【考研类试卷】工程硕士(GCT)数学分类真题初等代数、几何与三角(二)及答案解析.doc

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1、工程硕士(GCT)数学分类真题初等代数、几何与三角(二)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：45，分数：100.00)1.若两个正数的等差中项为 15，等比中项为 12则这两数之差的绝对值等于_（分数：2.00）A.7B.9C.10D.182.在实验室密闭容器中培育某种细菌如果该细菌每天的密度增长 1倍，它在 20天内密度增长到 4百万株/m 3 ，那么该细菌密度增长到 （分数：2.00）A.2B.4C.8D.163.已知数列 a 1 ，a 2 ，a n ，的通项是 （分数：2.00）A.2651B.2601C.2551D.25014.如图所示的数阵中，

2、每行、每列的三个数均成等比数列如果数阵中所有数的乘积等于 ，那么 a 22 =_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.5.数列 a 1 ，a 2 ，a n ，按如下规则构成：a 1 =5， （分数：2.00）A.5B.7C.8D.116.两个正数 a与 b使得 a，b，a+b 成等比数列，则其公比是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知数列a n 对于任意正整数 p和 q，都有 a p +a q =a p+q 若 （分数：2.00）A.19B.38C.53D.1068.48支足球队，等分为 8组进行阶段赛，每组中的各队之间都要比赛一场小组赛比赛的总场数是_（分

3、数：2.00）A.48B.120C.240D.2889.5个不同的数，两两之和依次等于 3，4，5，6，7，8，11，12，13，15，这 5个数的平均值是_（分数：2.00）A.18.8B.8.4C.5.6D.4.210.下图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，图中第 8行所有中应填数字的和等于_ （分数：2.00）A.96B.128C.256D.31211.将 5个相同的球放入位于一排的 8个格子中，每格至多放一个球，则 3个空格相连的概率是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.12.任取一个正整数，其平方数的末位数字是 4的概率等于_（分数：2.00）A.0.1

4、B.0.2C.0.3D.0.413.桌上有中文书 6本，英文书 6本，俄文书 3本，从中任取 3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.将 8名乒乓球选手分为两组，每组 4人，则甲、乙两位选手不在同一组的概率为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.15.甲盒中有 200个螺杆，其中 A型的有 160个；乙盒中有 240个螺母，其中 A型的有 180个，从甲乙两盒中各任取一个零件，能配成 A型螺栓的概率为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16.若从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这

5、 10个数中任意取 3个不同的数，则它们能构成公比大于 1的等比数列的概率是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.有长 1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm 的 6根细木条，任取其中 3粮为边能构成一个三角形的概率为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.盒中有 10张卡片，分别写有数码 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10若从中任取 3张，则其中恰有 1张卡片写的是质数的概率为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.在分别写有数码 2，4，6，7，8，11，12，13 的八张卡片中任取两张，所取卡片上的两个数互质的概

6、率为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.设正方形 ABCD的中心为点 O，在以点 A，B，C，D，O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.一批产品的次品率为 0.1，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为_（分数：2.00）A.0.271B.0.243C.0.1D.0.08122.有两个独立的报警装置，在紧急情况发生时各报警装置发出信号的概率分别是 0.95和 0.92则紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率是_（分数：2.00）A.0.920B.0.935C.

7、0.950D.0.99b23.如图 1所示，正方形 ABCD的面积为 1，E 和 F分别是 AB和 BC的中点，则图中阴影部分的面积为_ 图 1A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.24.如下图所示，长方形 ABCD由 4个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH构成，若长方形 ABCD的面积为S，则正方形 EFGH的面积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.在四边形 ABCD中，对角线 AC，BD 垂直相交于 O点若 AC=30，BD=36，则四边形 ABCD的面积为_（分数：2.00）A.1080B.840C.720D.54026.如图 1所示，小半圆的直径

8、 EF落在大半圆的直径 MN上大半圆的弦 AB与 MN平行且与小半圆相切，弦 AB=10cm则图中阴影部分的面积为_cm 2 （分数：2.00）A.10B.12.5C.20D.2527.已知长方形的长为 8，宽为 4，将长方形沿一条对角线折起压平，如图 1所示则阴影三角形的面积等于_ （分数：2.00）A.8B.10C.12D.1428.如图 1所示，MN 是圆 O的一条直径，ABCD 是一个正方形，BC 在 MN上，A，D 在圆 O上，如果正方形的面积等于 8，则圆 O的面积等于_ （分数：2.00）A.6B.8C.10D.1229.如图 1所示，长方形 ABCD中，AB=a，BC=b(ba

9、)若将长方形 ABCD绕 A点顺时针旋转 90，则线段CD扫过的面积(阴影部分)等于_ 图 1A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.在边长为 10的正方形 ABCD中，若按图 1所示嵌入 6个边长一样的小正方形，使得 P，Q，M，N 四个顶点落在大正方形的边上，则这 6个小正方形的面积之和是_ 图 1A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.31.如图 1所示，MNP 是正ABC 的内切圆中的一个内接正三角形已知阴影部分的面积为 1500cm 2 ，则正ABC 的面积等于_cm 2 （分数：2.00）A.2200B.2100C.2000D.190032.边长分别为 8

10、cm和 6cm的两个正方形 ABCD与 BEFG并排放在一起，如下图所示直线 EG交 DC于P，AC 交 PG于 K，则AEK 的面积是_cm 2 （分数：2.00）A.48B.49C.50D.5133.如下图所示，已知ABC，ACD，ADE，AEF 都是等腰直角三角形，若它们的总面积是 30cm 2 ，则图中阴影部分的面积是_cm 2 （分数：2.00）A.22B.20C.18D.1634.如图 1所示，两同心圆的半径分别为 6cm和 8cm，矩形 ABCD的边 AB，CD 分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，它的周长等于_cm （分数：2.00）A.38.6B.39.2C.39.8D.4

11、0.435.在圆心为 O，半径为 15的圆内有一点 P，若 OP=12，则在过 P点的弦中，长度为整数的有_（分数：2.00）A.25条B.24条C.13条D.12条36.ABC 中，AB=5，AC=3，A=x，该三角形 BC边上的中线长是 x的函数 y=f(x)，则当 x在(0，)中变化时，函数 f(x)取值的范围是_（分数：3.00）A.(0，5)B.(1，4)C.(3，4)D.(2，5)37.在ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6过 C点以 C到 AB的距离为直径作一圆，该圆与 AB有公共点，且交AC于 M，交 BC于 N，则 MN等于_ A B C D （分数：3.00）A.B.

12、C.D.38.如图 1所示，正三角形 ABC中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F，G 分别是 DE，BC 的中点已知BD=8cm，CE=6cm，则 FG=_cm 图 1A B C （分数：3.00）A.B.C.D.39.如图 1所示，D 为ABC 内一点，使得BAD=BCD，且BDC=90过 A，D，B 三点作圆 O，若 M为AC的中点，AB=5， ，则圆 O的半径等于_ （分数：3.00）A.2B.3C.4D.540.两张大小相同的矩形纸片，每张都画出 7个大小相同的矩形，如图所示放置，重叠的顶点记作 A，顶点 C在另一张纸片的分隔线上，若 ，则 AB的长是_ A B C D （分数：

13、3.00）A.B.C.D.41.如图 1所示，直角ABC 中C 为直角，点 E和 D，F 分别在直角边 AC和斜边 AB上，且AF=FE=ED=DC=CB，则A=_ 图 1A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.42.如图 1所示，垂直于地平面放置着一块半圆形的木板，使得太阳的光线恰与半圆的直径 AB垂直此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面已知阴影的面积与半圆面积之比等于 ，那么光线与地平面所成的角度是_ （分数：3.00）A.15B.30C.45D.6043.ABC 中，A:B:C=3:2:7，如果从 AB上的一点 D作射线 l，交 AC或 BC边于点 E，使ADE=60，且 l分A

14、BC 所成的两部分图形的面积相等，那么_（分数：3.00）A.l过 C点(即 E点与 C重合)B.l不过 C点而与 AC相交C.l不过 C点而与 BC相交D.l不存在44.三个边长为 1的正方形拼成如图 1所示的图形，图中有两条线段相交的锐角为 ，tan=_ 图 1A B C （分数：3.00）A.B.C.D.45.已知两平行平面 ， 之间的距离为 d(d0)，l 是平面 内的一条直线，则在平面 内与直线 l平行且距离为 2d的直线有_（分数：3.00）A.0条B.1条C.2条D.4条工程硕士(GCT)数学分类真题初等代数、几何与三角(二)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一

15、、单项选择(总题数：45，分数：100.00)1.若两个正数的等差中项为 15，等比中项为 12则这两数之差的绝对值等于_（分数：2.00）A.7B.9C.10D.18 解析：解析 本题考查了等比数列、等差数列的概念和基本的代数公式及简单的变形方式 解法 1 设两个正数分别为 a，b，根据题设可知 所以 故正确选项为 D 解法 2 由 得 b 2 -30b+144=(b-24)(b-6)=0，进一步得 或 2.在实验室密闭容器中培育某种细菌如果该细菌每天的密度增长 1倍，它在 20天内密度增长到 4百万株/m 3 ，那么该细菌密度增长到 （分数：2.00）A.2B.4C.8D.16 解析：解析

16、 本题主要考查了等比数列的通项公式及数的简单运算 假设第一天的细菌密度是 a(百万株/m 3 )，由题意可知第 n天的细菌密度是 a 2n-1 (百万株/m 3 ) 由 a2 20-1 =4(百万株/m 3 )及 3.已知数列 a 1 ，a 2 ，a n ，的通项是 （分数：2.00）A.2651B.2601 C.2551D.2501解析：解析 本题主要考查了等差数列前 n项和公式、组合法 因为 所以 4.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等比数列如果数阵中所有数的乘积等于 ，那么 a 22 =_ A B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查了等比数列的概念与

17、等比中项公式 解法 1 根据题意 且 所以 由 ，得 解法 2 特殊值代入法 取 a ij =c(i，j=1，2，3)，则 ，所以 5.数列 a 1 ，a 2 ，a n ，按如下规则构成：a 1 =5， （分数：2.00）A.5B.7C.8 D.11解析：解析 本题主要考查了数列的递推公式，考查了数的表示和数列的周期 因为 ，由题意可知 a 3 =(6+4)+1=11类似地，由 6.两个正数 a与 b使得 a，b，a+b 成等比数列，则其公比是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查了等比数列的基本概念，考查了一元二次方程的求根公式 因为 a，b，a+b 成

18、等比数列，所以 b 2 =a(a+b) 整理得 解得 7.已知数列a n 对于任意正整数 p和 q，都有 a p +a q =a p+q 若 （分数：2.00）A.19B.38C.53D.106 解析：解析 本题考查了数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式 因为对于任意正整数 p和 q，都有 a p +a q =a p+q ，所以 a 1 +a n-1 =a n ，即 a n -a n-1 =a 1 ， 于是a n 是首项与公差均为 的等差数列所以 8.48支足球队，等分为 8组进行阶段赛，每组中的各队之间都要比赛一场小组赛比赛的总场数是_（分数：2.00）A.48B.120 C.240D.

19、288解析：解析 本题主要考查了组合及组合数的概念与分类求和计数原理 48支足球队等分为 8组，每组共有 6队，每组的比赛场数为 9.5个不同的数，两两之和依次等于 3，4，5，6，7，8，11，12，13，15，这 5个数的平均值是_（分数：2.00）A.18.8B.8.4C.5.6D.4.2 解析：解析 本题主要考查了分组问题及平均数的概念与计算 设 5个不同数分别为 a，b，c，d，e，根据题意可知 4(a+b+c+d+8)=(a+b)+(a+c)+(a+d)+(a+e)+(b+c)+(b+d)+(b+e)+(c+d)+(c+e)+(d+e) =3+4+5+6+7+8+ll+12+13+

20、15 所以 10.下图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，图中第 8行所有中应填数字的和等于_ （分数：2.00）A.96B.128 C.256D.312解析：解析 本题考查了二项式展开系数的性质 解法 1 由图可知，第 8行的数字之和应是 的展开系数之和，即 11.将 5个相同的球放入位于一排的 8个格子中，每格至多放一个球，则 3个空格相连的概率是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查了等可能事件的概率公式及简单的组合问题 由于球与格子没有强调不同，每调出 5个格子就会得到一种放球的方式，所以将 5个相同的球放入位于一排的 8个格子中，共

21、有 种放法；为了保证 3个空格相连，将 3个格子作为 1个，3 个空格相连的不同放法共有 种，因此所求的概率为 12.任取一个正整数，其平方数的末位数字是 4的概率等于_（分数：2.00）A.0.1B.0.2 C.0.3D.0.4解析：解析 本题主要考查了整数乘法运算的概念与等可能事件概率的计算 因为一个正整数的个位数共有 0，1，2，9 十种可能，且当个位数是 2或 8时，其平方数的末位数字才能是 4，所以任取一个正整数，其平方数的末位数字是 4的概率等于 13.桌上有中文书 6本，英文书 6本，俄文书 3本，从中任取 3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是_ A B C D （

22、分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查了等可能事件的概率公式和简单的组合数公式 从 15本书中任取 3本的不同取法共有 ，三种书各有 1本的不同取法共有 所以要求的概率为 14.将 8名乒乓球选手分为两组，每组 4人，则甲、乙两位选手不在同一组的概率为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查了等可能事件的概率公式与简单的分组问题 解法 1 8名选手分成两组，每组 4人，共有 种不同分法；甲、乙两人不在同一组的分法共有 (甲在第一组 ，乙在第一组 )，所以甲、乙两人不在同一组的概率为 故正确选项为 D 解法 2 8名选手分成两组，每组

23、4人，共有 种不同分法；甲、乙两人在同一组的分法共有 (都在第一组或都在第二组)，所以甲、乙两人不在同一组的概率为 15.甲盒中有 200个螺杆，其中 A型的有 160个；乙盒中有 240个螺母，其中 A型的有 180个，从甲乙两盒中各任取一个零件，能配成 A型螺栓的概率为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查了等可能事件的概率公式和分步求积的计数原理 解法 1 根据题意，从甲、乙两盒中各任取一个零件配在一起，共有 200240种情况，其中有 160180种是 A型螺栓所以要求的概率是 故正确选项为 C 解法 2 本题也司以利用独立事件的概率乘法公式直接求

24、得 16.若从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10个数中任意取 3个不同的数，则它们能构成公比大于 1的等比数列的概率是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查了等可能事件的概率公式及简单组合数的计算，考查了等比数列的概念 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 中任取 3个不同数的所有取法共有 种，其中能构成公比大于1的等比数列的是 1，2，4；1，3，9；2，4，8；4，6，9 共 4组所以要求的概率是 17.有长 1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm 的 6根细木条，任取其中 3粮为边能构成一个三角形的概率为_ A

25、B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查了等可能事件概率的计算、组合数公式、三角形边长之间的关系 从给定的 6根木条中任取 3根，不同的取法有 种根据三角形边长之间的关系可知，能构成三角形的情况共有 7种，它们分别是 2，3，4， 2，4，5， 2，5，6， 3，4，5， 3，4，6， 3，5，6， 4，5，6， 所以要求的概率为 18.盒中有 10张卡片，分别写有数码 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10若从中任取 3张，则其中恰有 1张卡片写的是质数的概率为_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查了等可能事件的概率

26、公式，考查了质数的概念与组合数的计算 从 10张卡片中任取 3张，共有 种不同取法因为前 10个正整数中共有 4个质数 2，3，5，7，所以任取的 3张卡片中恰有 1张卡片写的是质数的不同取法共有 种故所求概率为 19.在分别写有数码 2，4，6，7，8，11，12，13 的八张卡片中任取两张，所取卡片上的两个数互质的概率为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查了等可能事件的概率和两数互质的概念，考查了加法原理和组合数的计算 八张卡片中任取两张的不同取法共有 种，两个互质的数都在 7，11，13 中的情况有 种，两个互质的数中一个在 7，11，13 中，另

27、一个在 2，4，6，8，12 中的情况有 种，因此所取两张卡片上的数互质的概率为 20.设正方形 ABCD的中心为点 O，在以点 A，B，C，D，O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查了简单几何图形的关系，考查了等可能事件概率的计算公式和简单的计数问题 如所示，从 A，B，C，D，O 五个点中任取 3个，能构成三角形的个数为 面积相等的三角形共有两组，每组有 4个，所以任取 2个三角形，它们面积相等的概率为 21.一批产品的次品率为 0.1，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的

28、概率为_（分数：2.00）A.0.271 B.0.243C.0.1D.0.081解析：解析 本题主要考查了独立事件同时发生的概率公式及对立事件的概率关系 解法 1 连续三件检测中至少有一件是次品的对立事件是“连续三件检测中都是合格品”根据题意可知该批产品的合格品率为 0.9，所以连续三件检测中都是合格品的概率为 0.9 3 =0.729从而连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 1-0.9 3 =0.271 故正确选项为 A 解法 2 设事件 A表示“连续三件检测中只有一件是次品”，事件 B表示“连续三件检测中只有两件是次品”，事件 C表示“连续三件检测中三件都是次品”，则事件 A，B，C 两

29、两互斥又因为 22.有两个独立的报警装置，在紧急情况发生时各报警装置发出信号的概率分别是 0.95和 0.92则紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率是_（分数：2.00）A.0.920B.0.935C.0.950D.0.99b 解析：解析 本题主要考查了独立事件同时发生的概率公式及对立事件的概率关系 解法 1 设两个报警装置在紧急情况发生时发出信号分别为事件 A，B，则 P(A)=0.95，P(B)=0.92由条件可知，在紧急情况发生时，每个报警装置不发出信号的概率分别是 P(A)=1-P(A)=0.05与 P(B)=1-P(B)-0.08由于两个报警装置是独立的，所以两个报警器同时均

30、不发出信号的概率是 P(A)P(B)=0.050.08=0.004从而紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率是 故正确选项为 D 解法 2 由于两个报警装置相互独立，所以紧急情况发生时恰有一个报警器发出信号的概率为 ，两个报警器都发出信号的概率为 P(A)P(B)=0.950.92=0.874从而紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率是 23.如图 1所示，正方形 ABCD的面积为 1，E 和 F分别是 AB和 BC的中点，则图中阴影部分的面积为_ 图 1A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查了三角形重心与相似三角形的性质，及三角形的面积公式和

31、求平面图形面积的一种常用方法 如图 2所示，因为 G是三角形 BCD的重心，所以 根据对称性可知 AH=HG=GC，又DAH，DHG 与DGC 同高，从而DAH，DHG 与DGC 的面积相等，都是 图 2由于GFC 在底边 FC上的高是DFC 在底边 FC上的高的 ，所以GFC 的面积是DFC 面积的 ，从而是DGC 面积的一半，为 综上所述，图中空白部分的面积为 ，从而阴影部分的面积为 24.如下图所示，长方形 ABCD由 4个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH构成，若长方形 ABCD的面积为S，则正方形 EFGH的面积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析

32、本题主要考查了等腰直角三角形的边长之间的关系及矩形与正方形的面积公式 设小正方形的边长是 a，则 GC的长度是 2a，HB 的长度是 3a，从而 BC的长度是 ，AB 的长度是 ，所以长方形 ABCD的面积为 ，即 25.在四边形 ABCD中，对角线 AC，BD 垂直相交于 O点若 AC=30，BD=36，则四边形 ABCD的面积为_（分数：2.00）A.1080B.840C.720D.540 解析：解析 本题主要考查了四边形对角线的概念与三角形的面积公式，画出定性图是处理此类问题的关键 如图所示，易知四边形 ABCD的面积等于ABD 与CBD 的面积之和，其值为 26.如图 1所示，小半圆的

33、直径 EF落在大半圆的直径 MN上大半圆的弦 AB与 MN平行且与小半圆相切，弦 AB=10cm则图中阴影部分的面积为_cm 2 （分数：2.00）A.10B.12.5 C.20D.25解析：解析 本题主要考查圆的基本性质、勾股定理和平移方法 如图 2所示，将小半圆的直径沿大半圆的直径平移，在平移过程中，阴影部分的面积始终等于这两个半圆的面积之差设两圆的圆心重合于 O点，弦 AB与小圆切于 D点，记大圆半径为 R，小圆半径为 r，则阴影部分的面积为 27.已知长方形的长为 8，宽为 4，将长方形沿一条对角线折起压平，如图 1所示则阴影三角形的面积等于_ （分数：2.00）A.8B.10 C.1

34、2D.14解析：解析 本题是几何与代数的简单综合题主要考查几何关系的判断及简单应用问题列方程的方法，牵扯到的知识点有全等三角形、勾股定理、三角形面积等 如图 2所示，在直角ABE 与直角CDE 中，因为AEB=CED，且 AB=CD，所以ABECDE所以BE=DE，AE=CE设 BE=DE=x，则 AE=CE=8-x由勾股定理得(8-x) 2 +4 2 =x 2 ，解得 x=5又因为 CD是BED 在 BE边上的高，所以 28.如图 1所示，MN 是圆 O的一条直径，ABCD 是一个正方形，BC 在 MN上，A，D 在圆 O上，如果正方形的面积等于 8，则圆 O的面积等于_ （分数：2.00）

35、A.6B.8C.10 D.12解析：解析 本题主要考查了勾股定理、圆的面积公式和圆的弦的性质 如图 2所示，连 OA，OD，设正方形的边长为 a，则 ，且 a 2 =8根据勾股定理可知 29.如图 1所示，长方形 ABCD中，AB=a，BC=b(ba)若将长方形 ABCD绕 A点顺时针旋转 90，则线段CD扫过的面积(阴影部分)等于_ 图 1A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查了面积计算中的常用方法(割补法)及圆的面积计算公式 解法 1 如图 2(a)所示，将图中左上角的曲边三角形补到右下角时，易知阴影部分的面积是两个半径分别为 与 圆的面积之差，即 图 2

36、故正确选项为 A 解法 2 所求面积为圆弧 CC“及线段 C“D“，BD“，CB 围成的面积(第一部分)减去圆弧 DD“及线段BD“，BC，CD 所围成的面积(第二部分) 如图 2(b)所示，连 AC，AC“第一部分面积为扇形 ACC“的面积加上两个直角三角形的面积因CAC“=90，故第一部分面积为 第二部分为长方形 ABCD的面积加上扇形 ADD“的面积，其面积为 所求面积为 30.在边长为 10的正方形 ABCD中，若按图 1所示嵌入 6个边长一样的小正方形，使得 P，Q，M，N 四个顶点落在大正方形的边上，则这 6个小正方形的面积之和是_ 图 1A B C D （分数：2.00）A. B

37、.C.D.解析：解析 本题考查了投影的概念及图形对称性、勾股定理和正方形的面积 作如图 2所示的辅助折线，显然所得的小直角三角形与直角DMN 及BPQ 全等设小直角三角形的两条直角边的长度分别为 a，b，则 5b=10，5a+2b=10，所以 b=2， 从而 ，所求面积之和是 31.如图 1所示，MNP 是正ABC 的内切圆中的一个内接正三角形已知阴影部分的面积为 1500cm 2 ，则正ABC 的面积等于_cm 2 （分数：2.00）A.2200B.2100C.2000 D.1900解析：解析 本题主要考查了相似三角形的相似比与面积比的关系，考查了圆的内接(外切)正三角形的重心与圆的圆心的关

38、系 如图 2所示，设ABC 与MNP 的高分别为 H，h，圆的半径为 R，则 、所以 H=2h，从而 S ABC =4S MNP 由题意，S ABC -S MNP =1500，即 ，所以 S ABC =2000 32.边长分别为 8cm和 6cm的两个正方形 ABCD与 BEFG并排放在一起，如下图所示直线 EG交 DC于P，AC 交 PG于 K，则AEK 的面积是_cm 2 （分数：2.00）A.48B.49 C.50D.51解析：解析 本题主要考查了特殊三角形的性质与三角形的面积公式 如上图所示，在AKE 中，因为KAE=KEA=45，所以AKE=90 由上图知 AE=14，所以斜边 AE

39、上的高为 7，故AKE 的面积为 33.如下图所示，已知ABC，ACD，ADE，AEF 都是等腰直角三角形，若它们的总面积是 30cm 2 ，则图中阴影部分的面积是_cm 2 （分数：2.00）A.22B.20 C.18D.16解析：解析 本题考查了勾股定理和三角形的面积公式 解法 1 设ABC，ACD，ADE，AEF 这 4个等腰直角三角形的直角边的长依次为 a，b，c，d由题意可知 且 b 2 =2a 2 ，c 2 =2b 2 ，d 2 =2c 2 解得 a=2， ，c=4， 易知图中阴影部分是一个三角形，其边 ，BF 边上的高 AD=c=4，所以该三角形的面积为 故正确选项为 B 解法

40、2 因为ABC，ACD，ADE，AEF 都是等腰直角三角形，所以BCA=DEA=45，ACD=AEF=90，故BCD=DEF=135，利用三角形面积公式可得 34.如图 1所示，两同心圆的半径分别为 6cm和 8cm，矩形 ABCD的边 AB，CD 分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，它的周长等于_cm （分数：2.00）A.38.6B.39.2 C.39.8D.40.4解析：解析 本题主要考查了三角函数的概念和常用的三角关系式，考查了平面几何图形中长方形的面积、周长的求法，是一道计算量较大的综合题 解法 1 如图 2所示，OGAD设OAG=，ODG=，则 OG=6sina=8sin，AG=

41、6cos，DG=8cos， 矩形 ABCD的面积为 S=26sin(6cos+8cos)=12(6sincos+8sincos)=12(8sincos+8sincos)=96sin(+) 所以当 时，S 最大 因为 6sin=8sin，且 sin=cos，所以 从而 所以矩形 ABCD的周长为 图 2故正确选项为 B 解法 2 本题主要考查了平面几何图形中长方形的面积、周长和勾股定理，考查了导数运算和利用导数求函数最值的方法是一道计算量较大的综合题 如图 2所示，设 AB=2x，则 所以矩形 ABCD的面积为 求导并整理，得 令 S“=0，解得 所以 是唯一驻点，也是最值点，这时 矩形 ABC

42、D的周长为 35.在圆心为 O，半径为 15的圆内有一点 P，若 OP=12，则在过 P点的弦中，长度为整数的有_（分数：2.00）A.25条B.24条 C.13条D.12条解析：解析 本题主要考查了圆的弦的性质及直角三角形的勾股定理 如图所示，过点 P且与直径垂直的弦的长度是 这也是过 P点的弦中长度最短的由于直径是过 P点的弦中最长的一条，且从 18到 30共有 13个整数，根据对称性可知在过 P点的弦中长度为整数的有 2+211=24条 36.ABC 中，AB=5，AC=3，A=x，该三角形 BC边上的中线长是 x的函数 y=f(x)，则当 x在(0，)中变化时，函数 f(x)取值的范围

43、是_（分数：3.00）A.(0，5)B.(1，4) C.(3，4)D.(2，5)解析：解析 本题主要考查了三角形中线的概念与性质，考查利用极限的思想处理问题的方法 解法 1 如图 1所示，点 D是 BC边上的中点，当 x0 + 时，CC“，DD“由于 AB=5，AC“=3，且点 D“是 BC“的中点，所以 AD“=4，即 类似地，可以说明 ，所以 BC边上的中线长 f(x)的变化范围是(1，4) 图 1故正确选项为 B 解法 2 如图 2所示，点 D是 BC边上的中点，延长 BA到 E使得 AE=AB=5，连接 CE，则 CE=2AD 在ACE 中，根据三角形边长之间的关系，得 2=AE-AC

44、CEAE+AC=8 所以 1AD4即 BC边上的中线长 f(x)的变化范围是(1，4) 37.在ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6过 C点以 C到 AB的距离为直径作一圆，该圆与 AB有公共点，且交AC于 M，交 BC于 N，则 MN等于_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查了圆周角的概念和性质，及直角三角形斜边上的高与三条边的关系处理本题的关键是能正确地画出定性图 如图所示，根据条件可知ACB 是直角三角形，由于圆周角MCN 是直角，所以 MN是直径，即 MN=CP又因为 CP是直角ABC 斜边上的高，所以 38.如图 1所示，正三角形 AB

45、C中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F，G 分别是 DE，BC 的中点已知BD=8cm，CE=6cm，则 FG=_cm 图 1A B C （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查了正三角形的概念与性质，考查了选择题的特殊值代入法及余弦定理或点的坐标与距离的关系 解法 1 取正三角形的边长为 8cm，这时 D与 A重合，点 F在边 AC上(见图 2) 图 2由题设知 CF=7cm，CG=4cm，C=60，根据余弦定理，得 GF 2 =4 2 +7 2 -247cos60 2 =37于是 故正确选项为 B 解法 2 取正三角形边长为 a(a8)cm，以 G为原点，BC 所

46、在直线为 x轴建立平面直角坐标系(见图 3)，则 ，所以 DE的中点为 ，从而 39.如图 1所示，D 为ABC 内一点，使得BAD=BCD，且BDC=90过 A，D，B 三点作圆 O，若 M为AC的中点，AB=5， ，则圆 O的半径等于_ （分数：3.00）A.2B.3 C.4D.5解析：解析 本题重点考查了圆周角的性质，考查了相似三角形的性质和勾股定理 如图 2所示，延长 CD与圆 O相交于 E，连接 BE，AE因为BDC=90，所以圆周角BDE 是直角，故 BE是圆 O的直径，AEB 是直角三角形 图 2又因为BAD 与BED 是同一段弧所对的圆周角，且BAD=BCD，所以BED=BCD即BCE 是等腰三角形所以 D是 CE的中点由题意知 M为 AC的中点，所以 因为BAE 是直角三角形，且 ，AB=5，所以 40.两张大小相同的矩形纸片，每张都画出 7个大小相同的矩形，如图所示放置，重叠的顶点记作