2a2 32 ，解得 b29，椭圆 G 的方程为 1，故选 A.1 b236 32 x236 y293. P 为椭圆 1 上一点， F1， F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过 P 点考 法 一 x225 y29作 PH F1F2于点 H，若 PF1 PF2，则| PH|( )A. B.254 835C8 D.94解析：选 D 由椭圆 1 得 a225，
10、b29，x225 y29则 c 4，a2 b2 25 9| F1F2|2 c8.由椭圆的定义可得| PF1| PF2|2 a10， PF1 PF2，| PF1|2| PF2|28 2.2| PF1|PF2|(| PF1| PF2|)2(| PF1|2| PF2|2)1006436，| PF1|PF2|18.又 S PF1F2 |PF1|PF2| |F1F2|PH|，12 12| PH| .故选 D.|PF1|PF2|F1F2| 94突破点二 椭圆的几何性质基 本 知 识 标准方程 1( a b0)x2a2 y2b2 1( a b0)y2a2 x2b2图形范围 a x a， b y b b x
11、b， a y a对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)顶点A1( a,0)， A2(a,0)，B1(0， b)， B2(0， b)A1(0， a)， A2(0， a)，B1( b,0)， B2(b,0)性 质离心率 e ，且 e(0,1)caa， b， c 的关系 c2 a2 b2基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)椭圆 1( a b0)的长轴长等于 a.( )x2a2 y2b26(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a c.( )(3)椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1若焦点在 y 轴上的椭圆 1 的离心率为 ，则
12、m 的值为_x2m y22 12答案：322椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_答案：(0， )693已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过 P(5,4)，则椭圆的55方程为_答案： 1x245 y236全 析 考 法 考法一 椭圆的离心率 椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围例 1 (1)(2018全国卷)已知 F1， F2是椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦x2a2 y2b2点， A 是 C 的左顶点，点
13、P 在过 A 且斜率为 的直线上， PF1F2为等腰三角形，36 F1F2P120，则 C 的离心率为( )A. B.23 12C. D.13 14(2)(2019江西临川二中、新余四中联考)已知 F1， F2分别是椭圆 1( a b0)的x2a2 y2b2左、右焦点，过 F1且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A， B 上下两点，若 ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是( )A(0， 1) B( 1,1)2 2C(0， 1) D( 1,1)3 37解析 (1)如图，作 PB x 轴于点 B.由题意可设|F1F2| PF2|2，则 c1.由 F1F2P120，可得|PB| ，
14、| BF2|1，故| AB| a11 a2，tan PAB 3|PB|AB| ，解得 a4，所以 e .3a 2 36 ca 14(2) F1， F2分别是椭圆 1( a0， b0)的左、右焦点，过 F1且垂直于 x 轴的x2a2 y2b2直线与椭圆交于 A， B 上下两点， F1( c,0)， F2(c,0)， A ， B ，( c，b2a) ( c， b2a)ABF2是锐角三角形， AF2F145，tan AF2F11， 1，整理得b2a2cb22 ac， a2 c22 ac，两边同时除以 a2，并整理，得 e22 e10，解得 e 1 或2e 1(舍去)，0 e 1，椭圆的离心率 e 的
15、取值范围是( 1,1)，故选 B.2 2答案 (1)D (2)B方法技巧1求椭圆离心率的 3 种方法(1)直接求出 a， c 来求解 e.通过已知条件列方程组，解出 a， c 的值(2)构造 a， c 的齐次式，解出 e.由已知条件得出关于 a， c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率提醒 在解关于离心率 e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率 e(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根2求椭圆离心率范围的 2 种方法方法 解读 适合题型几何法利用椭圆的几何性质，设 P(x0， y0)为椭圆 1( a b0)上一点，则x2a2
16、y2b2|x0| a， a c| PF1| a c 等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系题设条件有明显的几何关系直接法根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有 a， b， c 的不等关系式题设条件直接有不等关系考法二 与椭圆性质有关的最值范围问题 8例 2 (1)(2017全国卷)设 A， B 是椭圆 C： 1 长轴的两个端点若 C 上x23 y2m存在点 M 满足 AMB120，则 m 的取值范围是( )A(0,19，) B(0， 9，)3C(0,14，) D(0， 4，)3(2)(2019合肥质检)如图，焦点在 x 轴上的椭圆 1 的离x24 y2
17、b2心率 e ， F， A 分别是椭圆的一个焦点和顶点， P 是椭圆上任意一点，12则 的最大值为_PF PA 解析 (1)当 0 m3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，ab 3 3m 3解得 0 m1.当 m3 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，解得 m9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0,19，)(2)由题意知 a2，因为 e ，ca 12所以 c1， b2 a2 c23.故椭圆方程为 1.x24 y23设 P 点坐标为( x0， y0)所以2 x02， y0 .
18、3 3因为 F(1,0)， A(2,0)，(1 x0， y0)， (2 x0， y0)，PF PA 所以 x x02 y x x01 (x02) 2.PF PA 20 20 1420 14则当 x02 时， 取得最大值 4.PF PA 答案 (1)A (2)4方法技巧9与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围提醒 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短
19、轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系 集 训 冲 关 1. 已知椭圆 1( a b0)的左顶点为 M，上顶点为 N，右焦点为 F，若考 法 一 x2a2 y2b2 0，则椭圆的离心率为( )NM NF A. B.32 2 12C. D.3 12 5 12解析：选 D 由题意知， M( a,0)， N(0， b)， F(c,0)， ( a， b)，NM ( c， b) 0， ac b20，即 b2 ac.又NF NM NF b2 a2 c2， a2 c2 ac. e2 e10，解得 e 或 e (舍去)椭圆的5 12 5 12离心率为 ，故选 D.5 122. 如图， F1， F2是双曲线
20、C1： x2 1 与椭圆 C2的考 法 一 y28公共焦点，点 A 是 C1， C2在第一象限内的交点，若| F1F2| F1A|，则 C2的离心率是( )A. B.23 45C. D.35 25解析：选 C 设椭圆的长半轴长为 a.由题意可知，|F1F2| F1A|6，| F1A| F2A|2，| F2A|4，| F1A| F2A|10，2 a10，C2的离心率是 .故选 C.610 353. 已知椭圆 C： y21 的两焦点为 F1， F2，点 P(x0， y0)满足考 法 二 x22100 y 1，则| PF1| PF2|的取值范围是_x202 20解析：由点 P(x0， y0)满足 0 y 1，可知 P(x0， y0)一定在椭圆内(不包括原点)，x202 20因为 a ， b1，所以由椭圆的定义可知| PF1| PF2|2 a2 ，当 P(x0， y0)与 F1或2 2F2重合时，| PF1| PF2|2，又| PF1| PF2| F1F2|2，故| PF1| PF2|的取值范围是2,2 )2答案：2,2 )211
