2019届高考数学二轮复习专题三立体几何1.3.1空间几何体的三视图、表面积及体积课件文.ppt

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1、第一讲 空间几何体的三视图、表面积及体积,热点题型1 空间几何体的三视图 【感悟经典】 【典例】1.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正(主)视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为 ( ),2.(2017北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该 三棱锥的体积为 ( )A.60 B.30 C.20 D.10,【联想解题】 1.看到三视图,想到几何体的形状. 2.看到体积,想到体积公式.,【规范解答】1.选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点. 2.选D.由三棱锥的三视图可知,该三棱锥的直观图为A-BCD,如图所示,其所在长方体的长、宽、高分别为5,3,4, 所以V

2、A-BCD= 345 =10.,【规律方法】 由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实践和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状.,【对点训练】 1.如图所示,将图中的正方体截去两个三棱锥,得到图中的几何体,则该几何体的侧视图为 ( ),【解析】选B.从几何体的左面看,棱AD1是原正方形ADD1A1的对角线,在视线范围内,画实线;棱C1F不在视线范围内,画虚线.,2.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的 尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是 ( )A. cm3 B.

3、 cm3 C. cm3 D. cm3,【解析】选C.画出直观图,这是一个三棱锥,所以它的 体积为V= Sh= 2= (cm3).,【提分备选】1.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为 ( ),【解析】选D.被截去的四棱锥的三条可见棱中, 两条为长方体的两条对角线, 它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合,另一条为体对角线, 它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合, 对照各图,只有D符合.,2.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的表面积为_.,【解析】由正视图和侧视图可判断出几何体为锥体,结 合俯视图可得该几何体为圆锥的一部分.其表面

4、积由底 面扇形,圆锥侧面的一部分和两个三角形截面组成,首 先通过正视图线段的长度可得扇形的圆心角为 ,所 以扇形面积S1= r2= 22= ,由侧视图,可得圆锥的母线长l= =2 ,由底面扇形所占底 面圆形的 可得圆锥部分侧面面积也是圆锥侧面面积 的 , 即S2= rl= ,由正视图可得两个三角形的底 为2,高为4,所以三角形面积为S3= 24=4,所以几,何体的表面积为S=S1+S2+2S3= +8. 答案: +8,热点题型2 求空间几何体的表面积和体积 【感悟经典】 【典例】1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积是( ),A.36+6 B.3

5、6+3 C.54 D.27,2.(2017山东高考)由一个长方体和两个 圆柱构成 的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为_.,【联想解题】 1.看到三视图,想到几何体形状. 2.看到求面积体积,想到几何体的各个度量与三视图中的大小标示关系.,【规范解答】 1.选A.由三视图知该几何体为底面是梯形的四棱柱,其 表面积为S=2 (2+4)3+23+43+23 =36+6 .,2.由三视图可知长方体的体积为V1=211=2,两个四 分之一圆柱的体积之和为V2= 1212= , 所以该几何体的体积为V=2+ . 答案:2+,【规律方法】 1.根据几何体的三视图判断几何体的结构特征的类型 (1)三视图

6、为三个三角形,对应的几何体为三棱锥. (2)三视图为两个三角形,一个四边形,对应的几何体为四棱锥.,(3)三视图为两个三角形,一个圆,对应的几何体为圆锥. (4)三视图为一个三角形,两个四边形,对应的几何体为三棱柱. (5)三视图为三个四边形,对应的几何体为四棱柱. (6)三视图为两个四边形,一个圆,对应的几何体为圆柱.,2.求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.,(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化

7、为规则几何体以易于求解.,【对点训练】 1.(2018湖北七市(州)联考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( ),A.36 B. C.32 D.28 【解析】选B. 根据三视图,可知该几何体是一个四 棱锥,其底面是一个边长为4的正方形, 高是2 .将该四棱锥还原成一个三,棱柱,如图所示,该三棱柱的底面是边长为4的正三角形, 高是4,其中心到三棱柱的6个顶点的距离即为该四棱锥 外接球的半径.因为三棱柱的底面是边长为4的正三角 形,所以底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为2 = ,所以其外接球的半径R=,= ,则外接球的表面积S=4R2=4 = .,2.某几何体的三视图

8、如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为_.,【解析】由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形, 则SABC=SABE= 1 = ,SADE= , 所以SACD= 1 = . 答案:,【提分备选】一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m),则该棱锥的表面积是(单位:m2). ( ),A.4+2 B.4+ C.4+2 D.4+,【解析】选A.由三视图可以看出,此几何体是一个侧面 与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥. 由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形,高为2,底面 长为2,故它们的面积皆为 22

9、=2,由顶点在底面的 投影向另两侧面的底边作高,由等面积法可以算出,此,二高线的长度相等,为 ,将垂足与顶点连接起来即 得此两侧面的斜高,由勾股定理可以算出,此斜高为 2 ,同理可求出侧面底边长为 , 可求得此两侧面的面积皆为 2 = , 故此三棱锥的表面积为2+2+ + =4+2 .,热点题型3 多面体与球 【感悟经典】 【典例】1.(2018浙江名校联考)某简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_,其外接球的表面积为_.,2.已知三棱锥P-ABC,若PA,PB,PC两两垂直,且PA=2, PB=PC=1,则三棱锥P-ABC的内切球半径为_.,【联想解题】 1.看到体积,想到体积公式

10、. 2.看到三棱锥,想到体积转换.,【规范解答】 1.由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方 形,高为3的直四棱柱,则其体积为44 3=24.又 直四棱柱的外接球的半径R= ,所以四棱柱 的外接球的表面积为4R2=25.,答案:24 25,2.由题意,设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r,球心为O, 则由等体积可得VB-PAC=VO-PAB+VO-PAC+VO-PBC+VO-ABC,可得 211= 212r+ 1 1r+ r,所以r= . 答案:,【规律方法】 多面体与球接、切问题的求解策略 (1)涉及多面体与球的切接问题时,一般过球心与多面体中的特殊点(一般为切、接点)或线作截面,把

11、空间问题转化为平面问题,再利用平面知识寻找几何元素间的关系.,(2)若球面上四点P,A,B,C构成的线段PA,PB,PC两两垂直,常把有关元素“补形”成为一球内接长方体(或其他图形),从而显示球的数量关系.,【对点训练】 1.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球. 若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 ( ) A.4 B. C.6 D.,【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直 三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为ABBC,AB=6, BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半 径r= =2,直径为4侧棱.所以球的最大直径为

12、3, 半径为 ,此时体积V= .,2.三棱锥P-ABC的三条侧棱互相垂直,且PA=PB=PC=1,则 其外接球上的点到平面ABC的距离最大值为 ( ) A. B. C. D.,【解析】选D.由题意,得该三棱锥P-ABC 是棱长为1的正方体的一部分(如图所示), 且外接球的直径为正方体的体对角线,易 知PD平面ABC,且点D到平面ABC的距离是外接球上的 点到平面ABC的距离的最大值,为 = .,【提分备选】1.过球的一条半径的中点,作垂直于该半 径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为( ) A. B. C. D.,【解析】选A.设球的半径为R,截面圆M的半径为r,可 得,R2= R2+r

13、2,所以 R2=r2,所以S球=4R2, 截面圆M的面积为:r2= R2,则所得截面的面积与 球的表面积的比为: = .,2.如图,有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器,其中侧棱长为8 cm,底面边长为12 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的表面积为( ),A. 36 cm2 B. 64 cm2 C. 80 cm2 D. 100 cm2,【解析】选B.由题意得,设球和三棱柱的上底面的三个 交点分别为A,B,C,设截面圆的半径为r,因为上底面是 边长为12的正三角形,则r=2 ,设球的半径为R,根据 球的性质可得R2=

14、(R-2)2+ R=4, 所以球的表面积为S=4R2=442=64 (cm2).,直观想象空间几何体表面上的最值问题中的数学素养 【相关链接】 空间几何体表面上的最值问题,是指空间几何体表面上 的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离,之和的最值问题.将空间几何体表面进行展开是化解该问题的主要方法,对于多面体可以把各个面按照一定的顺序展开到一个平面上,将旋转体(主要是圆柱、圆锥、圆台)可以按照某条母线进行侧面展开,这样就把本来不在一个平面上的问题转化为同一平面上的问题,结合问题的具体情况在平面上求解最值即可.,【典例】如图所示,长方体AC1的长、 宽、高分别为3,4,5.现有一甲壳虫从

15、A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食 物,则其路程的最小值为_.,【规范解答】把长方体含A,C1的面作展开图,如图甲、乙、丙所示.,对这三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为 , ,由此可见乙是最短路线. 所以甲壳虫可以先在面ABB1A1内由A到E,再在面BCC1B1 内由E到C1,其最短路程为 . 答案:,【通关题组】 1.如图所示,侧棱长为2 的正三棱锥V-ABC中,AVB =BVC=CVA=40,过A作截面AEF,则AEF周长的最 小值为_.,【解析】如图,将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展 开平铺在一个平面上,则线段AA1的 长即为所求AEF周长的最小值. 取AA1的中点D,连接VD,则VDAA1, AVD=60.,在RtVAD中,AD=VAsin 60=3,所以AA1=2AD=6.即AEF周长的最小值为6. 答案:6,2.如图所示,已知六棱柱ABCDEF-ABCDEF 的侧面均为边长为1的正方形,底面是正多边形.则一动点从A沿表面移动到点D的最短路程为_.,【解析】如图所示,作出六棱柱的展开图.如果动点由A经棱AB,沿上底面到达D,则最短路 线长为AD=,= ; 如果动点经侧面通过棱BB,CC到达D,则最短路线 长为AD= . 又 ,故动点A沿侧面过棱AB,沿上底 面到达D路程最短.故动点从A沿表面移动到点D的,最短路程为 . 答案:,