【考研类试卷】考研数学二（向量）-试卷6及答案解析.doc

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1、考研数学二（向量）-试卷 6及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关。C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关。D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关。3.

2、设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。B. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 。C. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 。D. 1 + 2 ，2 2 + 3 ，3 3 + 1 。4.已知四维向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 一 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 。则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。

3、D.4。5.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，向量 1 ，可由 1 , 2 , 3 线性表示，向量 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关。B. 1 ， 2 ， 2 线性无关。C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关。D. 1 , 2 , 3 ， 1 + 2 线性相关。6.已知 1 , 2 , 3 , 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出，则 1 , 2 , 3 线性相关； 若 1 , 2 , 3 线性相关， 2 , 3 , 4 线性相关，则 1 , 2 , 4 也线性相关；

4、若 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 , 2 , 3 线性表出。 其中正确的个数是( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。7.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 + 与 2 +( )（分数：2.00）A.线性无关。B.线性相关。C.既线性相关又线性无关。D.不确定。8.设 1 , 2 s 均为 n维列向量，A 是 mn矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 , 2 s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。B.若 1 , 2 s 线性相关

5、，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。C.若 1 , 2 s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。D.若 1 , 2 s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。9.n维向量组 1 , 2 s (3sn)线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 s +k 2 s +k s s 0。B. 1 , 2 s 中任意两个向量都线性无关。C. 1 , 2 s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示。D. 1 , 2 s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。10.设 A=( 1 , 2 n )，B=(

6、 1 2 n )，AB=( 1 ， 2 ， n )。记向量组(I) 1 , 2 n ，向量组() 1 2 n ，向量组() 1 ， 2 ， n 。已知向量组()线性相关，则有( )（分数：2.00）A.向量组(I)、()均线性相关。B.向量组(I)、()中至少有一个线性相关。C.向量组(I)一定线性相关。D.向量组()一定线性相关。11.向量组 1 =(1，3，5，一 1) T ， 2 =(2，一 1，一 3，4) T ， 3 =(6,4，4，6) T ， 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 , 2 , 5 。B.

7、 1 , 3 , 5 。C. 2 , 3 , 4 。D. 3 , 4 , 5 。12.假设 A是 n阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A的 n个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r个行向量线性无关。B.任意 r个行向量线性无关。C.任意 r个行向量都构成最大线性无关向量组。D.任何一个行向量都可以由其他 r个行向量线性表示。二、解答题(总题数：15，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.设向量组(I) 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，一 1，a+2) T 和向量组() 1 =(1，2，a+3) T ， 2

8、=(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 。 试问：当 a为何值时，向量组(I)与()等价?当 a为何值时，向量组(I)与()不等价?（分数：2.00）_15.确定常数 a，使向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(1，a，1) T ， 3 =(a，1，1) T 可由向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(一 2，a，4) T ， 3 =(一 2，a，a) T 线性表示，但向量组 1 ， 2 ， 3 不能由向量组 1 , 2 , 3 线性表示。（分数：2.00）_16.设向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，且 a 1 0，证明存在某个向量 a k (2k

9、m)，使 a k 能由 a 1 ，a 2 ，a k-1 线性表示。（分数：2.00）_17.设 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n维向量都可由它们线性表示。（分数：2.00）_已知 r(a 1 ，a 2 ，a 3 )=2，r(a 2 ，a 3 ，a 4 )=3，证明：（分数：4.00）(1).a 1 能由 a 2 ，a 3 线性表示；（分数：2.00）_(2).a 4 不能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示。（分数：2.00）_18.设向量组 a 1 ，a 2 线性无关，向量组 a 1 +b，a 2 +易线性相关，证明：向量 b能由向量

10、组 a 1 ，a 2 线性表示。（分数：2.00）_19.设 1 , 2 n 为 n个线性无关的 n维列向量， 1 ， 2 ， n 为任意 n个 n维列向量。证明： 1 , 2 n 可由 1 2 n 线性表示的充要条件是 1 2 n 线性无关。（分数：2.00）_已知 m个向量 1 ， m 线性相关，但其中任意 m一 1个向量都线性无关，证明：（分数：4.00）(1).如果等式 k 1 1 ，+k m m =0成立，则系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零；（分数：2.00）_(2).如果等式 k 1 1 +k m m =0和等式 l 1 1 +l m m =0都成立，则 （分数：2

11、.00）_20.设 A是 n阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0有解向量 2 ，A k-1 0.证明：向量组 ，A，A k-1 是线性无关的。（分数：2.00）_21.已知 A是三阶矩阵， i (i=1，2，3)是三维非零列向量，令 = 1 + 2 + 3 。若 A i =i i (i=1，2，3)，证明：，A，A 2 线性无关。（分数：2.00）_ * 是非齐次线性方程组 Ax=b的一个解， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：（分数：4.00）(1). * ， 1 ， n-r 线性无关；（分数：2.00）_(2). * ， * + 1 ， * +

12、n-r 线性无关。（分数：2.00）_22.设非齐次线性方程组 Ax=b的系数矩阵的秩为 r， 1 ， n-r+1 是它的 nr+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k n-r+1 n-r+1 ，其中 k 1 +k n-r+1 =1。（分数：2.00）_设向量 1 , 2 ， n-1 是 n1个线性无关的 n维列向量， 1 ， 2 是与 1 , 2 ， n-1 均正交的 n维非零列向量。证明：（分数：4.00）(1). 1 ， 2 线性相关；（分数：2.00）_(2). 1 , 2 ， n-1 线性无关。（分数：2.00）_23.设向量组(I)：b 1 ，b r 能由向

13、量组()：a 1 ，a s 线性表示为(b 1 ，b r )=( 1 ，a s )K，其中 K为 sr矩阵，且向量组()线性无关。证明向量组()线性无关的充分必要条件是矩阵 K的秩 r(K)=r。（分数：2.00）_考研数学二（向量）-试卷 6答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关。B. 1 +

14、 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关。C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关。 D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关。解析：解析：排除法。通过观察可知 ( 1 一 2 )+( 2 一 2 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0， ( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 + 4 )一( 4 + 1 )=0， ( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0，即选项 A，B，D 中的向量组均线性相关，所以选 C。3.设向量组 1 , 2 , 3 线性

15、无关，则下列向量组线性相关的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。B. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 。C. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 。 D. 1 + 2 ，2 2 + 3 ，3 3 + 1 。解析：解析：设存在常数 k 1 ，k 2 ，k 3 使得 k 1 ( 1 一 2 )+k 2 ( 2 一 3 )+k 3 ( 3 一 1 )=0，即 (k 1 一 k 3 ) 1 +(k 2 一 k 1 ) 2 +(k 3 一 k 2 ) 3 =0。因为向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 该齐次线性方程组系数矩阵的行列式

16、4.已知四维向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 一 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 。则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。 D.4。解析：解析：将表示关系合并成矩阵形式有 因四个四维向量 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，故 1 , 2 , 3 , 4 0，即 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )是可逆矩阵。A 左乘 C，即对 C作若干次初等行变换，故有 r(C)=r(AC)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，

17、 5 )，而 5.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，向量 1 ，可由 1 , 2 , 3 线性表示，向量 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关。B. 1 ， 2 ， 2 线性无关。 C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关。D. 1 , 2 , 3 ， 1 + 2 线性相关。解析：解析：由 1 , 2 , 3 线性无关，且 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示知， 1 , 2 , 3 ， 2 线性无关，从而部分组 1 , 2 ， 2 线性无关，故 B为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。取 1 =(1，0，0，

18、0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，0，1，0) T ， 2 =(0，0，0，1) T ， 1 = 1 ，知选项 A与 C错误。对于选项 D，由于 1 , 2 , 3 线性无关，若 1 , 2 , 3 ， 1 + 2 线性相关，则 1 + 2 可由 1 , 2 , 3 线性表示，而 1 可由 1 , 2 , 3 线性表示，从而 2 可由 1 , 2 , 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D错误。6.已知 1 , 2 , 3 , 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出，则 1 , 2 , 3 线性相关； 若 1 , 2 , 3 线性相

19、关， 2 , 3 , 4 线性相关，则 1 , 2 , 4 也线性相关； 若 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 , 2 , 3 线性表出。 其中正确的个数是( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。 D.3。解析：解析：因为 1 , 2 , 3 , 4 是三维非零列向量，所以 1 , 2 , 3 , 4 必线性相关。若 1 , 2 , 3 线性无关，则 4 必能由 1 , 2 , 3 线性表示，可知结论正确。令 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，1，0) T ， 3 =(0，2，0) T

20、 ， 4 =(0，0，1) T ，则 1 , 2 , 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，但 1 ， 2 ， 4 线性无关，可知结论错误。 由于 ( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )( 1 ， 2 ， 2 + 3 )( 1 , 2 , 3 ，( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )( 4 , 1 , 2 , 3 )( 1 , 2 , 3 , 4 )，所以 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )=r( 1 , 2 , 3 , 4 )，则当 r( 1 ， 1 + 2

21、， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )时，可得 r( 1 , 2 , 3 )=r( 1 , 2 , 3 , 4 )，因此 4 可以由 1 , 2 , 3 线性表示。可知结论正确。所以选 C。7.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 + 与 2 +( )（分数：2.00）A.线性无关。B.线性相关。C.既线性相关又线性无关。D.不确定。 解析：解析：例如，令 1 =(1，1)， 3 =(0，2)，=(一 1，一 1)，则 1 ， 2 线性无关，而 1 +=(0，0)与 2 +=(一 1，1)线性相关。如果设 =(0，0)，那么 1 + 与

22、2 + 却是线性无关的。故选 D。8.设 1 , 2 s 均为 n维列向量，A 是 mn矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 , 2 s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。 B.若 1 , 2 s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。C.若 1 , 2 s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。D.若 1 , 2 s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。解析：解析：记 B=( 1 ， 2 ， s )，则(A 1 ，A 2 ，A s )=AB。若向量组 1 ， 2 ， s 线性相关，则 r(B)s，从而 r(AB

23、)r(A)s，向量组 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关，故应选 A。9.n维向量组 1 , 2 s (3sn)线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 s +k 2 s +k s s 0。B. 1 , 2 s 中任意两个向量都线性无关。C. 1 , 2 s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示。D. 1 , 2 s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。 解析：解析：向量组 1 , 2 ， s 线性相关的充要条件是 1 , 2 ， s 中至少存在一个向量能用其余向量线性表示，所以 1 , 2 ， s 线性无关的充要条

24、件是 1 , 2 ， s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。故选 D。10.设 A=( 1 , 2 n )，B=( 1 2 n )，AB=( 1 ， 2 ， n )。记向量组(I) 1 , 2 n ，向量组() 1 2 n ，向量组() 1 ， 2 ， n 。已知向量组()线性相关，则有( )（分数：2.00）A.向量组(I)、()均线性相关。B.向量组(I)、()中至少有一个线性相关。 C.向量组(I)一定线性相关。D.向量组()一定线性相关。解析：解析：向量组()线性相关，也即 r(AB)n，可知矩阵 A，B 中至少有一个不是满秩的。因为若A，B 均满秩，则矩阵 AB也满秩，此时向量

25、组()线性无关，这与题设矛盾。所以向量组(I)、()中至少有一个是线性相关的。故选 B。11.向量组 1 =(1，3，5，一 1) T ， 2 =(2，一 1，一 3，4) T ， 3 =(6,4，4，6) T ， 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 , 2 , 5 。B. 1 , 3 , 5 。C. 2 , 3 , 4 。 D. 3 , 4 , 5 。解析：解析：对向量组构成的矩阵作初等行变换，有 可见秩 r( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )=3。又因为三阶子式 12.假设 A是 n阶方阵，其秩 r(A)

26、n，那么在 A的 n个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r个行向量线性无关。 B.任意 r个行向量线性无关。C.任意 r个行向量都构成最大线性无关向量组。D.任何一个行向量都可以由其他 r个行向量线性表示。解析：解析：由矩阵秩的定义可知，A 的 n个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这n个向量中必然存在 r个线性无关的向量，所以应选 A。二、解答题(总题数：15，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设向量组(I) 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，一 1，a+2) T 和向量组()

27、1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 。 试问：当 a为何值时，向量组(I)与()等价?当 a为何值时，向量组(I)与()不等价?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵( 1 , 2 , 3 : 1 ， 2 ， 3 )作初等行变换，有 当 a一 1时，行列式 1 , 2 , 3 =a+10，由克拉默法则可知线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = i (i=1，2，3)均有唯一解，此时向量组()可由向量组(I)线性表示。同理，由行列式 1 ， 2 ， 3 =60，可知向量组(I)也可由向量组()线性表示。向量组

28、(I)与()等价。当 a=一 1时，有 )解析：15.确定常数 a，使向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(1，a，1) T ， 3 =(a，1，1) T 可由向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(一 2，a，4) T ， 3 =(一 2，a，a) T 线性表示，但向量组 1 ， 2 ， 3 不能由向量组 1 , 2 , 3 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=( 1 , 2 , 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )。因为 1 ， 2 ， 3 不能由 1 , 2 , 3 线性表示，所以 r(A)1 , 2 , 3 线性表示)，从而 即 a=一 2或 1

29、。当a=一 2时 )解析：16.设向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，且 a 1 0，证明存在某个向量 a k (2km)，使 a k 能由 a 1 ，a 2 ，a k-1 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组 1 , 2 ， m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1 ， 2 ， m ，使 1 a 1 ， 2 a 2 ， m a m =0。 因 1 ， 2 ， m 不全为零，所以必存在 k，使得 k 0，且 k+1 = m =0。 当 k=1时，代入上式有 1 a 1 =0.又因为 a 1 0，所以 1 =0，与假设矛盾，故 k1。 当 k 0 且 k2

30、 时，有 )解析：17.设 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n维向量都可由它们线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性： a 1 ，a 2 ，a n 是线性无关的一组 n维向量，因此 r(a 1 ，a 2 ，a n )=n。对任一 n维向量 b，因为 a 1 ，a 2 ，a n ，b 的维数 n小于向量的个数 n+1，故 a 1 ，a 2 ，a n ，b 线性相关。 综上所述 r(a 1 ，a 2 ，a n ，b)=n。 又因为 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关，所以 n维向量 b可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表

31、示。 充分性： 已知任一 n维向量 b都可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，则单位向量组： 1 ， 2 ， n 可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，即 r( 1 ， 2 ， n )=nr(a 1 ，a 2 ，a n )， 又 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n维向量，有 r(a 1 ，a 2 ，a n )n。 综上，r(a 1 ，a 2 ，a n )=n。所以 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关。)解析：已知 r(a 1 ，a 2 ，a 3 )=2，r(a 2 ，a 3 ，a 4 )=3，证明：（分数：4.00）(1).a 1 能由 a 2 ，a 3 线性表示；（分数：2

32、.00）_正确答案：(正确答案：r( 1 , 2 , 3 )=23 1 , 2 , 3 线性相关； 假设 a 1 不能由 a 2 ，a 3 线性表示，则 a 2 ，a 3 线性相关。 而由 r(a 2 ，a 3 ，a 4 )=3a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关a 2 ，a 3 线性无关，与假设矛盾。 综上所述，a 1 必能由 a 2 ，a 3 线性表示。)解析：(2).a 4 不能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(I)的结论，a 1 可由 a 2 ，a 3 线性表示，则若 a 4 能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示a 4 能由

33、a 2 ，a 3 线性表示，即 r(a 2 ，a 3 ，a 4 )3 与 r(a 2 ，a 3 ，a 4 )=3矛盾，故 a 4 不能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示。)解析：18.设向量组 a 1 ，a 2 线性无关，向量组 a 1 +b，a 2 +易线性相关，证明：向量 b能由向量组 a 1 ，a 2 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a 1 ，a 2 线性无关，a 1 +b，a 2 +b线性相关，所以 b0，且存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，使 k 1 (a 1 +b)+k 2 (a 2 +b)=0，则有(k 1 +k 2 )b=一 k 1 a 1

34、 k 2 a 2 。 又因为 a 1 ，a 2 线性无关，若 k 1 a 1 +k 2 a 2 =0，则 k 1 =k 2 =0，这与 k 1 ，k 2 不全为零矛盾，于是有 k 1 a 1 +k 2 a 2 0，(k 1 +k 2 )b0。 综上 k 1 +k 2 0，因此由(k 1 +k 2 )b=一 ka 1 k 2 a 2 得 )解析：19.设 1 , 2 n 为 n个线性无关的 n维列向量， 1 ， 2 ， n 为任意 n个 n维列向量。证明： 1 , 2 n 可由 1 2 n 线性表示的充要条件是 1 2 n 线性无关。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性： 因为 1

35、, 2 ， n 线性无关，且 1 , 2 ， n 可由 1 2 ， n 线性表示，所以 nr( 1 , 2 ， n )r( 1 2 ， n )n，即 r( 1 2 ， n )=n，则 1 2 ， n 线性无关。 充分性： 因为 1 2 ， n 是线性无关的 n维向量组，所以 1 2 ， n 可以表示 n维向量空间中所有的向量，故 1 , 2 ， n 可由 1 2 ， n 线性表示。)解析：已知 m个向量 1 ， m 线性相关，但其中任意 m一 1个向量都线性无关，证明：（分数：4.00）(1).如果等式 k 1 1 ，+k m m =0成立，则系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设存在某个 k i =0，则由 k 1 1 +k m m =0可得 k 1 1 +k i-1 i-1 +k i+1 i+1 +k m m =0。 (1) 因为任意 m一 1个向量都线性无关，所以必有 k 1 =k i-1 =k i+1 =k m =0，即系数 k 1 ，k m 全为零。所以系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零。)解析：(2).如果等式 k 1 1 +k m m =