[考研类试卷]考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编30及答案与解析.doc
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1、考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 二元函数 f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充要条件是 ( )2 设函数 f(x, y)可微,且对任意 x,y,都有 则使不等式f(x1,y 1)f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是( )(A)x 1x 2,y 1y 2。(B) x1x 2,y 1y 2。(C) x1x 2,y 1y 2。(D)x 1x 2,y 1y 2。3 设函数 u(x,y)=(x+y)+(x y)+ xy x+y(t)dt,其中函数 具有二阶导数, 具有一阶导数,则必有( )4 设函数 z(
2、x,y)由方程 F(yx,z x)=0 确定,其中 F 为可微函数,且 F20,则x =( )(A)x。(B) z。(C) x。(D)z。5 设 z=yxf(xy),其中函数 f 可微,则 =( )(A)2yf(xy)。(B) 2yf(xy)。(C) 2xf(xy) 。(D)2x(xy) 。6 已知函数 f(x,y)=e x(xy),则( )(A)f xf y=0。(B) fx+fy=0。(C) fxf y=f。(D)f x+fy=f。7 设函数 z=f(x,y)的全微分为 dz=xdx+ydy,则点(0,0)( )(A)不是 f(x,y)的连续点。(B)不是 f(x,y) 的极值点。(C)是
3、 f(x,y) 的极大值点。(D)是 f(x, y)的极小值点。8 设函数 f(x),g(x) 均有二阶连续导数,满足 f(0) 0,g(0)0,f(0)=g(0)=0,则函数 z=f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A)f“(0)0,g“(0)0。(B) f“(0)0,g“(0)0。(C) f“(0)0,g“(0)0。(D)f“(0)0,g“(0)0。9 设 f(x,y)与 (x,y) 均为可微函数,且 y(x,y)0 ,已知(x 0,y 0)是 f(x,y)在约束条件 (x,y)=0 下的一个极值点,下列选项正确的是( )(A)若 fx(x0,y 0)=0,则
4、 fy(x0,y 0)=0。(B)若 fx(x0,y 0)=0,则 fy(x0,y 0)0。(C)若 fx(x0,y 0)0,则 fy(x0,y 0)=0。(D)若 fx(x0,y 0)0,则 fy(x0,y 0)0。10 设函数 u(x,y) 在有界闭区域 D 上连续,在 D 的内部具有二阶连续偏导数,且满足 =0,则( )(A)u(x ,y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得。(B) u(x,y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得。(C) u(x,y)的最大值在 D 的内部取得,最小值在 D 的边界上取得。(D)u(x ,y)的最小值在 D 的内部取得,最大值在 D 的边界上取得。二
5、、填空题11 设函数 z=z(x,y)由方程 z=e2x3z +2y 确定,则 3 =_。12 设 f(u,v)是二元可微函数,z=f(yx,xy),则 x =_。13 设 z=(yx) xy ,则 |(1,2) =_。14 设 z=f(lnx+ ),其中函数 f(u)可微,则 x =_。15 设 z=z(x,y)是由方程 e2yz+x+y2+z=74 确定的函数,则 dz|(12,12) =_。16 若函数 z=z(x,y)由方程 ex+2y+3z+xyz=1 确定,则 dz|(0,0) =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 z=f(x2y 2,e xy),其中
6、f 具有连续二阶偏导数,求18 设 z=f(x+y,xy,xy) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 dz 与19 设函数 u=f(x,y) 具有二阶连续偏导数,且满足等式 4 =0,确定 a,b 的值,使等式在变换 =x+ay,=x+by 下化简为 =0。20 设函数 z=fxy,yg(x),其中函数 f 具有二阶连续偏导数,函数 g(x)可导,且在x=1 处取得极值 g(1)=1,求21 已知函数 f(x,y)满足 =2(y+1),且 f(y,y)=(y+1) 2(2y)lny,求曲线 f(x,y)=0 所围成的图形绕直线 y=1 旋转所成旋转体的体积。22 设函数 f(u,v)具有二阶连
7、续偏导数,y=f(e x,cosx),求 dydx| x=0,d 2ydx 2|x=023 求函数 f(x,y)=x 的极值。24 已知函数 f(x,y)满足 f“xy(x,y)=2(y+1)e x,f x(x,0)=(x+1)e x,f(0,y)=y 2+2y,求f(x,y)的极值。25 已知函数 z=z(x,y)由方程(x 2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0 确定,求 z=z(x,y)的极值。26 求函数 u=x2+y2+z2 在约束条件 z=x2+y2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。27 求曲线 x3xy+y 3=1(x0,y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。2
8、8 已知函数 x=f(x,y) 的全微分 dz=2xdx2ydy,并且 f(1,1)=2 。求 f(x,y)在椭圆域 D=(x,y)|x 2+ 1上的最大值和最小值。考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 证明 f(x,y)在点(0 ,0)处连续。选项 B 证明两个一阶偏导数fx(0,0)=0,f y(0,0)=0 存在,因此 A、B 均不能保证 f(x,y)在点(0,0)处可微。选项 D 只能得到两个一阶偏导数 fx(0,0),f y(0,0)存在,但不能推导出两个一阶偏
9、导函数 fx(x,y),f y(x, y)在点(0,0)处连续,因此也不能保证 f(x,y)在点(0,0)处可微。由选项 C 中极限式 可知 f(x,y)f(0,0)=o( )=0x+0y+0( ),其中 = 。对照全微分定义,相当于 x0=0,y 0=0,x=x,y=y,A=0,B=0。可见 f(x,y) 在(0,0)点可微,故选择 C。【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由题干可知, 表示函数 f(x,y)关于变量 x是单调递增的,关于变量 y 是单调递减的。因此,当 x1x 2,y 1y 2 时,必有f(x1,y 1)f(x 2,y 2),故选 D。【知识模块】
10、 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =(x+y)+(xy)+(x+y) (xy), =(x+y)(x y)+(x+y)+(xy)。于是 =“(x+y)+“(xy)+(x+y) (x y) ,=“(x+y)“(x y)+(x+y)+(xy), =“(x+y)+“(xy)+(zx+y)(xy)。可见有 ,应选 B。【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 等式两边求全微分得 F1d(yx)+F 2d(zx)=0,F1(xdyydx)+F2(xdzzdx)=0。【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由偏导公式可知,=1xf(xy)+yf
11、(xy)+ f(xy)+yf(xy)=2yf(xy)。故应选 A。【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由复合函数求导法则 故fx+fy=f。【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因 dz=xdx+ydy 可得 =y,又在(0,0)处,=0,ACB 2=10。故(0,0)为函数 z=f(x,y)的一个极小值点。因此正确选项为 D。【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解析】 由 z=f(x)g(y),得由于 |(0,0) =f(0)g(0)=0, |(0,0) =f(0)g(0)=0,f(0)0,g(0)0。只有 f“(0)0,g
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