版选修4_5.doc
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1、12基本不等式1基本不等式的定理 1,2定理 1:如果 a, bR,那么 a2 b22 ab,当且仅当 a b 时,等号成立定理 2:如果 a, b0,那么 ,而且仅当 a b 时,等号成立,即两个正数的a b2 ab算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均2基本不等式的理解重要不等式 a2 b22 ab 和基本不等式 ,成立的条件是不同的前者成立的a b2 ab条件是 a 与 b 都为实数,并且 a 与 b 都为实数是不等式成立的充要条件;而后者成立的条件是 a 与 b 都为正实数,并且 a 与 b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件,如a0, b0 仍然能使 成立 a b2 ab两
2、个不等式中等号成立的充要条件都是 a b.3由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式(1)a2 b2 ;(a b)22(2)ab ;a2 b22(3)ab 2;(a b2 )(4) 2 ;(a b2 ) a2 b22(5)(a b)24 ab.利用基本不等式证明不等式例 1 已知 a, b, cR ,且 a b c1.求证: 9.1a 1b 1c思路点拨 解答本题可先利用 1 进行代换,再用基本不等式来证明证明 法一: a, b, cR ,且 a b c1, 1a 1b 1c a b ca a b cb a b cc23 ba ca ab cb ac bc3 32229.当且仅当 a b c
3、时,等号成立(ba ab) (ca ac) (cb bc)即 9.1a 1b 1c法二: a, b, cR ,且 a b c1, ( a b c)1a 1b 1c (1a 1b 1c)1 1 1ba ca ab cb ac bc3 (ba ab) (ca ac) (cb bc)32229.当且仅当 a b c 时,等号成立 9.1a 1b 1c用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式进行证明1已知 a, b, c, d 都是正数,求证:( ab cd)(ac bd)4 abcd.证明:因为 a, b, c
4、, d 都是正数,所以 0, 0,ab cd2 abcd ac bd2 acbd所以 abcd,(ab cd)(ac bd)4即( ab cd)(ac bd)4 abcd.当且仅当 ab cd, ac bd,即 a d, b c 时,等号成立2已知 a, b, c 为正实数,求证:(1) 8;(a b)(b c)(c a)abc(2)a b c .ab bc ca证明:(1) a, b, c 为正实数, a b2 0,abb c2 0,bcc a2 0,ca3由上面三式相乘可得(a b)(b c)(c a)8 8 abc.ab bc ca即 8.(a b)(b c)(c a)abc(2) a,
5、 b, c 为正实数, a b2 , b c2 , c a2 ,ab bc ca由上面三式相加可得(a b)( b c)( c a)2 2 2 .ab bc ca即 a b c .ab bc ca利用基本不等式求最值例 2 (1)当 x0 时,求 f(x) 的值域;2xx2 1(2)设 00, y0,且 1,求 x y 的最小值1x 9y思路点拨 根据题设条件,合理变形,创造能用基本不等式的条件,求最值解 (1) x0, f(x) .2xx2 1 2x 1x x 2,1x00.32 y4 x(32 x)22 x(32 x)2 2 .2x (3 2x)2 92当且仅当 2x32 x,即 x 时,
6、等号成立34 y4 x(32 x)的最大值为 .924(3) x0, y0, 1,1x 9y x y (x y) 1061016.(1x 9y) yx 9xy当且仅当 ,又 1,yx 9xy 1x 9y即 x4, y12 时,上式取等号故当 x4, y12 时,有( x y)min16.在应用基本不等式求最值时, 分以下三步进行:(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,需对式子变形,凑出需要的定值;(2)其次,看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提取(1)变为同正;(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足,则可取最值,若不满足,则可通过函数单调性或导数解决
7、3已知 x, y(0,),且 log2xlog 2y2,则 的最小值是( )1x 1yA4 B3C2 D1解析:选 D ,1x 1y x yxy 2xyxy 2xy当且仅当 x y 时取等号log 2xlog 2ylog 2(xy)2, xy4. 1,当且仅当 x y2 时取等号,1x 1y 2xy故 的最小值为 1.1x 1y4设 x, yR, a1, b1,若 ax by2,2 a b8,则 的最大值为( )1x 1yA2 B3C4 Dlog 23解析:选 B 由 ax by2 得 xlog a2, ylog b2, log 2alog 2blog 2(ab)1x 1y 1loga2 1l
8、ogb25又 a1, b1,82 a b2 ,即 ab8,2ab当且仅当 2a b,即 a2, b4 时取等号,所以 log 2(ab)log 283.1x 1y故 max3.(1x 1y)利用基本不等式解决实际问题例 3 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为 900 m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔 1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m 宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3 m 宽的通道,如图设矩形温室的室内长为 x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为 S(单
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