广西2020版高考数学一轮复习考点规范练54古典概型文.docx

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1、1考点规范练 54 古典概型一、基础巩固1.在 2,0,1,5 这组数据中,随机取出三个不同的数,则数字 2 是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A. B. C. D.34 58 12 14答案 C解析 由题意可知总的基本事件有(2,0,1),(2,0,5),(0,1,5),(2,1,5),共 4 种,其中数字 2 是取出的三个不同数的中位数的有(2,0,5),(2,1,5),共 2 种,故所求的概率为 .24=122.从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人,则甲被选中的概率为( )A. B. C. D.15 25 825 925答案 B解析 从甲、乙等 5 名学生中选 2 人有 10

2、种方法,其中 2 人中包含甲的有 4 种方法,故所求的概率为.410=253.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为 x,第二次向上的点数记为 y,在平面直角坐标系 xOy 中,以( x,y)为坐标的点落在直线 2x+y=8 上的概率为( )A. B. C. D.16 112 536 19答案 B解析 依题意,以( x,y)为坐标的点共有 66=36(个),其中落在直线 2x+y=8 上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共 3 个,故所求事件的概率为 .336=11224.(2018 广东佛山质检)袋中有 5 个球,这些球除了颜色和标号外,其余均相同,其中红色球 3 个,标

3、号分别为 1,2,3;蓝色球 2 个,标号分别为 1,2.从袋中任取两个球,则这两个球颜色不同,且标号之和不小于 4 的概率为( )A. B. C. D.310 25 35 710答案 A解析 设红球为 A1,A2,A3,蓝色球为 B1,B2,任取两个球,总的事件包括:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A1A2,A1A3,A2A3,B1B2,共 10 个,其中满足题意的有 A2B2,A3B1,A3B2,共 3 个,所以这两个球颜色不同,且标号之和不小于 4 的概率为 .3105.(2018 辽宁六校协作体期中)四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有

4、人同时翻转自己的硬币 .若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着 .那么,没有相邻的两个人站起来的概率为( )A. B. C. D.12 516 716 1116答案 C解析 四个人坐着或站起来的情形共有 24=16(种) .没有相邻的两个人站起来,即硬币的正面不能相邻,有以下几种情况:正反正反,反正反正,反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,反反反反,共 7 种 .由古典概型概率公式可得,没有相邻的两个人站起来的概率为 .7166.某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票,小明口袋里有一元餐票 2 张,两元餐票 2 张,五元餐票1 张,若他从口袋中随机地摸出 2 张,则

5、其面值之和不少于四元的概率为( )A. B. C. D.310 25 12 35答案 C解析 小明口袋里共有 5 张餐票,随机地摸出 2 张,基本事件总数 n=10,其面值之和不少于四元包含的基本事件数 m=5,故其面值之和不少于四元的概率为 .mn=510=1237.从集合2,3,4,5中随机抽取一个数 a,从集合1,3,5中随机抽取一个数 b,则向量 m=(a,b)与向量 n=(1,-1)垂直的概率为 ( )A. B. C. D.16 13 14 12答案 A解析 由题意可知向量 m=(a,b)有(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3)

6、,(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共 12 种情况 .因为 mn,即 mn=0,所以 a1+b(-1)=0,即 a=b,满足条件的有(3,3),(5,5),共 2 种,故所求的概率为 .168.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 . 答案56解析 (方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次,共有 36 个基本事件 .其中向上的点数之和小于10 的基本事件共有 30 个,所以所求概率为 .3036=56(方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次,共有 36 个基本

7、事件 .记 A 表示“向上的点数之和小于 10”,则 表示“向上的点数之和不小于 10”, 的基本事件共有 6 个,A A所以 P( )= ,所以 P(A)=1-P( )= .A636=16 A 569.已知蒸笼中共蒸有 5 个外形和大小完全相同的包子,其中 2 个香菇青菜包、1 个肉包、1 个豆沙包、1 个萝卜丝包,现从蒸笼中任取 2 个包子,则取出的这 2 个包子中有香菇青菜包的概率为 .答案710解析 不妨将 2 个香菇青菜包分别编号为 1,2,1 个肉包编号为 3,1 个豆沙包编号为 4,1 个萝卜丝包编号为 5,则所有的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,

8、3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10 个 .记“取出的 2 个包子中有香菇青菜包”为事件 A,4则事件 A 包含的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共 7 个 .故所求的概率为 P(A)= .71010.为迎接校运动会的到来,某校团委在高一年级招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者(18 名女志愿者中有 6 人喜欢运动) .(1)若用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取 10 人组成服务队,求女志愿者被抽到的人数;(2)若从喜欢运动的 6 名女志愿者中(其中恰有 4 人懂得医疗救护),任意抽取

9、 2 名志愿者负责医疗救护工作,则抽出的 2 名志愿者都能胜任医疗救护工作的概率是多少?解 (1)由题意可知每个志愿者被抽中的概率是 ,1030=13故女志愿者被抽到的人数为 18 =6.13(2)设喜欢运动的女志愿者为 A,B,C,D,E,F,其中 A,B,C,D 懂得医疗救护,则从这 6 人中任取 2 人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 种取法,其中 2 人都懂得医疗救护的有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,共 6 种取法 .设“抽出的 2 名志愿者都能胜任医疗救护工作”为事件 A,则抽出的 2 名志愿者都能胜任医疗

10、救护工作的概率 P(A)= .615=2511.(2018 广东佛山模拟)某游乐园为吸引游客,推出了一项有奖转盘活动 .如图,假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,每名游客凭门票只可以参与一次活动,一次活动需转动转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,工作人员便会记录指针所指区域中的数 .设两次记录的数分别为 x,y,奖励规则如下: 若 xy3,则奖励玩具一个; 若 xy8,则奖励水杯一个; 其余情况则奖励饮料一瓶 .(1)求在一次活动中小亮获得玩具的概率;(2)请比较一次活动中小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由 .5解 (1)用数对( x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则基本事

11、件空间 与点集 S=(x,y)|xN, yN,1 x4,1 y4一一对应 .因为 S 中元素的个数是 44=16,所以基本事件总数为 n=16.记“ xy3”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件共有 5 个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),故 P(A)= ,故小亮获得玩具的概率为 .516 516(2)记“ xy8”为事件 B,“3516二、能力提升12.(2018 湖南、江西十四校联考)已知某地春天下雨的概率为 40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率 .先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示下雨,5,6

12、,7,8,9,0 表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果 .经随机模拟产生了如下 20 组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为( )A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.35答案 C解析 根据题意,该地未来三天恰有一天下雨,就是三个数字 xyz 中只有一个数字在集合1,2,3,4中,考查所给 20 组数据,以下 8 组数据符合题意,按次序分别为 925,458,683,257,027,48

13、8,730,537,则所求概率 P= =0.4,故选 C.82013.设 a1,2,3,4, b2,4,8,12,则函数 f(x)=x3+ax-b 在区间1,2上有零点的概率为( )6A. B.12 58C. D.1116 34答案 C解析 因为 f(x)=x3+ax-b,所以 f(x)=3x2+a.因为 a1,2,3,4,所以 f(x)0,所以函数 f(x)在区间1,2上为增函数 .若存在零点,则 f(1)f(2)0,解得 a+1 b8 +2a.因此,可使函数在区间1,2上有零点的情况为:a=1,2 b10,故 b=2,b=4,b=8,共有 3 种情况;a=2,3 b12,故 b=4,b=8

14、,b=12,共有 3 种情况;a=3,4 b14,故 b=4,b=8,b=12,共有 3 种情况;a=4,5 b16,故 b=8,b=12,共有 2 种情况 .所以有零点共有 3+3+3+2=11 种情况 .而构成函数共有 44=16 种情况,根据古典概型可得有零点的概率为 .111614.(2018 上海崇明区二模)我国古代数学名著九章算术中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1 534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为 石 .(精确到小数点后一位数字) 答案 169.1解析 设这批米内夹谷约为 x 石,由题意结合古典概型计算公式,

15、可得 ,解得x1534=28254x= 169 .1.28153425415.空气质量按照空气质量指数大小分为七档(五级),相对应空气质量的七个类别,指数越大,说明污染的情况越严重,对人体危害越大 .指数 级 类别 户外活动建议7别050 优51100 良可正常活动101150轻微污染151200 轻度污染易感人群症状有轻度加剧,健康人群出现刺激症状,心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体力消耗和户外活动201250中度污染251300 中度重污染心脏病和肺病患者症状显著加剧,运动耐受力降低,健康人群中普遍出现症状,老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动301500 重污染健康人运动耐受力降低,有明

16、显强烈症状,提前出现某些疾病,老年人和病人应当留在室内,避免体力消耗,一般人群应尽量减少户外活动现统计邵阳市市区 2017 年 10 月至 11 月连续 60 天的空气质量指数,制成如图所示的频率分布直方图 .(1)求这 60 天中属轻度污染的天数;(2)求这 60 天空气质量指数的平均值;(3)将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组,第二组,第五组 .从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天,记它们的空气质量指数分别为 x,y,求事件 |x-y|150 的概率 .解 (1)依题意知,轻度污染即空气质量指数在 151200 之间,共有 0.0035060=9(天) .(2)由直方图知这

17、 60 天空气质量指数的平均值为=250.1+750.4+1250.3+1750.15+2250.05=107.5.x(3)第一组和第五组的天数分别为 600.1=6,600.05=3,8则从 9 天中抽出 2 天的一切可能结果的基本事件有 36 种,由 |x-y|150 知两天只能在同一组中,而两天在同一组中的基本事件有 18 种,用 M 表示 |x-y|150 这一事件,则 P(M)= .1836=12三、高考预测16.为了了解某学段 1 000 名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干名学生的百米成绩,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组13,14);第二

18、组14,15);第五组17,18.由上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为 3 8 19,且第二组的频数为 8.(1)将频率当作概率,请估计该学段学生中百米成绩在16,17)内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数(精确到 0.01 秒);(2)若从第一、五组中随机取出两个人的成绩,求这两个人的成绩的差的绝对值大于 1 秒的概率 .解 (1)设前三组的频率依次为 3x,8x,19x,则 3x+8x+19x=1-0.32-0.08=0.6,即 x=0.02,故第二组的频率为 0.16,又第二组的频数为 8,所以抽取的学生总人数为 =50,80.16由此可

19、估计学生中百米成绩在16,17)内的人数为 0.3250=16.设所求中位数为 m,由第一组、第二组、第三组的频率分别为 0.06,0.16,0.38,则 0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5,解得 m15 .74.故估计学生中百米成绩在16,17)内的人数为 16,9所有抽取学生的百米成绩的中位数为 15.74 秒 .(2)记“两个人成绩的差的绝对值大于 1 秒”为事件 A.由(1)可知从第一组抽取的人数为 0.02350=3,不妨记为 a,b,c;从第五组抽取的人数为 0.0850=4,不妨记为 1,2,3,4.则从第一、五组中随机取出两个人的成绩有ab,ac,a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4,12,13,14,23,24,34,共 21 种情况,其中两个人的成绩的差的绝对值大于 1 秒是来自不同的组,共有 12 种情况 .故两个人的成绩的差的绝对值大于 1 秒的概率为 .1221=47