【考研类试卷】考研数学一分类真题多元函数积分学及答案解析.doc
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1、考研数学一分类真题多元函数积分学及答案解析(总分:51.00,做题时间:90 分钟)一、B填空题/B(总题数:21,分数:21.00)1.设 L为取正向的圆周 x2+y2=9,则曲线积 (分数:1.00)填空项 1:_2.向量场 u(x,y,z)=xy 2i+yezj+xln(1+z2)k在点 P(1,1,0)处的散度 divu=_(分数:1.00)填空项 1:_3.设平面曲线 L为下半圆周 ,则曲线积分 (分数:1.00)填空项 1:_4.积分 (分数:1.00)填空项 1:_5.设数量场 (分数:1.00)填空项 1:_6.设区域 D为 x2+y2R 2,则 (分数:1.00)填空项 1:
2、_7.设 l是椭圆 ,其周长记为 a,则 (分数:1.00)填空项 1:_8.设 ,则 (分数:1.00)填空项 1:_9.交换二次积分的积分次序: (分数:1.00)填空项 1:_10.设 L为正向圆周 x2+y2=2在第一象限中的部分,则曲线积分 (分数:1.00)填空项 1:_11.设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域,是 的整个边界的外侧,则 (分数:1.00)填空项 1:_12.设是锥面 (0z1)的下侧,则 (分数:1.00)填空项 1:_13.设曲面:x+y+z=1,则 (分数:1.00)填空项 1:_14.设曲面是 的上侧,则 (分数:1.00)填空项 1:_15.设 =(x
3、,y,z)x 2+y2+z21),则 (分数:1.00)填空项 1:_16.已知曲线 L:y=x 2(0x ),则 (分数:1.00)填空项 1:_17.已知曲线 L的方程为 y=1-x(x-1,1),起点是(-1,0),终点为(1,0),则曲线积分(分数:1.00)填空项 1:_18.设 =(x,y,z)x 2+y2z1),则 的形心的竖坐标 (分数:1.00)填空项 1:_19.设 L是柱面 x2+y2=1与平面 z=x+y的交线,从 z轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分(分数:1.00)填空项 1:_20.设=(x,y,z)x+y+z=1,x0,y0,z0,则 (分数:1.0
4、0)填空项 1:_21.设 L是柱面 x2+y2=1与平面 y+z=0的交线,从 z轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分(分数:1.00)填空项 1:_二、B选择题/B(总题数:9,分数:9.00)22.设有空间区域 1:x 2+y2+z2R 2,z0;及 2:x 2+y2+z2R 2,x0,y0,z0,则 _A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.23.设 D是 xoy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,D 1是 D在第一象限的部分,则等于A C (分数:1.00)A.B.C.D.24.设 S:x 2+y2+z2=a2 (z0),S 1为
5、S在第一卦限中的部分,则有 _A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.25.设 f(x)为连续函数,F(t)= (分数:1.00)A.B.C.D.26.设 f(x,y)为连续函数,则 等于 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.27.设曲线 L:f(x,y)=1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)过第象限内的点 M和第象限内的点 N, 为L上从点 M到点 N的一段弧,则下列积分小于零的是 _A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.28.如图,正方形 被其对角线划分为四个区域 Dk(k=1,2,3,4), ,则 = _(分数:1.00)A.B.C.D.29.设 L1
6、:x 2+y2=1,L 2:x 2+y2=2,L 3:x 2+2y2=2,L 42x2+y2=2为四条逆时针方向的平面曲线记 (分数:1.00)A.B.C.D.30.设 f(x,y)是连续函数,则 =_. A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数:5,分数:21.00)设函数 f(x)在(-,+)内具有一阶连续导数,L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(a,b),终点为(c,d). 记 (分数:2.00)(1).证明曲线积分 I与路径 L无关;(分数:1.00)_(2).当 ab=cd时,求 I的值(分数:1.00)_已知平面区域 D=(x,y
7、)0x,0y,L 为 D的正向边界试证:(分数:2.00)(1).; (分数:1.00)_(2). (分数:1.00)_设函数 f(x)连续且恒大于零,(分数:4.00)(1).讨论 F(t)在区间(0,+)内的单调性(分数:1.00)_(2).证明当 t0 时,F(t) (分数:1.00)_(3).计算曲面积分 (分数:1.00)_(4).设 D=(x,y)x 2+y2 ,x0,y0),1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2的最大整数计算二重积分 (分数:1.00)_设函数 具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L上,曲线积分 (分数:10.00)(1).证明:对右半平面 x
8、0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C,有 (分数:1.00)_(2).求函数 (分数:1.00)_(3).设区域 D=(x,y)x 2+y21,x0),计算二重积分(分数:1.00)_(4).设在上半平面 D=(x,y)y0内,函数 f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的 t0 都有 f(tx,ty)=t-2f(x,y)证明:对 D内的任意分段光滑的有向简单闭线 L,都有(分数:1.00)_(5).计算曲面积分其中为曲面 z=1-x2- (分数:1.00)_(6).计算曲线积分 (分数:1.00)_(7).计算曲面积分 (分数:1.00)_(8).设 P为椭球面 S:x 2+y2+z2-yz=1
9、上的动点,若 S在点 P处的切平面与 xOy面垂直,求点 P的轨迹 C,并计算曲面积分 (分数:1.00)_(9).已知函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数,且 f(1,y)=0,f(x,1):0, ,其中D=(x,y)0x1,0y1),计算二重积分, (分数:1.00)_(10).已知 L是第一象限中从点(0,0)沿圆周 x2+y2=2x到点(2,0),再沿圆周 x2+y2=4到点(0,2)的曲线段计算曲线积分 (分数:1.00)_设直线 L过 A(1,0,0),B(0,1,1)两点,将 L绕 z轴旋转一周得到曲面与平面 z=0,x=2 所围成的立体为 (分数:3.00)(1).求曲面的方程
10、;(分数:1.00)_(2).求 的形心坐标(分数:1.00)_(3).设为曲面 z=x2+y2(z1)的上侧,计算曲面积分(分数:1.00)_考研数学一分类真题多元函数积分学答案解析(总分:51.00,做题时间:90 分钟)一、B填空题/B(总题数:21,分数:21.00)1.设 L为取正向的圆周 x2+y2=9,则曲线积 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:-18)解析:解 由格林公式可知 原式=* D:* 本题主要考查格林公式2.向量场 u(x,y,z)=xy 2i+yezj+xln(1+z2)k在点 P(1,1,0)处的散度 divu=_(分数:1.00)填空项 1:_ (正
11、确答案:2)解析:解 由散度计算公式 *其中 u=Pi+Qj+Rk 得* 本题主要考查散度计算公式3.设平面曲线 L为下半圆周 ,则曲线积分 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:)解析:解 1 下半圆周*的参数方程为*,t2。则*解 2 由于下半圆周上的点(x,y)也满足 x2+y2=1,则*本题主要考查平面上第一型线积分的计算4.积分 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:显然按本题所给累次积分次序无法积分,因为积分*积不出来所以应交换累次积分次序 解 交换累次积分次序得 * 本题主要考查二重积分的计算5.设数量场 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*
12、)解析:解 * 由于* 知* 由对称性可知* 故 * 本题主要考查梯度和散度的计算公式6.设区域 D为 x2+y2R 2,则 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解 1 利用极坐标进行计算 * 解 2 由对称性可知* 则 * * 本题主要考查二重积分的计算方法7.设 l是椭圆 ,其周长记为 a,则 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:12a)解析:解 椭圆 l的方程可改写为 3x 2+4y2=12将上式代入积分得*由于 xy是 x的奇函数,曲线 l关于 y轴对称,则*而 *则 *本题主要考查一型线积分计算的方法和技巧8.设 ,则 (分数:1.00)填空项 1:_
13、(正确答案:* 解 * 则 *)解析:本题主要考查梯度和散度计算9.交换二次积分的积分次序: (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解 先画积分域草图(见图 2.9),由此可知 * * 本题主要考查累次积分交换次序此类问题首先要画出积分域的草图,然后再来交换次序10.设 L为正向圆周 x2+y2=2在第一象限中的部分,则曲线积分 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解 1 圆周 x2+y2=2的参数方程为*,则*解 2 补线用格林公式,如图补线段*和*,则*本题主要考查平面二型线积分的计算11.设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域,是 的整个边界的外侧,
14、则 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解 由高斯公式得 * 本题主要考查高斯公式及三重积分在球坐标下的计算12.设是锥面 (0z1)的下侧,则 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:2)解析:解 补平面*,取上侧 则* 本题主要考查补面用高斯公式计算第二型面积分的方法13.设曲面:x+y+z=1,则 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:本题是一个第一型面积分计算问题积分曲面:x+y+z=1 由 8块平面构成,若用直接法计算该面积分显然很不方便,这里应特别注意被积函数的奇偶性和积分曲面的对称性解 由于 x关于变量 x是奇函数,而积分曲面:x+y+
15、z=1 关于 yOz面对称,则*由于y关于变量 x,y,z 都是偶函数,而曲面:x+y+z=1 关于三个坐标面 xOy面,yOz面,zOx 面都对称,则*其中 1为在第一卦限内的部分,即:x+y+z=1,(x0,y0,z0)计算*有以下三种方法:方法一 化为二重积分*方法二 利用对称性*方法三 利用形心计算公式*(S为 1的面积)=*故*本题主要考查利用函数奇偶性、曲面的对称性计算第一型面积分的方法14.设曲面是 的上侧,则 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:4)解析:根据本题的特点,补面用高斯公式计算本题中的面积分解 令 S为 xOy面上圆 x2+y24 的下侧,则原式*本题王要
16、考查计算二型面积分一种常用方法:补面用高斯公式15.设 =(x,y,z)x 2+y2+z21),则 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解 1 利用直角坐标系下的“先二后一” * 解 2 由对称性知 * 本题主要考查三重积分的计算16.已知曲线 L:y=x 2(0x ),则 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解* 本题主要考查第一型线积分的计算17.已知曲线 L的方程为 y=1-x(x-1,1),起点是(-1,0),终点为(1,0),则曲线积分(分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:0)解析:* * 解 2 补线用格林公式补 x轴上的线段*,则
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