2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学文及答案解析.docx

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1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 山 东 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 M=x|x-1| 1， N=x|x 2， 则 M N=( )A.(-1， 1)B.(-1， 2)C.(0， 2)D.(1， 2)解 析 ： 集 合 M=x|x-1| 1=(0， 2)，N=x|x 2=(- ， 2)， M N=(0， 2).答 案 ： C. 2.已 知 i 是 虚 数 单 位

2、 ， 若 复 数 z 满 足 zi=1+i， 则 z2=( )A.-2iB.2iC.-2D.2解 析 ： 复 数 z满 足 zi=1+i， 1 1iz ii ， z 2=-2i.答 案 ： A.3.已 知 x， y 满 足 约 束 条 件 2 5 03 02x yxy 则 z=x+2y 的 最 大 值 是 ( )A.-3B.-1C.1D.3 解 析 ： x， y满 足 约 束 条 件 2 5 03 02x yxy 的 可 行 域 如 图 ： 目 标 函 数 z=x+2y 经 过 可 行 域 的 A时 ， 目 标 函 数 取 得 最 大 值 ，由 ： 22 5 0yx y 解 得 A(-1， 2

3、)，目 标 函 数 的 最 大 值 为 ： -1+2 2=3. 答 案 ： D.4.已 知 3cos 4x ， 则 cos2x=( )A. 14B. 14C. 18D. 18 解 析 ： 3cos 4x ， 则 23 1cos2 2 14 8x .答 案 ： D.5.已 知 命 题 p： x R， x2-x+1 0.命 题 q： 若 a2 b2， 则 a b， 下 列 命 题 为 真 命 题 的 是 ( )A.p qB.p qC. p qD. p q解 析 ： 命 题 p： x=0 R， 使 x 2-x+1 0 成 立 .故 命 题 p 为 真 命 题 ；当 a=1， b=-2时 ， a2 b

4、2成 立 ， 但 a b 不 成 立 ，故 命 题 q 为 假 命 题 ，故 命 题 p q， p q， p q 均 为 假 命 题 ；命 题 p q 为 真 命 题 .答 案 ： B.6.若 执 行 右 侧 的 程 序 框 图 ， 当 输 入 的 x的 值 为 4时 ， 输 出 的 y 的 值 为 2， 则 空 白 判 断 框 中 的条 件 可 能 为 ( ) A.x 3B.x 4C.x 4D.x 5解 析 ： 方 法 一 ： 当 x=4， 输 出 y=2， 则 由 y=log2x输 出 ， 需 要 x 4，故 选 B.方 法 二 ： 若 空 白 判 断 框 中 的 条 件 x 3， 输 入

5、 x=4， 满 足 4 3， 输 出 y=4+2=6， 不 满 足 ， 故 A错 误 ，若 空 白 判 断 框 中 的 条 件 x 4， 输 入 x=4， 满 足 4=4， 不 满 足 x 3， 输 出 y=y=log 24=2， 故 B正 确 ；若 空 白 判 断 框 中 的 条 件 x 4， 输 入 x=4， 满 足 4=4， 满 足 x 4， 输 出 y=4+2=6， 不 满 足 ， 故C错 误 ，若 空 白 判 断 框 中 的 条 件 x 5， 输 入 x=4， 满 足 4 5， 满 足 x 5， 输 出 y=4+2=6， 不 满 足 ，故 D 错 误 .答 案 ： B.7.函 数 3

6、sin2 cos2y x x 的 最 小 正 周 期 为 ( )A. 2 B. 23C.D.2解 析 ： 函 数 3sin2 cos2 2sin 2 6y x x x ， =2， T= .答 案 ： C 8.如 图 所 示 的 茎 叶 图 记 录 了 甲 、 乙 两 组 各 5 名 工 人 某 日 的 产 量 数 据 (单 位 ： 件 ).若 这 两 组 数据 的 中 位 数 相 等 ， 且 平 均 值 也 相 等 ， 则 x 和 y 的 值 分 别 为 ( )A.3， 5B.5， 5C.3， 7D.5， 7解 析 ： 由 已 知 中 甲 组 数 据 的 中 位 数 为 65，故 乙 组 数

7、据 的 中 位 数 也 为 65， 即 y=5，则 乙 组 数 据 的 平 均 数 为 ： 66，故 x=3.答 案 ： A.9.设 f(x)=x， 0 x 12(x-1)， x 1， 若 f(a)=f(a+1)， 则 f(1a)= ( )A.2B.4C.6D.8解 析 ： 当 a (0， 1)时 ， 0 12 1 1x xf x x x ， ， ， 若 f(a)=f(a+1)， 可 得 2a a ， 解 得 14a ， 则 ： 1 4 2 4 1 6f fa .当 a 1， + )时 . 0 12 1 1x xf x x x ， ， ， 若 f(a)=f(a+1)，可 得 2(a-1)=2a

8、， 显 然 无 解 .答 案 ： C.10.若 函 数 e xf(x)(e=2.71828 是 自 然 对 数 的 底 数 )在 f(x)的 定 义 域 上 单 调 递 增 ， 则 称 函 数f(x)具 有 M性 质 ， 下 列 函 数 中 具 有 M 性 质 的 是 ( )A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cosx解 析 ： 当 f(x)=2 -x时 ， 函 数 2 xx ee f x 在 R 上 单 调 递 增 ， 函 数 f(x)具 有 M 性 质 . 答 案 ： A二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 2

9、5 分11.已 知 向 量 a=(2， 6)， b=(-1， )， 若 / /a b ， 则 =_.解 析 ： / /a b ， -6-2 =0， 解 得 =-3.答 案 ： -3.12.若 直 线 1x ya b (a 0， b 0)过 点 (1， 2)， 则 2a+b 的 最 小 值 为 _.解 析 ： 直 线 1x ya b (a 0， b 0)过 点 (1， 2)， 则 1 2 1a b ，由 1 2 4 4 42 2 2 2 4 4 2 4 4 8a b a b a ba b a b a b b a b a b a ， 当 且 仅 当 4 =a bb a ， 即 12a ， b=1时

10、 ， 取 等 号 ， 2a+b的 最 小 值 为 8.答 案 ： 8.13.由 一 个 长 方 体 和 两 个 14 圆 柱 体 构 成 的 几 何 体 的 三 视 图 如 图 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 _. 解 析 ： 由 长 方 体 长 为 2， 宽 为 1， 高 为 1， 则 长 方 体 的 体 积 V1=2 1 1=2，圆 柱 的 底 面 半 径 为 1， 高 为 1， 则 圆 柱 的 体 积 22 1 1 14 4V ，则 该 几 何 体 的 体 积 1 12 2 2V V V .答 案 ： 2 2 .14.已 知 f(x)是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且

11、 f(x+4)=f(x-2).若 当 x -3， 0时 ， f(x)=6 -x， 则f(919)=_.解 析 ： 由 f(x+4)=f(x-2).则 f(x+6)=f(x)， f(x)为 周 期 为 6 的 周 期 函 数 ，f(919)=f(153 6+1)=f(1)，由 f(x)是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 则 f(1)=f(-1)， 当 x -3， 0时 ， f(x)=6-x，f(-1)=6-(-1)=6， f(919)=6.答 案 ： 6.15.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 右 支 与 焦

12、点 为 F的 抛 物 线x 2=2py(p 0)交 于 A， B 两 点 ， 若 |AF|+|BF|=4|OF|， 则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 _.解 析 ： 把 x2=2py(p 0)代 入 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)，可 得 ： a2y2-2pb2y+a2b2=0， 222A B pby y a ， |AF|+|BF|=4|OF|， 2 42 2A B p py y ， 222pb pa ， 22ba . 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ： 22y x .答 案 ： 22y x .三 、 解 答 题16.某 旅 游 爱 好

13、 者 计 划 从 3个 亚 洲 国 家 A 1， A2， A3和 3 个 欧 洲 国 家 B1， B2， B3中 选 择 2 个 国 家去 旅 游 .( )若 从 这 6 个 国 家 中 任 选 2个 ， 求 这 2 个 国 家 都 是 亚 洲 国 家 的 概 率 ；( )若 从 亚 洲 国 家 和 欧 洲 国 家 中 各 任 选 1 个 ， 求 这 2个 国 家 包 括 A1但 不 包 括 B1的 概 率 .解 析 ： ( )从 这 6 个 国 家 中 任 选 2 个 ， 基 本 事 件 总 数 26 15n C ， 这 2 个 国 家 都 是 亚 洲 国家 包 含 的 基 本 事 件 个

14、数 23 3m C ， 由 此 能 求 出 这 2 个 国 家 都 是 亚 洲 国 家 的 概 率 .( )从 亚 洲 国 家 和 欧 洲 国 家 中 各 任 选 1 个 ， 利 用 列 举 法 能 求 出 这 2 个 国 家 包 括 A 1但 不 包 括B1的 概 率 .答 案 ： ( )某 旅 游 爱 好 者 计 划 从 3 个 亚 洲 国 家 A1， A2， A3和 3 个 欧 洲 国 家 B1， B2， B3中 选 择 2个 国 家 去 旅 游 . 从 这 6个 国 家 中 任 选 2 个 ， 基 本 事 件 总 数 26 15n C ，这 2 个 国 家 都 是 亚 洲 国 家 包

15、含 的 基 本 事 件 个 数 23 3m C ， 这 2个 国 家 都 是 亚 洲 国 家 的 概 率 3 115 5mP n .( )从 亚 洲 国 家 和 欧 洲 国 家 中 各 任 选 1个 ， 包 含 的 基 本 事 件 个 数 为 9 个 ， 分 别 为 ：(A 1， B1)， (A1， B2)， (A1， B3)， (A2， B1)， (A2， B2)，(A2， B3)， (A3， B1)， (A3， B2)， (A3， B3)，这 2 个 国 家 包 括 A1但 不 包 括 B1包 含 的 基 本 事 件 有 ： (A1， B2)， (A1， B3)， 共 2个 ， 这 2个

16、国 家 包 括 A1但 不 包 括 B1的 概 率 P= 29 .17.在 ABC中 ， 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 b=3， 6AB AC ， S ABC=3， 求A和 a.解 析 ： 根 据 向 量 的 数 量 积 和 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 tanA=-1， 求 出 A和 c的 值 ， 再 根 据 余 弦定 理 即 可 求 出 a.答 案 ： 由 6AB AC 可 得 bccosA=-6， ，由 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 1 sin 32ABCS bc A ， tanA=-1， 0 A 180 ， A=135 ， 6

17、 2 223 2c ，由 余 弦 定 理 可 得 a 2=b2+c2-2bccosA=9+8+12=29 29a18.由 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1截 去 三 棱 锥 C1-B1CD1后 得 到 的 几 何 体 如 图 所 示 ， 四 边 形 ABCD为 正方 形 ， O 为 AC 与 BD的 交 点 ， E 为 AD 的 中 点 ， A1E 平 面 ABCD，( )证 明 ： A 1O 平 面 B1CD1；( )设 M 是 OD 的 中 点 ， 证 明 ： 平 面 A1EM 平 面 B1CD1.解 析 ： ( )取 B 1D1中 点 G， 连 结 A1G、 CG， 推 导 出 A

18、1G OC， 从 而 四 边 形 OCGA1是 平 行 四 边 形 ，进 而 A1O CG， 由 此 能 证 明 A1O 平 面 B1CD1.( )推 导 出 BD A1E， AO BD， EM BD， 从 而 BD 平 面 A1EM， 再 由 BD B1D1， 得 B1D1 平 面 A1EM， 由 此 能 证 明 平 面 A1EM 平 面 B1CD1.答 案 ： ( )取 B1D1中 点 G， 连 结 A1G、 CG， 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ， O 为 AC与 BD的 交 点 ， 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1截 去 三 棱 锥 C1-B1CD1后 ， 1 /AG O

19、C ， 四 边 形 OCGA1是 平 行 四 边 形 ， A1O CG， A1O平 面 B1CD1， CG 平 面 B1CD1， A 1O 平 面 B1CD1.( )四 棱 柱 ABCD-A 1B1C1D1截 去 三 棱 锥 C1-B1CD1后 ， BD/ B1D1， M 是 OD 的 中 点 ， O为 AC与 BD 的 交 点 ， E为 AD的 中 点 ， A1E 平 面 ABCD，又 BD 平 面 ABCD， BD A1E， 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ， O 为 AC与 BD的 交 点 ， AO BD， M 是 OD 的 中 点 ， E为 AD的 中 点 ， EM BD， A

20、1E EM=E， BD 平 面 A1EM， BD B1D1， B1D1 平 面 A1EM， B1D1 平 面 B1CD1， 平 面 A1EM 平 面 B1CD1.19.已 知 an是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 且 a1+a2=6， a1a2=a3.(1)求 数 列 an通 项 公 式 ；(2)b n为 各 项 非 零 的 等 差 数 列 ， 其 前 n 项 和 为 Sn， 已 知 S2n+1=bnbn+1， 求 数 列 nnba 的 前 n 项和 Tn.解 析 ： (1)通 过 首 项 和 公 比 ， 联 立 a1+a2=6、 a1a2=a3， 可 求 出 a1=q=2，

21、 进 而 利 用 等 比 数 列 的 通项 公 式 可 得 结 论 ；(2)利 用 等 差 数 列 的 性 质 可 知 S2n+1=(2n+1)bn+1， 结 合 S2n+1=bnbn+1 可 知 bn=2n+1， 进 而 可 知2 12n nnb na ， 利 用 错 位 相 减 法 计 算 即 得 结 论 .答 案 ： (1)记 正 项 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q，因 为 a1+a2=6， a1a2=a3，所 以 (1+q)a1=6， qa12=q2a1，解 得 ： a1=q=2，所 以 an=2n；(2)因 为 bn为 各 项 非 零 的 等 差 数 列 ， 所 以 S2n

22、+1=(2n+1)bn+1，又 因 为 S2n+1=bnbn+1，所 以 bn=2n+1， 2 12n nnb na ，所 以 21 1 13 5 2 12 2 2n nT n ， 2 3 11 1 1 1 13 5 2 1 2 12 2 2 2 2n n nT n n ，两 式 相 减 得 ： 2 3 11 1 1 1 1 13 2 2 12 2 2 2 2 2n n nT n ， 即 2 3 1 11 1 1 1 1 1 13 2 12 2 2 2 2 2 2n n nT n ，即 12 3 2 111 1 1 1 1 123 1 2 1 3 2 112 2 2 2 2 21 2nn n

23、n nT n n = 2 55 2nn .20.已 知 函 数 3 21 13 2f x x ax ， a R，(1)当 a=2 时 ， 求 曲 线 y=f(x)在 点 (3， f(3)处 的 切 线 方 程 ；(2)设 函 数 g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx， 讨 论 g(x)的 单 调 性 并 判 断 有 无 极 值 ， 有 极 值 时 求 出 极 值 .解 析 ： (1)根 据 导 数 的 几 何 意 义 即 可 求 出 曲 线 y=f(x)在 点 (3， f(3)处 的 切 线 方 程 ，(2)先 求 导 ， 再 分 类 讨 论 即 可 求 出 函 数 的 单 调 区

24、 间 和 极 值答 案 ： (1)当 a=2时 ， 3 213f x x x ， f (x)=x2-2x， k=f (3)=9-6=3， f(3)= 13 27-9=0， 曲 线 y=f(x)在 点 (3， f(3)处 的 切 线 方 程 y=3(x-3)， 即 3x-y-9=0(2)函 数 3 21 1cos sin cos sin3 2g x f x x a x x x ax x a x x ， g (x)=(x-a)(x-sinx)，令 g (x)=0， 解 得 x=a， 或 x=0， 若 a 0 时 ， 当 x 0 时 ， g (x) 0恒 成 立 ， 故 g(x)在 (- ， 0)上

25、 单 调 递 增 ，当 x a 时 ， g (x) 0 恒 成 立 ， 故 g(x)在 (a， + )上 单 调 递 增 ，当 0 x a时 ， g (x) 0 恒 成 立 ， 故 g(x)在 (0， a)上 单 调 递 减 ， 当 x=a时 ， 函 数 有 极 小 值 ， 极 小 值 为 31 sin6g a a a 当 x=0时 ， 有 极 大 值 ， 极 大 值 为 g(0)=-a， 若 a 0 时 ， 当 x 0 时 ， g (x) 0恒 成 立 ， 故 g(x)在 (- ， 0)上 单 调 递 增 ，当 x a 时 ， g (x) 0 恒 成 立 ， 故 g(x)在 (- ， a)上

26、 单 调 递 增 ，当 a x 0时 ， g (x) 0 恒 成 立 ， 故 g(x)在 (a， 0)上 单 调 递 减 ， 当 x=a时 ， 函 数 有 极 大 值 ， 极 大 值 为 31 sin6g a a a 当 x=0时 ， 有 极 小 值 ， 极 小 值 为 g(0)=-a 当 a=0时 ， g (x)=x(x+sinx)，当 x 0 时 ， g (x) 0 恒 成 立 ， 故 g(x)在 (0， + )上 单 调 递 增 ，当 x 0 时 ， g (x) 0 恒 成 立 ， 故 g(x)在 (- ， 0)上 单 调 递 增 ， g(x)在 R上 单 调 递 增 ， 无 极 值 .

27、 21.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 椭 圆 C： 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 离 心 率 为 22 ， 椭 圆C截 直 线 y=1所 得 线 段 的 长 度 为 2 2 .( )求 椭 圆 C 的 方 程 ；( )动 直 线 l： y=kx+m(m 0)交 椭 圆 C 于 A， B两 点 ， 交 y 轴 于 点 M.点 N 是 M关 于 O 的 对 称点 ， N 的 半 径 为 |NO|.设 D 为 AB的 中 点 ， DE， DF与 N 分 别 相 切 于 点 E， F， 求 EDF的 最小 值 . 解 析 ： ( )首 先 根 据 题 中 信

28、息 可 得 椭 圆 C 过 点 ( 2 ， 1)， 然 后 结 合 离 心 率 可 得 椭 圆 方 程 ；( )可 将 题 目 所 求 角 度 的 最 小 值 转 化 为 求 角 度 正 弦 的 最 小 值 ， 结 合 题 目 信 息 可 求 得 D、 N坐标 及 N 半 径 ， 进 而 将 DN长 度 表 示 出 来 ， 可 求 EDF最 小 值 .答 案 ： ( ) 椭 圆 C的 离 心 率 为 22 ， 2 22 12a ba ， a 2=2b2， 椭 圆 C 截 直 线 y=1所 得 线 段 的 长 度 为 2 2 ， 椭 圆 C 过 点 ( 2 ， 1)， 2 22 1 1a b ，

29、 b2=2， a2=4， 椭 圆 C 的 方 程 为 2 2 14 2x y .( )设 A， B 的 横 坐 标 为 x1， x2，则 A(x 1， kx1+m)， B(x2， kx2+m)， D( 1 2 1 22 2x x k x x m ， )，联 立 2 2 14 2x yy kx m 可 得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0， 1 2 241 2kmx x k ， D( 2 221 2 1 2km mk k ， )， M(0， m)， 则 N(0， -m)， N的 半 径 为 |m|， 2 2 4 2 2 2 222 3 11 2 1 2 1 2mm kmDN m k kk k k ，设 EDF= ， 24 24 22 1 2sin 22 2 3 13 11 2EN ON m kmDN DN k kk kk ，令 24 21 22 3 1ky k k ， 则 24 2 4 24 112 3 1 3 1k ky k k k k ，当 k=0时 ， sin 2 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为 12 . EDF的 最 小 值 是 60 .