1、12基本不等式1基本不等式的定理 1,2定理 1：如果 a， bR，那么 a2 b22 ab，当且仅当 a b 时，等号成立定理 2：如果 a， b0，那么 ，而且仅当 a b 时，等号成立，即两个正数的a b2 ab算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均2基本不等式的理解重要不等式 a2 b22 ab 和基本不等式 ，成立的条件是不同的前者成立的a b2 ab条件是 a 与 b 都为实数，并且 a 与 b 都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是 a 与 b 都为正实数，并且 a 与 b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a0， b0 仍然能使 成立 a b2 ab两
2、个不等式中等号成立的充要条件都是 a b.3由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式(1)a2 b2 ；(a b)22(2)ab ；a2 b22(3)ab 2；(a b2 )(4) 2 ；(a b2 ) a2 b22(5)(a b)24 ab.利用基本不等式证明不等式例 1 已知 a， b， cR ，且 a b c1.求证： 9.1a 1b 1c思路点拨 解答本题可先利用 1 进行代换，再用基本不等式来证明证明 法一： a， b， cR ，且 a b c1， 1a 1b 1c a b ca a b cb a b cc23 ba ca ab cb ac bc3 32229.当且仅当 a b c
3、时，等号成立(ba ab) (ca ac) (cb bc)即 9.1a 1b 1c法二： a， b， cR ，且 a b c1， ( a b c)1a 1b 1c (1a 1b 1c)1 1 1ba ca ab cb ac bc3 (ba ab) (ca ac) (cb bc)32229.当且仅当 a b c 时，等号成立 9.1a 1b 1c用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明1已知 a， b， c， d 都是正数，求证：( ab cd)(ac bd)4 abcd.证明：因为 a， b， c
4、， d 都是正数，所以 0， 0，ab cd2 abcd ac bd2 acbd所以 abcd，(ab cd)(ac bd)4即( ab cd)(ac bd)4 abcd.当且仅当 ab cd， ac bd，即 a d， b c 时，等号成立2已知 a， b， c 为正实数，求证：(1) 8；(a b)(b c)(c a)abc(2)a b c .ab bc ca证明：(1) a， b， c 为正实数， a b2 0，abb c2 0，bcc a2 0，ca3由上面三式相乘可得(a b)(b c)(c a)8 8 abc.ab bc ca即 8.(a b)(b c)(c a)abc(2) a，
5、 b， c 为正实数， a b2 ， b c2 ， c a2 ，ab bc ca由上面三式相加可得(a b)( b c)( c a)2 2 2 .ab bc ca即 a b c .ab bc ca利用基本不等式求最值例 2 (1)当 x0 时，求 f(x) 的值域；2xx2 1(2)设 00， y0，且 1，求 x y 的最小值1x 9y思路点拨 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值解 (1) x0， f(x) .2xx2 1 2x 1x x 2，1x00.32 y4 x(32 x)22 x(32 x)2 2 .2x (3 2x)2 92当且仅当 2x32 x，即 x 时，
6、等号成立34 y4 x(32 x)的最大值为 .924(3) x0， y0， 1，1x 9y x y (x y) 1061016.(1x 9y) yx 9xy当且仅当 ，又 1，yx 9xy 1x 9y即 x4， y12 时，上式取等号故当 x4， y12 时，有( x y)min16.在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决
7、3已知 x， y(0，)，且 log2xlog 2y2，则 的最小值是( )1x 1yA4 B3C2 D1解析：选 D ，1x 1y x yxy 2xyxy 2xy当且仅当 x y 时取等号log 2xlog 2ylog 2(xy)2， xy4. 1，当且仅当 x y2 时取等号，1x 1y 2xy故 的最小值为 1.1x 1y4设 x， yR， a1， b1，若 ax by2,2 a b8，则 的最大值为( )1x 1yA2 B3C4 Dlog 23解析：选 B 由 ax by2 得 xlog a2， ylog b2， log 2alog 2blog 2(ab)1x 1y 1loga2 1l
8、ogb25又 a1， b1，82 a b2 ，即 ab8，2ab当且仅当 2a b，即 a2， b4 时取等号，所以 log 2(ab)log 283.1x 1y故 max3.(1x 1y)利用基本不等式解决实际问题例 3 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为 900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3 m 宽的通道，如图设矩形温室的室内长为 x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为 S(单
9、位：m 2)(1)求 S 关于 x 的函数关系式；(2)求 S 的最大值解 (1)由题设，得 S( x8) 2 x 916， x(8,450)(900x 2) 7 200x(2)因为 80，225 x 2 10 800.3602x 2253602 y225 x 36010 440，3602x当且仅当 225x 时，等号成立3602x即当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10 440 元1下列不等式中，正确的个数是( )若 a， bR，则 ；a b2 ab7若 xR，则 x22 2；1x2 2若 xR，则 x21 2；1x2 1若 a， b 为正实数，则 .a b2 abA0
10、 B1C2 D3解析：选 C 显然不正确；正确；对于，虽然 x22 无解，但 x221x2 22 成立，故正确；1x2 2不正确，如 a1， b4.2设正实数 a， b 满足 a b1，则( )A. 有最大值 4 B. 有最小值1a 1b ab 12C. 有最大值 D a2 b2有最小值a b 222解析：选 C 由于 a0， b0，由基本不等式得 1 a b2 ，当且仅当 a b 时，等ab号成立， ， ab ， 4，因此 的最小值为ab12 14 1a 1b a bab 1ab 1a 1b4， a2 b2( a b)22 ab12 ab1 ，( )12 12 a b2 a b2 12 11
11、2，所以 有最大值 ，故选 C.ab ab a b 23已知 x0， y0， x2 y2 xy8，则 x2 y 的最小值是( )A3 B4C. D.92 112解析：选 B 由题意得 x2 y8 x2y8 2，当且仅当 x2 y 时，等号成立，(x 2y2 )整理得( x2 y)24( x2 y)320，即( x2 y4)( x2 y8)0，又 x2 y0，所以x2 y4，故选 B.4某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么，
12、要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A5 千米处 B4 千米处C3 千米处 D2 千米处8解析：选 A 由已知可得 y1 ， y20.8 x(x 为仓库到车站的距离)，所以费用之和20xy y1 y20.8 x 2 8.20x 0.8x20x当且仅当 0.8x ，即 x5 时等号成立20x5若 x0，则 f(x)23 x2 的最大值是_，取得最大值时 x 的值是12x2_解析： f(x)23 23410，(x24x2)当且仅当 x2 即 x 时取等号4x2 2答案：10 26若 a0， b0， a b2，则下列不等式对一切满足条件的 a， b 恒成立的是_(填序号) ab1； ； a
13、2 b22；a b 2 a3 b33； 2.1a 1b解析：两个正数，和定，积有最大值，即 ab 1，当且仅当 a b 时取等号，(a b)24故正确；( )2 a b2 2 2 4，当且仅当 a b 时取等号，得 2，故a b ab ab a b错误；由于 1，故 a2 b22 成立，故正确；a2 b22 (a b)24a3 b3( a b)(a2 b2 ab)2( a2 b2 ab)， ab1， ab1，又a2 b22， a2 b2 ab1， a3 b32，故错误； 1 112，当且仅当 a b 时取等号，故成立1a 1b (1a 1b) a b2 a2b b2a答案：7对于 x ，不等式
14、 16 恒成立，则正数 p 的取值范围为(0， 2) 1sin2x pcos2x_解析：令 tsin 2x，则 cos2x1 t.又 x ， t(0,1)(0， 2)9不等式 16 可化为 p (1 t)1sin2x pcos2x (16 1t)而 y (1 t)17 172 9，当 16 t，即 t 时取等号，(161t) (1t 16t) 1t16t 1t 14因此若原不等式恒成立，只需 p9.答案：9，)8已知 a0， b0， a b1，求证：(1) 8；1a 1b 1ab(2) 9.(11a)(1 1b)证明：(1) a b1， a0， b0， 1a 1b 1ab 1a 1b a ba
15、b2 (1a 1b)2 (a ba a bb )2 4(ba ab)4 48(当且仅当 a b 时，等号成立)，baab 12 8.1a 1b 1ab(2) 1，(11a)(1 1b) 1a 1b 1ab由(1)知 8. 9.1a 1b 1ab (1 1a)(1 1b)9已知 x0， y0，且 2x5 y20.(1)求 ulg xlg y 的最大值；(2)求 的最小值1x 1y解：(1) x0， y0，由基本不等式，得 2x5 y2 .10xy2 x5 y20，2 20，即 xy10，当且仅当 2x5 y 时等号成立因此有10xyError!解得 Error!此时 xy 有最大值 10.10
16、ulg xlg ylg( xy)lg 101.当 x5， y2 时， ulg xlg y 有最大值 1.(2) x0， y0， 1x 1y (1x 1y) 2x 5y20 120(7 5yx 2xy) 120(7 2 5yx2xy)，7 21020当且仅当 时等号成立5yx 2xy由Error! 解得Error! 的最小值为 .1x 1y 7 2102010某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4 000 m2，人行道的宽分别为 4 m 和 10 m(如图所示)(1)若
17、设休闲区的长和宽的比 x，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的A1B1B1C1解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1的长和宽应如何设计？解：(1)设休闲区的宽为 a m，则其长为 ax m，由 a2x4 000，得 a .2010x则 S(x)( a8)( ax20) a2x(8 x20) a1604 000(8 x20) 1602010x80 4 160( x1)10(2 x 5x)(2)由(1)知， S80 2 4 1601 6004 1605 760.当且仅当 2 102x5x x即 x 2.5 时取等号，此时 a40， ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区5xA1B1C1D1应设计为长 100 m，宽 40 m.11
