2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第4讲函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用讲义理（含解析）.doc

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1、1第 4 讲 函数 y Asin(x )的图象及应用1.“五点法”作函数 y Asin(x )(A0， 0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y Asin(x )在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得 y Asin(x )在 R 上的图象2函数 ysin x 的图象经变换得到 y Asin(x )(A0， 0)的图象的步骤21概念辨析(1)将函数 y3sin2 x 的图象左移 个单位长度后所得图象的解析式是 y 43s

2、in .( )(2x 4)(2)利用图象变换作图时， “先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致( )(3)将函数 y2sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得函数12y2sin 的图象( )x2(4)由图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)函数 y2sin 的振幅、频率和初相分别为( )(2x 4)A2， ， B2， ，1 4 12 4C2， ， D2， ，1 8 12 8答案 A解析 函数 y2sin 的振幅是 2，周期 T ，频率 f ，初相是(2x 4

3、) 22 1T 13，故选 A. 4(2)用五点法作函数 ysin 在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是(x 6)_、_、_、_、_.答案 ( 6， 0) (23， 1) (76， 0) (53， 1) (136 ， 0)解析 列表：五个点依次是 、 、 、 、 .( 6， 0)(23， 1)(76， 0)(53， 1) (136 ， 0)(3)将函数 f(x) cos2x 的图象向右平移 个单位长度后，再将图象上各点的纵坐12 6标伸长到原来的 2 倍，得到函数 y g(x)的图象，则 g _.(34)答案 32解析 函数 f(x) cos2x 的图象向右平移 个单位长度后得函数 y c

4、os212 6 12 cos ，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 g(x)(x 6) 12 (2x 3)cos ，所以 g cos sin .(2x 3) (34) (32 3) 3 32(4)(2018长春模拟)函数 f(x) Asin(x )(A0， 0，| |0，顺次连接函数 ysin x 与 ycos x 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则 ( )A B. C. D. 62 43 3答案 B解析 当正弦值等于余弦值时，函数值为 ，故等边三角形的高为 ，由此得到边22 2长为 2 ，边长即为函数的周期，故 ， .33 2 263 2 263 623已知函数

5、f(x)2sin x ( 0)在区间 上单调递增，求 的最大值 3， 4解 函数 f(x)2sin x ( 0)在 上单调递增，所以 2 ， 2 3， 4，所以Error! 2 ， 2 解得 00， 0)的图象常用的两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作 y Asin(x )的简图，主要是通过变量代换，设 z x ，由 z 取 0， ， ，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐 2 32标，描点后得出图象(2)图象的变换：由函数 ysin x 的图象通过变换得到 y Asin(x )的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.1.要想得到函数 ysin2 x1 的图象，只需

6、将函数 ycos2 x 的图象( )A.向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 4B.向右平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 4C.向左平移 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 2D.向右平移 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 2答案 B解析 先将函数 ycos2 x 的图象向右平移 个单位长度，得到 ysin2 x 的图象，再 4向上平移 1 个单位长度，即得 ysin2 x1 的图象，故选 B.2.(2018青岛模拟)将函数 f(x)2sin 图象上的每个点的横坐标缩短为原来(2x 3)的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 个单位得到函数 g(x)的图象，

7、在 g(x)图象12的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( )A.x B x24 48C.x D x524 12答案 A解析 当函数 f(x)2sin 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐(2x 3)标不变时，此时函数解析式可表示为 f1(x)2sin ，再将所得图象向左平移 个单(4x 3) 12位得到函数 g(x)的图象，则 g(x)可以表示为 g(x)2sin 2sin .4(x12) 3 (4x 23)则函数 g(x)的图象的对称轴可表示为 4x k， kZ，即23 2x ， kZ.则 g(x)的图象离原点最近的对称轴，即 g(x)的图象离 y 轴最近的对24 k4称轴为

8、x .24题型 由图象确定 y Asin(x )的解析式二1.已知函数 f(x) Asin(x )(A0， 0,00， 0，| |0， 0)中参数的方法(1)求 A， b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A ， b ；M m2 M m2(2)求 ：确定函数的周期 T，则可得 ；2T(3)求 ：常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A， ， b 已知)或代入图象与直线 y b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：101(2018四川绵阳诊断)如图是函数 f(x)cos( x ) 的部分

9、图象，(00， | | 2)则 f 等于_(24)答案 3解析 观察图象可知 ，所以 ， 2，所以 f(x) Atan(2x )T2 38 8 2 4又因为函数图象过点 ，所以 0 Atan ，所以(38， 0) (238 ) k( kZ)，所以 k (kZ)又因为| |0， | |0， 0)；画出一个周期上的函数图象；利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题(3)研究 y Asin(x )的性质时可将 x 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.1.设函数 f(x) (xR)，则 f(x)( )|sin(x 3)|A.在区间 上是增函数23， 7614B.在区间 上是减函数 ， 2C.

10、在区间 上是增函数 3， 4D.在区间 上是减函数 3， 56答案 A解析 函数 f(x) (xR)的图象如图所示，由图象可知函数 f(x)|sin(x 3)|(xR)在区间 上是增函数故选 A.|sin(x 3)| 23， 762.一个大风车的半径为 8 m,12 min 旋转一周，它的最低点 P0离地面 2 m，风车翼片的一个端点 P 从 P0开始按逆时针方向旋转，则点 P 离地面距离 h(m)与时间 t(min)之间的函数关系式是( )A h(t)8sin t10 6B.h(t)cos t10 6C.h(t)8sin t8 6D.h(t)8cos t10 6答案 D解析 设 h(t) Acos t B，因为 12 min 旋转一周，所以 12，所以 ，2 6由于最大值与最小值分别为 18,2.15所以Error! 解得 A8， B10.所以 h(t)8cos t10. 63.若函数 f(x)sin ( 0)满足 f(0) f ，且函数在 上有且只有( x 6) ( 3) 0， 2一个零点，则 f(x)的最小正周期为( )A. B C. D2 2 32答案 B解析 依题意，函数 f(x)图象的一条对称轴为 x ，又因为函数 f(x)在0 32 6上有且只有一个零点，所以 0 ，所以 T .根据选项可得，0， 2 6 T4 2 6 23 43f(x)的最小正周期为 .