2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科数学及答案解析.pdf

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1、 2012 年福建省高考理科数学 第 I 卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出分四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.若复数 z 满足 zi=1-i，则 z 等于 A.-1-I B.1-i C.-1+I D.1=i 2.等差数列 an中， a1+a5=10,a4=7,则数列 an的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列命题中，真命题是 A. B. C.a+b=0 的充要条件是 ab =-1 D.a1,b1 是 ab1 的充分条件 4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A.球 B

2、.三棱柱 C.正方形 D.圆柱 5.下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 6.如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 7.设函数 则下列结论错误的是 A.D（ x）的值域为 0,1 B. D（ x）是偶函数 C. D（ x）不 是周期函数 D. D（ x）不是单调函数 8.已知双曲线 22 2 14xyb 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐 近线的距离等于 A. 5 B. 42 C.3 D.5 9.若函数 y=2x图像上存在点（ x， y）满足约束条

3、件 ，则实数 m 的最 大值为 A 12 B.1 C. 32 D.2 10.函 数 f（ x）在 a,b上有定义，若对任意 x1， x2 a,b，有 则称 f（ x）在 a,b上具有性质 P。设 f（ x）在 1,3上具有性质 P，现给出如下命题： f（ x）在 1,3上的图像时连续不断的； f（ x2）在 1, 3 上具有性质 P； 若 f（ x）在 x=2 处取得最大值 1，则 f（ x） =1， x 1,3； 对任意 x1， x2， x3， x4 1,3，有 其中真命题的序号是 A. B. C. D. 第卷（非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 2

4、0 分，把答案填在答题卡的相应位置。 11.（ a+x） 4 的展开式中 x3 的系数等于 8，则实数 a=_。 12.阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的 s 值等于 _。 13.已知 ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列，则其最大角的余弦值为 _. 14.数列 an的通项公式 ，前 n 项和为 Sn，则 S2012=_。 15.对于实数 a 和 b，定义运算“ ”： 设 f（ x） =（ 2x-1） （ x-1），且关于 x 的方程为 f（ x） =m（ m R）恰有三个互不相等的实 数根 x1， x2， x3，则 x1x2x3 的取值范围是 _。 三、解答题：本大题共 6

5、小题，共 80 分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 13 分） 受轿车在保修期内维修费 等因素的影响，企业生产 每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的 时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两 种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下： 将频率视为概率，解答下列问题： （ I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； (II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1，生产一辆乙品牌轿 车的利润为 X2，分别求 X1， X2 的分布列； （ III）该厂预计今后这

6、两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌 轿车， 若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。 17（本小题满分 13 分） 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （ 1） sin213 +cos217 -sin13 cos17 （ 2） sin215 +cos215 -sin15 cos15 （ 3） sin218 +cos212 -sin18 cos12 （ 4） sin2（ -18） +cos248 - sin2（ -18） cos48 （ 5） sin2（ -25） +cos255 - sin2（ -25） cos55 试

7、从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。 18.（本小题满分 13 分） 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AA1=AD=1， E 为 CD 中点。 （）求证： B1E A D1 （）在棱 AA1 上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的行；若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由。 （）若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30，求 AB 的长。 19.（本小题满分 13 分） 如图，椭圆 E： 的左焦点为 F1，右 焦点为 F2，离心率 。过 F1 的直 线交椭圆于 A、 B 两点

8、，且 ABF2 的周长为 8。 （）求椭圆 E 的方程。 （）设动直线 l： y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x=4 相较于点 Q。试 探究：在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由。 20.（本小题满分 14分） 已知函数 f（ x） =ex ax2-ex， a R。 （ ）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线平行于 x轴，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）试确定 a的取值范围，使得曲线 y=f（ x）上存在唯一的点 P，曲线在该点处的切线与 曲线只有一个公共点 P。 2

9、1.本题设有（ 1）、（ 2）、（ 3）三个选考题，每题 7分，请考生任选 2题作答，满分 14分。 如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号 右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。 （ 1）（本小题满分 7分）选修 4-2：矩阵与变换 设曲线 2x2+2xy+y2=1在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为 x2+y2=1。 （ ）求实数 a， b的值。 （ ）求 A2的逆矩阵。 （ 2）（本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与 参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为几点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 l 上两点 M ， N 的 极 坐 标 分 别 为 （ 2,0 ）， ，圆 C 的 参 数 方 程 。 （）设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程； （）判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 （ 3）（本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f（ x） =m-|x-2|， m R，且 f（ x+2） 0的解集为 -1,1. （）求 m的值； （）若 a， b， c R，且