2019年春七年级数学下册第五章生活中的轴对称3简单的轴对称图形同步课件（新版）北师大版.pptx

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1、,知识点一 等腰三角形,1.等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的 两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的 角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.如图5-3-1.,图5-3-1,2.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称 “三线合一”),其所在的直线是等腰三角形的对称轴. (3)等腰三角形是以顶角的平分线(底边上的中线、底边上的高)所在直 线为对称轴的轴对称图形,通常只有一条对称轴. 注意:(1)“等边对等角”是在同一个三角形中,否则,不能使用该性质. (2)等腰三角形“

2、三线合一”的应用非常广泛,它可以用来得到角相 等、线段相等、垂直关系等. (3)等腰三角形的对称轴是直线.,3.等边三角形 (1)等边三角形的概念:三边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三 角形. (2)等边三角形的性质: 等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴. 等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于60.,例1 如图5-3-2所示,在ABC中,AB=AC,AD平分BAC. (1)求ADB的度数; (2)若BAC=100,求B,C的度数; (3)若BC=3 cm,求BD的长.图5-3-2,解析 (1)因为AB=AC,AD平分BAC, 所以ADBC, 所以ADB=90. (2)因为B

3、AC=100, 所以B+C=80. 因为AB=AC, 所以C=B=40. (3)因为AB=AC,AD平分BAC, 所以BD= BC= 3=1.5(cm).,知识点二 线段的垂直平分线,例2 (2017安徽阜阳十九中期中)如图5-3-3,在ABC中,AB=AC=20 cm, DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于点D,若DBC的周长为35 cm,则BC的 长为 ( )图5-3-3 A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.17.5 cm,解析 DE垂直平分AB,AD=BD.AC=20 cm,AD+CD=20 cm,BD+CD=20 cm.DBC的周长为35 cm,BD+CD+BC=35 c

4、m.BC=15 cm.,答案 C,知识点三 角平分线 1.角的对称性:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是角的对称轴. 2.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用格式:如图5-3-4. OP平分AOB,PDOA,PEOB, PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等).,图5-3-4,例3 如图5-3-5,已知ABC,求作一点P,使P到BAC的两边的距离相 等,且PA=PB,下列确定P点的方法正确的是 ( )图5-3-5 A.P是BAC与ABC两角平分线的交点 B.P为BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点 C.P为AC、AB两边上的高的交点 D.P为AC、AB两边的

5、垂直平分线的交点,解析 由P到BAC的两边的距离相等,知P在BAC的平分线上,由PA =PB确定点P在AB的垂直平分线上.故选B.,答案 B,题型 综合运用尺规作角的平分线和线段的垂直平分线 例 如图5-3-6所示,在公园草地上准备修建一个凉亭,要求凉亭与花坛 M,N之间的距离相等,并且与两条小径AB,CD的距离也相等,请你来确定 凉亭的位置.图5-3-6,分析 凉亭到M,N的距离相等,则应在线段MN的垂直平分线上,到AB,CD的距离也相等,则应在AB,CD所成角的平分线上,两者的交点即为所求.,解析 延长BA,DC交于点O,作BOD的平分线OQ.连接MN,作MN的垂 直平分线交OQ于点P.如

6、图5-3-7所示,点P即为所求.图5-3-7,点拨 正确运用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关 键.,易错点 对“三线合一”的性质理解有误而出错 例 如图5-3-8所示,在等腰ABC中,AB=AC,A=40,BDAC于点D, 则CBD= .图5-3-8,错解 35,错因分析 本题错解的原因是认为等腰三角形底角的平分线、腰上的 中线、腰上的高相互重合.等腰三角形的“三线合一”指的是顶角平分 线、底边上的中线、底边上的高相互重合.,正解 20,知识点一 等腰三角形 1.(2017山东烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图5-3-1所示,已知ABCD,AE与AB的夹角为48,若CF与EF

7、的长度相等,则C的度数为 ( ),图5-3-1 A.48 B.40 C.30 D.24,答案 D ABCD,DFE=BAF=48. CF=EF,C=E. C+E=DFE=48,C=24.,2.(2017浙江台州中考)如图5-3-2,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是 ( )图5-3-2 A.AE=EC B.AE=BE C.EBC=BAC D.EBC=ABE,答案 C AB=AC,ABC=ACB,由题意可知BC=BE,ACB= BEC,BAC=EBC,故选C.,3.(2017浙江丽水中考)等腰三角形的一个内角为100,则顶角

8、的度数是 .,答案 100,解析 10090, 100的角是顶角, 故答案为100.,4.(2017江西中考)如图5-3-3(1)是一把园林剪刀,把它抽象为图5-3-3(2), 其中OA=OB,若剪刀张开的角为30,则A= 度.图5-3-3,答案 75,解析 由对顶角相等可得AOB=30,OA=OB,A= =75.,5.如图5-3-4,在等边三角形ABC中,BE和CD分别是AC、AB边上的高,求 BFC的度数.图5-3-4,解析 ABC是等边三角形,BE、CD分别是AC、AB边上的高, FBC=FCB= 60=30, BFC=180-30-30=120.,知识点二 线段的垂直平分线 6.(20

9、17湖北荆州中考)如图5-3-5,在ABC中,AB=AC,A=30,AB的垂直平分线l交AC于点D,则CBD的度数为 ( )图5-3-5 A.30 B.45 C.50 D.75,答案 B AB=AC,A=30, ABC=ACB=75, AB的垂直平分线交AC于D, AD=BD,A=ABD=30, BDC=60,CBD=180-75-60=45. 故选B.,7.(2017广东深圳中考)如图5-3-6,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于 AB为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点C,使得CAB =25,延长AC至M,则BCM的度数为( )图5-3-6 A.40 B.50 C.60

10、 D.70,答案 B 由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线,C在l上,AC= BC,B=CAB=25,BCM=50,故选B.,8.(2017江苏常州中考)如图5-3-7,已知在ABC中,DE是BC的垂直平分 线,垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则ABD的周长是 .图5-3-7,答案 15,解析 DE是BC的垂直平分线,DB=DC, ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=15, 故答案为15.,知识点三 角平分线 9.(2017山东枣庄中考)如图5-3-8,在RtABC中,C=90,以顶点A为圆 心,适当长度为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以

11、点M,N为圆心, 大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD =4,AB=15,则ABD的面积是 ( )图5-3-8 A.15 B.30 C.45 D.60,答案 B 由题意得AP是BAC的平分线,如图,过点D作DEAB于E, C=90,DE=CD=4,ABD的面积= ABDE= 154=30.,10.(2017浙江台州中考)如图5-3-9,点P是AOB的平分线OC上一点,PD OB,垂足为D.若PD=2,则P到边OA的距离是 ( )图5-3-9 A.1 B.2 C. D.4,答案 B 如图,过点P作PHOA,垂足为H,点P是AOB的平分线 OC上一点,PDOB,

12、PHOA,PH=PD=2.,1.(2015江苏苏州中考)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BAD= 35,则C的度数为 ( )A.35 B.45 C.55 D.60,答案 C AB=AC,D为BC的中点,CAD=BAD=35,ADDC, 在ADC中,C=90-DAC=55,故选C.,2.如图所示,在ABC中,AB=AC,A=50,AB的垂直平分线交AB于D,交 AC于E,连接BE,则EBC的度数是 ( )A.15 B.20 C.65 D.100,答案 A AB=AC,A=50,ABC= =65, DE为AB的垂直平分线, AE=BE,A=ABE=50, EBC=ABC-ABE=65

13、-50=15.故选A.,3.(2015浙江湖州中考)如图,已知在ABC中, CD是AB边上的高线,BE平分ABC,交CD于 点E,BC=5,DE=2,则BCE的面积等于 ( ) A.10 B.7 C.5 D.4,答案 C 过点E作EKBC于点K,则EKB=90,因为BE平分ABC, CDAB,所以EK=ED=2,所以BCE的面积= BCEK= 52=5,故选C.,4.如图,ABC是等边三角形,AD是ABC的角平分线,ADE是等边三 角形.下列结论:ADBC;EF=FD;BE=BD,其中正确的有 (填序号).,答案 ,解析 因为ABC是等边三角形,AD是其角平分线,所以ADBC, CAD=BAD

14、=30.因为ADE是等边三角形,所以DAE=60,所以 EAF=DAF=30,所以EF=FD,ABDE,所以BE=BD.,5.(2015江苏宿迁中考)如图,已知AB=AC=AD,且ADBC,试说明:C=2D.,解析 AB=AC=AD,C=ABC,D=ABD, ABC=CBD+D, ADBC,CBD=D,ABC=D+D=2D, 又C=ABC,C=2D.,1.(2017内蒙古包头中考)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为 2 cm,则该等腰三角形的底边长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm,答案 A 当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=46,即两

15、边之和小 于第三边,不合题意;当底边长为2 cm时,腰长为4 cm,符合题意,故选A.,2.(2017贵州黔西南州中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6, 则该等腰三角形的周长是 .,答案 15,解析 当腰为3时,3+3=6,3、3、6不能组成三角形; 当腰为6时,3+6=96,3、6、6能组成三角形, 该三角形的周长为3+6+6=15.,3.(2017湖南湘潭中考)如图5-3-10,在RtABC中,C=90,BD平分 ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足为E点,请任意写出一组相等的线 段 .图5-3-10,答案 BC=BE(或DC=DE或BE=AE),解析 已知C=90,BD平分

16、ABC,DE垂直平分AB,显然BE=AE;利用 角平分线性质定理可知DC=DE;根据已知条件易得BCDBED,根 据全等三角形的性质可得BC=BE.,4.(2017湖南益阳中考)如图5-3-11,在ABC中,AB=AC,BAC=36,DE 是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a、b的代数式表示 ABC的周长为 . 图5-3-11,答案 2a+3b,解析 AB=AC,BE=a,AE=b,AC=AB=a+b, DE是线段AC的垂直平分线,AE=CE=b, ECA=BAC=36,AB=AC, ABC=ACB=72,BCE=ACB-ECA=36, BEC=180-ABC-ECB=72,

17、BEC=ABC, CE=BC=b,ABC的周长为AB+AC+BC=2a+3b.,5.如图5-3-12,已知ABC是等边三角形,且1=2=3. (1)求BEC的度数; (2)DEF是等边三角形吗?请简要说明理由.图5-3-12,解析 (1)ABC为等边三角形,BCA=60. DEF=BCE+2,2=3, DEF=BCE+3=BCA=60. BEC=180-DEF=180-60=120. (2)DEF是等边三角形. 理由:与(1)同理可知EDF=60,DFE=60, DEF=DFE=EDF=60, DEF为等边三角形.,1.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也

18、是图中的格点,且使得ABC为等腰三角形,则点C共有 ( )A.6个 B.7个 C.8个 D.9个,答案 C 若ABC为等腰三角形,则AC=BC或AC=AB或BC=AB.当AC= BC时,点C在线段AB的垂直平分线上,可以找到4个符合题意的点.当AC =AB时,可以找到2个符合题意的点.当BC=AB时,也可找到2个符合题意 的点.故符合题意的点C共有8个.,2.等边三角形中,两条中线相交所成的钝角的度数为 ( ) A.120 B.130 C.150 D.160,答案 A 如图,ABC为等边三角形,AD、BE都是中线,AD、BE都是 ABC的角平分线,1=2=30,AFB=180-1-2=120.

19、故选A.,3.(2015浙江义乌中考)由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太 方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后 松开即可.如图,衣架杆OA=OB=18 cm,衣架收拢时,AOB=60,如图 ,则此时A,B两点之间的距离是 cm.,答案 18,解析 OA=OB,衣架收拢时,AOB=60,连接AB,则AOB是等边三 角形,AB=OA=OB=18 cm.,4.如图,已知点P为MON内一点,点P与点A关于直线ON对称,点P与点B 关于直线OM对称.若AB的长为15 cm,求PCD的周长.,解析 点P与点A关于直线ON对称,点P与点B关于直线OM对称,DA =DP,C

20、P=CB. PCD的周长=DP+CP+DC=DA+DC+CB=AB=15 cm.,一、选择题 1.(2017北京昌平临川育人学校第二次月考,10,)下列说法中正确 的是 ( ) 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等; 角是轴对称图形; 线段不是轴对称图形; 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. A. B. C. D.,答案 C,二、填空题 2.(2018山东德州期末,18,)已知ABC中,AB=AC,AB的垂直平分 线交AB于点D,交直线AC于点E,若EBC=42,则BAC的度数为 .,答案 32或152或88,解析 如图1,ABC是等腰三角形,AB=AC,ABC=ACB,A

21、BC +ACB+BAC=180, DE垂直且平分AB,EA=EB,ABE=BAC, EBC+ACB=AEB, 42+ (180-BAC)=180-2BAC,解得BAC=32. 如图2,同理可得,BAC=152,如图3,同理可得,BAC=88.综上所述, BAC=32或152或88.,3.(2017内蒙古乌加河学校期末,13,)已知等腰三角形的两边长分 别是4 cm和5 cm,则它的周长是 ;若等腰三角形的两边长分别 是4 cm和9 cm,则它的周长是 .,答案 13或14 cm;22 cm,解析 三角形的三边长分别为4 cm,4 cm,5 cm或4 cm,5 cm,5 cm,故周长 为4+4+

22、5=13 cm或4+5+5=14 cm;因为4+49,所以三角形的三边长不能 为4 cm,4 cm,9 cm,只能为4 cm,9 cm,9 cm,故周长为9+9+4=22 cm.,三、解答题 4.(2018广东云浮云城期末,19,)如图5-3-13,在ABC中,DE是AC 的垂直平分线,AE=5 cm,ABD的周长为17 cm,求ABC的周长.图5-3-13,解析 DE垂直平分AC, AE=EC=5 cm,AD=DC, AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=17 cm, AB+BC+AC=17+10=27 cm. 即ABC的周长为27 cm.,1.(2018江苏泰州靖江期中,8,)如

23、图,在ABC中,AB=AC,BAC= 108,ADB=72,DE平分ADB,则图中等腰三角形的个数是 ( )A.3 B.4 C.5 D.6,答案 C AB=AC,ABC是等腰三角形. 又BAC=108,C=B= =36, BAD=180-B-ADB=180-36-72=72=ADB,AB=BD, ADB是等腰三角形. DAC=BAC-BAD=108-72=36=C, CD=AD,ACD是等腰三角形. DE平分ADB,BDE=ADE=36=B, BE=ED,EBD是等腰三角形. AED=180-72-36=72=EAD,ED=AD, AED是等腰三角形.共有5个等腰三角形.故选C.,2.(201

24、6北京昌平期末,6,)如图,DE是ABC中AC边的垂直平分 线,若BC=8,AB=10,则EBC的周长是 ( )A.13 B.16 C.18 D.20,答案 C DE垂直平分AC,AE=CE,CE+BE=AE+BE=AB=10, 又BC=8, EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=8+10=18.,3.(2018广东蓬江期末,20,)如图,在ABC中,BAC=90,BE平分 ABC,AMBC于点M,AD平分MAC,交BC于点D,交BE于点F,AM交 BE于点G. (1)试说明:BAM=C; (2)判断直线BE与线段AD之间的关系,并说明理由.,解析 (1)AMBC,ABC+BAM=90,

25、 BAC=90,ABC+C=90,BAM=C. (2)BE垂直平分AD.理由:如图,AD平分MAC,1=2,BAD= BAM+1,ADB=C+2,BAM=C,BAD=ADB,AB= BD,BAD是等腰三角形,又BE平分ABC,BE垂直平分AD.,4.(2016湖北黄冈五校期中联考,21,)如图,已知点B、C、D在同一 条直线上,ABC和CDE都是等边三角形,BE交AC于F,AD交CE于H. (1)试说明:BCEACD; (2)试说明:FHBD.,解析 (1)ABC和CDE都是等边三角形, BC=AC,CE=CD,BCA=ECD=60, BCA+ACE=ECD+ACE,即BCE=ACD. 在BC

26、E和ACD中, BCEACD(SAS). (2)由(1)知BCEACD,则CBF=CAH, ABC和CDE都是等边三角形,且点B、C、D在同一条直线上, ACH=180-ACB-ECD=60,ACH=BCF, 在BCF和ACH中, BCFACH(ASA),CF=CH, 又FCH=60,CHF为等边三角形, FHC=HCD=60,FHBD.,一、选择题 1.(2018湖北黄冈中考,4,)如图5-3-14,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60,C=25,则BAD为 ( )图5-3-14 A.50 B.70 C.75 D.80,答案 B 因为直线DE是AC的

27、垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC= C=25,所以ADC=180-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD, 所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,2.(2018江苏扬州中考,7,)如图5-3-15,在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,CE平分ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是 ( )图5-3-15 A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC,答案 C ACB=90,CDAB, ACD+BCD=90,ACD+A=90, BCD=A. CE平分ACD,ACE=DCE. 又BEC=A+ACE,BCE=BCD+DCE, BEC=BCE,B

28、C=BE.故选C.,二、填空题 3.(2018湖南湘潭中考,12,)如图5-3-16,在等边三角形ABC中,点D 是边BC的中点,则BAD= .图5-3-16,答案 30,解析 ABC是等边三角形, BAC=60,AB=AC. 又点D是边BC的中点, BAD= BAC=30.,三、解答题 4.(2016江苏常州中考,23,)如图5-3-17,已知ABC中,AB=AC, BD、CE是高,BD与CE相交于点O. (1)试说明:OB=OC; (2)若ABC=50,求BOC的度数.图5-3-17,解析 (1)AB=AC, ABC=ACB,即EBC=DCB. BD、CE是ABC的两条高, BEC=BDC

29、=90. 在BEC和CDB中,BECCDB, ECB=DBC, OB=OC. (2)ABC=50,AB=AC,A=180-250=80, 又ADB=90,ABD=10, DBC=ABC-ABD=50-10=40. BOC=180-240=100.,(2017山东滨州中考,8,)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC上一点, 且DA=DC,BD=BA,则B的大小为 ( )A.40 B.36 C.80 D.25,答案 B 设C=x,由DA=DC可得DAC=C=x, 所以ADB=C+DAC=2x, 因为BD=BA,所以BAD=ADB=2x, 由AB=AC可得B=C=x, 根据三角形内角和定理,得x+

30、x+3x=180,解得x=36. 所以B=36.,1.如图5-3-18,在一张长为8 cm,宽为6 cm的长方形纸片上,要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点A重合,其余的两个顶点都在长方形的边上).这个等腰三角形的剪法有 ( )图5-3-18 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种,答案 C 当等腰三角形中以A为顶点的角为顶角时,如图1,此时AE= AF=5 cm.图1 当等腰三角形中以A为顶点的角为底角时,有两种情况:如图2,图3.,故选C.,2.(2017天津中考)如图5-3-19,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的两条中 线,P是AD上

31、的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是 ( )图5-3-19 A.BC B.CE C.AD D.AC,答案 B 如图,连接PC,AB=AC,BD=CD,ADBC, PB=PC,PB+PE=PC+PE,PE+PCCE,当P、C、E三点共线时, PB+PE的值最小,最小值为CE,故选B.,(2017黑龙江哈尔滨中考,24改编,)已知:ACB和DCE都是等 腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于 点M,BD与AC交于点N. (1)如图,试说明:AE=BD; (2)如图,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中 至少三对全等的直角三角形.

32、,解析 (1)ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90, AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE, 在ACE与BCD中,ACEBCD(SAS), AE=BD. (2)AC=DC, AC=CD=EC=CB, 又ACB=DCE=90, ACBDCE(SAS); 由(1)可知AEC=BDC,EAC=DBC, ODM+EDM+DEO=AEC+EDM+DEO=90, DOM=90,易知AEC=CAE=CBD, 又EC=BC,ECM=BCN=90, EMCBNC(ASA), CM=CN, DM=AN, 又DOM=AON=90,ODM=OAN, DOMAON(AAS).,