2019高考数学二轮复习专题七概率与统计第二讲概率、随机变量及其分布列学案理.doc

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1、1第二讲 概率、随机变量及其分布列考点一 古典概型、几何概型、条件概率1古典概型的概率公式P(A) .mn 事 件 A中 所 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数2几何概型的概率公式P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 3条件概率在 A 发生的条件下 B 发生的概率P(B|A) .PABPA nABnA对点训练1在区间 上随机取一个数 x，则 cos x 的值介于 与 之间的概率为( )12， 12 22 32A. B. C. D.13 14 15 16解析

2、区间 的长度为 1，满足 cos x 的值介于 与 之间的12， 12 22 322x ，区间长度为 ，由几何概型概率公式得 P .(14， 16) (16， 14) 16 161 16答案 D2(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 30723.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )A. B. C. D.112 114 115 118解析 不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个，从这 10 个素数中随

3、机选取两个不同的数，有 C 45 种情况，其和等于 30 的情况有 3 种，则所求概率等210于 .故选 C.345 115答案 C34 个高尔夫球中有 3 个合格、1 个不合格，每次任取一个，不放回地取两次若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为_解析 解法一：记事件 A第一次取到的是合格高尔夫球，事件 B第二次取到0 的是合格高尔夫球由题意可得 P(AB) ， P(A) ，3243 12 3343 34所以 P(B|A) .PABPA1234 23解法二：记事件 A第一次取到的是合格高尔夫球，事件 B第二次取到的是合格高尔夫球由题意可得事件 B 发生所包含的基本事件数

4、n(A B)326 种，事件 A 发生所包含的基本事件数 n(A)339，所以 P(B|A) .nABnA 69 23答案 234(2018郑州一模)某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为 9：00至 17：00，设甲在当天 13：00 至 18：00 之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是_解析 设银行的营业时间为 x，甲去银行的时间为 y，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理3业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率 P .4858 45答案 45快速审题 看到区域长度和

5、面积问题，想到几何概型；看到计数问题，想到古典概型；看到有条件的概率问题，想到条件概率解答古典概型、几何概型、条件概率的关键(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识(2)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域(3)求条件概率时，关键弄清在哪种条件下发生的概率，以便正确使用公式求解考点二 相互独立事件与独立重复试验4解 (1)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X0) ，(112) (1 13) (1 14) 14P(

6、X1) .12 (1 13) (1 14) (1 12) 13 (1 14) (1 12) (1 13) 14 1124P(X2) ，(112) 13 14 12 (1 13) 14 12 13 (1 14) 14P(X3) .12 13 14 124所以随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 14 1124 14 124随机变量 X 的数学期望 E(X)0 1 2 3 .14 1124 14 124 1312(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数， Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y Z1) P(Y0， Z1) P(Y1， Z0) P(Y0) P(Z1) P(Y

7、1) P(Z0) 14 1124 1124 14 .1148所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 .11485解题指导 (1) 判 断 事 件 关 系 判 断 概 率 类 型 利 用 公 式 求 解(2) 弄 清 X的 含 义 确 定 X的 取 值 符 合 二 项分 布 特 征 利 用 公式 求 解解 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件 Ai， Bi， Ci， i1,2,3.由题意知 A1， A2， A3， B1， B2， B3， C1， C2， C3均相互独立则 P(Ai) ， P(Bi) ， P(Ci) ， i1,2,3，3060 12 2060

8、13 1060 16(1)3 人选择的项目所属类别互异的概率：P1A P(A1B2C3)6 .312 13 16 16(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：P2 ，30 1060 23由 X B ，(3，23)得 P(X k)C k 3 k(k0,1,2,3)，k3(23)(1 23) X 的分布列为X 0 1 2 3P 127 29 49 827 X 的数学期望 E(X)3 2.23求复杂事件概率的 2 种方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解6

9、(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解，对于“至少” “至多”等问题往往用这种方法求解对点训练1角度 1(2018湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测检测得分低于 80 的为不合格品，只能报废回收；得分不低于 80 的为合格品，可以出厂现随机抽取这两种产品各 60 件进行检测，检测结果统计如下：得分 60,70) 70,80) 80,90) 90,100甲种产品的件数 5 10 34 11乙种产品的件数 8 12 31 9(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；(2)生产一

10、件甲种产品，若是合格品，可盈利 100 元，若是不合格品，则亏损 20 元；生产一件乙种产品，若是合格品，可盈利 90 元，若是不合格品，则亏损 15 元在(1)的前提下，记 X 为生产 1 件甲种产品和 1 件乙种产品所获得的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学期望解 (1)甲种产品为合格品的概率约为 ，4560 34乙种产品为合格品的概率约为 .4060 23(2)随机变量 X 的所有可能取值为 190,85,70，35，且 P(X190) ，34 23 12P(X85) ，34 13 14P(X70) ，14 23 16P(X35) .14 13 112所以随机变量 X 的分布列为X

11、190 85 70 35P 12 14 16 112所以 E(X) 125.1902 854 706 35122角度 2某公司为了提高员工的演讲能力，加强员工之间的互动，特举行“我是演7说家”活动，规定：被邀请者要么在 24 小时内接受挑战，要么不接受挑战，并且不能重复参加该活动若被邀请者接受挑战，则他需在公司的网站上发布自己不超过 10 分钟的演讲视频内容，公司给予一定的资金，然后他便可以邀请另外 3 个人参与该项活动假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响(1)若被邀请者接受挑战后，对另外 3 个人发出邀请，则这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战的概率是多少？(2)假定(1)

12、中被邀请到的 3 个人中恰有 2 个人接受挑战根据活动规定，现记 X 为接下来被邀请到的 6 个人中接受挑战的人数，求 X 的分布列、期望和方差解 因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为 ，12不接受挑战的概率也为 .12(1)设事件 M 为“邀请到的 3 个人中至少有 2 个人接受挑战” ，则 P(M)C 2 C23(12) (12)3 .3(12) 12(2)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6.因为 X 为接下来被邀请到的 6 个人中接受挑战的人数，所以 X B .(6，12)所以 P(X0)C 0 6 ，06(12)(12) 164P(X1)C

13、 5 ，16(12) (12) 664 332P(X2)C 2 4 ，26(12) (12) 1564P(X3)C 3 3 ，36(12) (12) 2064 516P(X4)C 4 2 ，46(12) (12) 1564P(X5)C 5 1 ，56(12) (12) 664 332P(X6)C 6 0 .6(12)(12) 164故 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 6P 164 332 1564 516 1564 332 164所以 E(X)6 3， D(X)6 .12 12 12 328故所求的期望为 3，方差为 .32考点三 随机变量的分布列、均值与方差1均值与方差的性质(1)

14、E(aX b) aE(X) b；(2)D(aX b) a2D(X)(a， b 为实数)2两点分布与二项分布的均值、方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X) p， D(X) p(1 p)；(2)若 X B(n， p)，则 E(X) np， D(X) np(1 p)【例】 高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“33”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分 150 分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 个科目中自主选择 3 个科目参加等级性考试，每门满分 100 分，高考录取成绩卷面总分为 750 分为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“

15、A市某一届学生在物理、化学、生物 3 个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体 B，从学生群体 B 中随机抽取了 50 名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计表如下.解 (1)记“所选取的 2 名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件 M，则 P(M) ，C25 C25 C20C250 2049所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为 P( )1 P(M) .M 29499(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2，P(X0) ， P(X1) ， P(X2) .C25 C25 C20C250 2049 C15C125 C120C125C250 254

16、9 C15C120C250 449从而 X 的分布列为X 0 1 2P 2049 2549 449E(X)0 1 2 .2049 2549 449 3349(3)所调查的 50 名学生中选考物理、化学、生物中的 2 个科目的学生有 25 名，被抽取的概率为 P ，所以 Y B ，2550 12 (4， 12)所以事件“ Y2”的概率为 P(Y2) C 2 2 C 3 C 4 .24(12) (1 12) 34(12) (1 12) 4(12) 1116探究追问 1 其他条件不变，若从所调查的 50 名学生中任选 2 名，记 X 表示这 2 名学生选考物理、化学、生物的科目数为 1 的人数，求

17、X 的数学期望解 X 服从超几何分布， X 的所有可能取值为 0,1,2，P(X0) ， P(X1) ， P(X2) ，C245C250 198245 C15C145C250 45245 C25C250 2245故 E(X)0 1 2 .198245 45245 2245 49245探究追问 2 其他条件不变，(3)中求 Y 的数学期望和方差解 由题知， Y B ，故 E(Y)4 2， D(Y)4 1.(4，12) 12 12 (1 12)10对点训练(2018武汉二模)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：(1)当 p 时，求 q 的值；14(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”

18、和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于 ，求 p 的取值范围；45(3)丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两11种方案中选择一种，已知 p ， q ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收12 16益的数学期望较大？结合结果并说明理由解 (1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利” “不赔不赚” “亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以 p q1.13又因为 p ，所以 q .14 512121(2018全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的

19、斜边 BC，直角边 AB， AC. ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1， p2， p3，则( )A p1 p2 B p1 p3C p2 p3 D p1 p2 p3解析 不妨设 BC5， AB4， AC3，则 ABC 三边所围成的区域的面积S1 346，区域的面积 S3 2 S1 6，区域的面积 S2 2212 2 (52) 258 2 2 6，所以 S1 S2S3，由几何概型的概率公式可知 p1 p2p3，故选 A. 2 (32) (258 6)答案 A2(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为

20、p，各成员的支付13方式相互独立设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， D(X)2.4， P(X4)0.5， p0.6，故410 610选 B.答案 B3(2018浙江卷)设 0p1，随机变量 的分布列是( ) 0 1 2P 1 p2 12 p2则当 p 在(0,1)内增大时( )A D( )减小 B D( )增大C D( )先减小后增大 D D( )先增大后减小解析 由题意得 E( )0 1 2 p， D( )1 p2 12 p2 12 2 2 2 (12 p)2(1 p)(12 p)0 (12 p) 1 p2 1 (12 p) 12 2 (12 p) p2 182(32 p

21、)2p p2 p 2 .14 (p 12) 12由Error!得 0p1， D( )在 上单调递增，在 上单调递减，故选 D.(0，12) (12， 1)答案 D4(2018天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽取的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查()用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；()设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充

22、足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件 A 发生的概率解 (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2人14(2)()随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X k) (k0,1,2,3)Ck4C3 k3C37所以，随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 135 1235 1835 435随机变量 X 的数学期望 E(X)0 1 2 3 .135 1235 1835 435 127()设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有

23、 2 人” ；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人” ，则A B C，且 B 与 C 互斥由()知， P(B) P(X2)， P(C) P(X1)，故 P(A) P(B C) P(X2) P(X1) .67所以，事件 A 发生的概率为 .671.概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大” ，即一道选择或填空题和一道解答题2选择或填空题常出现在第 410 题或第 1315 题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般3概率的解答题多在第 18 或 19 题的位置，难度中等15热点课题 18 利用均值与方差进

24、行决策感悟体验(2018南宁联考)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中的 2 道题便可通过已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响23(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解 (1)设甲正确完成面试的题数为 ，则 的可能取值为 1,2,3.16P( 1) ； P( 2) ； P( 3) .C14C2C36 15 C24C12C36 35 C34C

25、02C36 15应聘者甲正确完成题数 的分布列为 1 2 3P 15 35 15E( )1 2 3 2.15 35 15设乙正确完成面试的题数为 ，则 的可能取值为 0,1,2,3.P( 0)C 3 ； P( 1)C 1 2 ；03(13) 127 13(23)(13) 627P( 2)C 2 ； P( 3)C 3 .23(23)(13) 1227 3(23) 827应聘者乙正确完成题数 的分布列为 0 1 2 3P 127 627 1227 827E( )0 1 2 3 2.127 627 1227 827(或 因 为 B(3， 23)， 所 以 E 323 2)(2)因为 D( )(12)

26、 2 (22) 2 (32) 2 ，15 35 15 25D( )3 .23 13 23所以 D( )D( )综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成 2 道题的概率考查，甲面试通过的可能性大专题跟踪训练(二十九)一、选择题1(2018广东茂名一模)在 1,2,3,6 这组数据中随机取出三个数字，则数字 2 是这三个不同数字的平均数的概率是( )A. B. C. D.14 13 12 34解析 在 1,2,3,6 这组数据中随机取出三个数字，基本事件总共有 4 个，分别为17(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)数字

27、2 是三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3)，共 1 个数字 2 是三个不同数字的平均数的概率 P .故选 A.14答案 A2(2018广东深圳一模)两名同学分 3 本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得 3 本书的概率为( )A. B. C. D.12 14 13 16解析 两名同学分 3 本不同的书，基本事件有(0,3)，(1 a,2)，(1 b,2)，(1 c,2)，(2,1a)，(2,1 b)，(2,1 c)，(3,0)，共 8 个，其中一人没有分到书，另一人分到 3 本书的基本事件有 2 个，一人没有分到书，另一人分得 3 本书的概率 P .故选 B.28 14答

28、案 B3(2018河南濮阳二模)如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是 ，且是相互独12立的，则灯亮的概率为( )A. B. C. D.316 34 1316 14解析 灯泡不亮包括两种情况：四个开关都开，下边的 2 个都开，上边的 2 个中有一个开，灯泡不亮的概率是 ，灯亮和12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 316灯不亮是两个对立事件，灯亮的概率是 1 ，故选 C.316 1316答案 C4(2018河南安阳一模)在边长为 a 的正三角形内任取一点 Q，则点 Q 到三个顶点的距离均大于 的概率是( )a218A. B1 1112 36 36C. D.

29、13 14解析 设边长为 a 的正三角形为三角形 ABC，如图所示： AB a， S 三角形 ABC a2sin a2，满足到正三角形 ABC 的顶点 A、 B、 C 的12 3 34距离至少有一个小于或等于 的所有点组成的平面区域如图中阴影部分所示，各部分组合起a2来构成一个半径为 的半圆，a2 S 阴影 2 ，12 (a2) a28使点 Q 到三个顶点 A、 B、 C 的距离都大于 的概率 P1 1 .故选 B.a2 a283a24 36答案 B5在 1,2,3,4,5,6,7,8 这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字 4 是取出的五个不同数的中位数的概率为( )A. B. C. D.

30、956 928 914 59解析 设事件 A 为“数字 4 是取出的五个不同数的中位数” “从八个数字中取出五个数字”的种数为 nC C 56.对事件 A，先考虑数字 4 在五个数的中间位置，再考虑58 38分别从数字 1,2,3 和 5,6,7,8 中各取两个数字，则事件 A 包含的基本事件种数为mC C 3618.2324由古典概型的概率计算公式，得 P(A) .mn 1856 928答案 B196(2018重庆一中一模)将 4 个不同的小球装入 4 个不同的盒子，则在至少有一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是( )A. B. C. D.2158 1229 2164 727解析

31、 根据题意，将 4 个不同的小球装入 4 个不同的盒子的放法为 44256.若没有空盒，有 A 24(种)放法，有 1 个空盒的放法有 C C A 144(种)，有 3 个空盒的放法有4 14243C 4 种，则至少有一个盒子为空的放法有 25624232(种)，故“至少有一个盒子为空”14的概率 p1 ，恰好有两个盒子为空的放法有 25624144484(种)，故“恰好有两232256个盒子为空”的概率 p2 ，则在至少有一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空84256的概率 p .故选 A.p2p1 2158答案 A二、填空题7在 100 件产品中有 95 件合格品，5 件不合格品现从中

32、不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为_解析 解法一：设事件 A 为“第一次取到不合格品” ，事件 B 为“第二次取到不合格品” ，则所求的概率为 P(B|A)，因为 P(AB) ， P(A) ，C25C2100 C15C1100所以 P(B|A) .PABPA54100995100 499解法二：第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有 99 件产品，其中有 4件不合格的，因此第二次取到不合格品的概率为 .499答案 4998. (2018青岛模拟)如图所示的阴影部分是由 x 轴，直线 x1 及曲线 ye x1 围成的，现向矩形区域 OAB

33、C 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是_20解析 由几何概型的概率计算公式可知，所求概率为 .10ex 1dx1e 1 e 2e 1答案 e 2e 19(2018皖南八校联考)某班从 4 名男生、2 名女生中选出 3 人参加志愿者服务，若选出的男生人数为 ，则 的方差 D( )_.解析 从 4 名男生、2 名女生中选出 3 人参加志愿者服务，选出的男生人数 可能为 1,2,3，其中， P( 1) ， P( 2) ， P( 3) .所以 C14C2C36 15 C24C12C36 35 C34C02C36 15的数学期望 E( )1 2 3 2， D( )(12) 2 (22) 2 (3

34、2)15 35 15 15 352 .15 25答案 25三、解答题10(2018广州综合测试)某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望解 (1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A) .C13C27 C03C37C310 4960

35、21所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为 .4960(2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.P(X k) (k0,1,2,3)Ck4C3 k6C310所以 P(X0) ， P(X1) ，C04C36C310 16 C14C26C310 12P(X2) ， P(X3) .C24C16C310 310 C34C06C310 130所以随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P 16 12 310 130随机变量 X 的数学期望 E(X)0 1 2 3 .16 12 310 130 6511某学校组织知识测试，设置 A， B， C 三组测试项目供参赛同学选择甲、乙、丙三名同

36、学参加比赛，其中甲参加 A 组测试，甲通过测试的概率为 ；乙参加 B 组测试，乙通13过测试的概率为 ；丙参加 C 组测试， C 组共有 6 道试题，丙只能答对其中 4 道题根据规12则，丙只能且必须选择 4 道题作答，至少答对 3 道才能通过测试(1)求丙通过测试的概率(2)记 A， B， C 三组通过测试的总人数为 ，求 的分布列和期望解 (1)设丙通过测试为事件 A，则 P(A) .C4 C34C12C46 35(2)依题意得，1 ，1 ，1 ， 的可能取值为 0,1,2,3，则有13 23 12 12 35 25P( 0) ，23 12 25 215P( 1) ，13 12 25 23

37、 12 25 23 12 35 25P( 2) ，13 12 25 13 12 35 23 12 35 1130P( 3) .13 12 35 110则 的分布列为 0 1 2 322P 215 25 1130 110所以 的期望 E( )0 1 2 3 .215 25 1130 110 433012(2018南昌第一次质检)交强险是车主必须为机动车购买的险种若普通 6 座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为 a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品

38、牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 60 辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6数量 10 5 5 20 15 5以这 60 辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：(1)按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定， a950.记 X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求 X 的分布列与数学期望；(数学23期望值保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车假设购进一辆事故车亏损 50

39、00 元，一辆非事故车盈利 10000 元：若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；若该销售商一次购进 100 辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值解 (1)由题意可知， X 的可能取值为 0.9a,0.8a,0.7a， a,1.1a,1.3a.由统计数据可知：P(X0.9 a) ， P(X0.8 a) ， P(X0.7 a) ， P(X a) ， P(X1.1 a)16 112 112 13 ， P(X1.3 a) .14 112所以 X 的分布列为X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1a 1.3aP 16 112 112 1

40、3 14 112所以 E(X)0.9 a 0.8 a 0.7 a a 1.1 a 1.3 a 16 112 112 13 14 112 11.9a12942.1130512(2)由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 ，三13辆车中至多有一辆事故车的概率为 P 3C 2 .(113) 1313(23) 2027设 Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润， Y 的可能取值为5000,10000.所以 Y 的分布列为Y 5000 10000P 13 23所以 E(Y)5000 10000 5000，13 23所以该销售商一次购进 100 辆(车龄已满三年)该品牌的二手车获得利润的期望值为100E(Y)500000 元