[考研类试卷]考研数学二（微分方程）模拟试卷7及答案与解析.doc

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1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y4ye 2 的特解形式为( )（A）ae 2bc（B） a2e2 bc（C） ae2b 2c（D）ae 2bc2 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1e ，y 22e ，y 33e ，则该微分方程为( )（A）yyyy0（B） yyyy0（C） yyy2y0（D）yyy2y03 设 1()， 2()为一阶非齐次线性微分方程yP()yQ() 的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（A）C 1() 2()（B） C1() 2()（C） C1() 2() 2()（D

2、） 1() 2()C 2()二、填空题4 设 yy()满足yy 0()且 y(0)1，则 y()_5 设 y1()，y 2()为 yP()yQ()的特解，又 py1()2qy 2()为 yP()y0 的解，py1()qy 2()为 yP()yQ()的解，则 P_，q_6 设 yy()满足(1 2)yy 且 y0)1，则 y()_7 设 y2e e sin 为 ypyqyry0 的特解，则该方程为_8 设 f()连续，且 f()2 0f(t)dte ，则 f()_9 微分方程 yytancos 的通解为_10 设 f()在0，)上非负连续，且 f()0f(t)dt2 3，则 f()_11 连续函

3、数 f()满足 f() 30f(t)dt2，则 f()_12 设 yy()可导，y(0)2，令yy( )y()，且y ，其中 是当 0 时的无穷小量，则 y()_13 的通解为_14 微分方程 yyln(y)10 的通解为_15 微分方程 y2d( 2y)dy0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求微分方程 1 yy 的通解17 求微分方程 yyln 的通解18 求微分方程 y2y e 的通解19 设 0 时， f()可导，且满足：f()1 1f(t)dt，求 f()20 求微分方程(y )ddy0 的满足初始条件 y(1)0 的解21 求微分方程(y 3)d2

4、dy0 的通解22 求微分方程 y2d(2yy 2)dy0 的通解23 求微分方程 cosy cossin 2ysiny 的通解24 求微分方程 y 2y 2 满足初始条件 y(e)2e 的特解25 求微分方程 2yy y2 满足初始条件 y(1)1 的特解26 求微分方程 的通解27 求微分方程 的通解28 设 ye 为微分方程 yP()y 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)0的特解29 设 f()e 0(t)f(t)dt，其中 f()连续，求 f()30 求微分方程 y3y 0 的通解31 设当 0 时，f()满足 1f(t)dtf()，求 f()32 求满足初始条件 y2(y)

5、 20，y(0)1，y(0)1 的特解33 求微分方程 yyy 2 满足初始条件 y(O)y(0)1 的特解34 求微分方程 yy6y0 的通解考研数学二（微分方程）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 y4y0 的特征方程为 240 ，特征值为 12， 22 y4ye 2的特解形式为 y1ae 2， y4y 的特解形式为 y2bC，故原方程特解形式为 ae2b c ，选 D【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1e ，y 22e ，y 33e 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征

6、值为 1 21， 31，其特征方程为(1) 2(1)0，即3 210，所求的微分方程为 yyyy0，选 A【知识模块】 微分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1()， 2()为方程 yP()y Q()的两个线性无关解，所以1() 2()为方程 yP()y0 的一个解，于是方程 yP()yQ()的通解为C1() 2() 2()，选 C【知识模块】 微分方程二、填空题4 【正确答案】 e 【试题解析】 由yyo()得 y 或 y0，解得 yCe ( 1)dCe ， 再由 v(0)1 得 C1，故 y()e 【知识模块】 微分方程5 【正确答案】 【试题解析】 由一阶线性微分方程解的结构性

7、质得 解得p ，q 【知识模块】 微分方程6 【正确答案】 【试题解析】 将原方程变量分离得 ，积分得 lny lnC 1，即 yC ， 再由 y(0)1 得 y 【知识模块】 微分方程7 【正确答案】 yy2y0【试题解析】 三阶常系数齐次线性微分方程的特征值为 11， 23 1i ， 特征方程为(1)(1i)(1i)0，整理得 3 220， 所求方程为 yy2y0【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 2e 2e 【试题解析】 由 0(t)dt 0f(u)(du) 0f(u)du 得 f()2 0(u)due ， 求导得 f()2f()e ，解得 f()e .e2d dCe 2d (e C

8、)e2ce 2e ， 由 f(0)1 得 C2，故 f()2e 2e 【知识模块】 微分方程9 【正确答案】 y(C)cos【知识模块】 微分方程10 【正确答案】 2【试题解析】 0f(t)dt 0f(u)(du) 0f(u)du， 令 F() 0f(u)du，由 f()0f( t)dt2 3，得 f()0f(u)du2 3， 即 2 2，则 F2() 4C 0 因为 F(0)0，所以 C00，又由 F()0，得 F() 2 故 f()2【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 2e 3【试题解析】 由 0(t)dt 0f(u)(du) 0f(u)du 得 f()3 0f(u)du2， 两边

9、对 求导得 f()3f()0，解得 f()Ce 3d C 3， 取 0 得f(0)2，则 C2，故 f()2e 3【知识模块】 微分方程12 【正确答案】 【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 ln(y) C【试题解析】 令 yu ， yy ，代入原方程得 0， 分离变量得 ，积分得 lnlnuln lnC， 即 lnuC，原方程的通解为 ln(y)C，【知识模块】 微分方程15 【正确答案】 yC【试题解析】 令 u ，则 ， 代入原方程得 ， 两边积分得 u lnuln lnC0，解得 yC 【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、

10、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由 1yy 得 (1)(1y)，分离变量得(1 )d ， 两边积分得 ln1y C 【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 y yln 可写为 ，令 u ，原方程化为u ulnu， 变量分离得 ，积分得 ln(lnu1)lnlnC ，即lnu1C，或 ue C1 ， 故原方程的通解为 ye C1 【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 y 2y e 两边乘以 得 2y 2ye ，即( 2y)e ， 积分得 2y(1)e C 1，即 y ， 再积分得原方程通解为 y【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 由 f()1 f(t)dt 得 f() 1f(

11、t)dt， 两边对 求导得 f()f()1f()，解得 f() ，f()lnC， 因为 f(1)1，所以 C1，故 f()ln1【知识模块】 微分方程20 【正确答案】 由(y )ddy0，得 令u ，则原方程化为 ，积分得 ln(u )lnlnC， 即 uC，将初始条件 y(1)0 代入得 C1 由即满足初始条件的特解为y 【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 由(y 3)d2dy0，得 ，则即原方程的通解为 y (其中 C 为任意常数)【知识模块】 微分方程22 【正确答案】 由 y2d (2yy 2)dy0 得 ， 令 u ，则，解得 u2(u3) ， 所以原方程的通解为 y2(y3

12、)C【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 由 cosy cossin 2ysiny 得 cossin 2ysiny， 令usiny ，则 ucos.u 2，令 u-1z ，则 zcos， 解得 z(cos)edd Ced e codCe esin cosCe Ce (sincos) 则 (sincos)【知识模块】 微分方程24 【正确答案】 由 y 2y 2，得 ， 令 u，得 u，解得 u2ln 2C，由 y(e)2e，得 C2， 所求的特懈为y2 2ln22 2【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 由 2y yy 2 得 ， 令 u ，则有， 两边积分得 ，即 C 2， 因为 y

13、(1)1 ，所以 C1,再把 u 代入 C 2 得原方程的特解为 y【知识模块】 微分方程26 【正确答案】 【知识模块】 微分方程27 【正确答案】 令 y u，则 1，于是有 变量分离得d ，两边积分得 uarctanu C， 所以原方程的通解为yarctan(y)C【知识模块】 微分方程28 【正确答案】 把 ye 代入微分方程 yP()y，得 P()e ，原方程化为 y(e 1)y1，则将y(ln2)0 代入 yC e 中得 C ，故特解为 y e 【知识模块】 微分方程29 【正确答案】 由 f()e 0(t)f(t)dt，得 f()e 0f(t)dt 0tf(t)dt， 两边对 求

14、导，得 f()e 0f(t)dt，两边再对 求导得 f()f()e ，其通解为f()C 1cosC 2sin e 在 f()e 0(t)f(t)dt 中，令 0 得 f(0)1，在f()e 0f(t)df 中，令 0 得 f(0)1，于是有 C1 ，C 2 ，故 f() (cossin) e【知识模块】 微分方程30 【正确答案】 令 yp，则 3p0 或 0， 解得 p ，即y ，则 y C 2【知识模块】 微分方程31 【正确答案】 由 1f(t)dtf()，两边求导得 f()f()1， 解得 f()Ce 1，而 f(1)1，所以 f()12e 1 【知识模块】 微分方程32 【正确答案】

15、 令 yp，则 y ，代入方程得 2p 20，解得 2C 1， 由 y(0)1 得 C11，于是 y ，yarctanC 2， 再由 y(0)1 得 C21，所以 yarctan 1【知识模块】 微分方程33 【正确答案】 令yP，则 yp ，代入原方程得 yp p 2 或 p(y p)0当 p0 时，y1 为原方程的解； 当 p0 时，由 p0 得0，解得 pC 1 C 1y， 由 y(0)y(0)1 得 C11，于是y0，解得 yC 2ed C 2e，由 y(0)1 得 C21，所以原方程的特解为ye 【知识模块】 微分方程34 【正确答案】 特征方程为 2 60，特征值为 12， 23，则原方程的通解为 yC 1e2 C 2e3【知识模块】 微分方程