2018_2019学年高中数学第三章不等式专题3.1不等关系与不等式试题新人教A版必修5.doc

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1、13.1 不等关系与不等式1不等关系不等关系主要有以下几种类型：（1）表示常量与常量之间的不等关系；（2）表示变量与常量之间的不等关系；（3）表示函数与函数之间的不等关系；（4）表示一组变量之间的不等关系2不等式的定义用不等号 表示不等关系的式子叫_，如 ，等用“ ”或“ ”连接的不等式叫严格不等式，用“ ”或“ ”连接的不等式叫非严格不等式3不等式的分类绝对不等式 无论用什么实数代替不等式中的字母都成立，如条件不等式 只有用某些实数代替不等式中的字母才能成立，如按成立条件分矛盾不等式 无论用什么实数代替不等式中的字母都不能成立，如同向不等式在两个不等式中，每一个不等式的左边都大于右边，或每一

2、个不等式的左边都小于右边，如 与按不等号开口方向分 异向不等式在两个不等式中，一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，如 与4 a b 和 a b 的含义不等式 等价于 读法 含义a b a 不大于b a 小于或等于 b a b 和 a b 中有一个成立即可a b a 不小于 a 大于或等于 b a b 和 a b 中有一个成立即可2b 5实数大小比较的依据实数的特征：（1）任意实数的平方不小于 0；（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数在数轴上，不同的点 A 与点 B 分别表示两个不同的实数 a 与 b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，则点

3、A， B 在数轴上的表示如图所示：由图可以看出 a， b 之间具有以下性质：如果 a b 是正数，那么 a b；如果 a b 等于零，那么 a b；如果 a b 是负数，那么 a b反过来也对这可以表示为a b0 _； a b0 _； a b0 _注：“ ”的左边反映的是实数运算性质，右边反映的则是实数 a， b 的大小关系，合起来就是实数的大小与实数运算之间的关系6不等式的性质性质性质 1 （对称性）如果 a b，那么 b a；如果 b a，那么 a b即 a b b a性质 2（传递性）如果 a b， b c，那么 a c即 a b， b c a c如果 c b， b a，那么 c a即

4、c b， b a c a（可加性）如果 a b，那么 a c b c即 a b a c b c性质 3 （推论：移项法则）如果 a b c，那么 a c b即 a b c a c b性质 4（可乘性）如果 a b， c0，那么 ac bc；如果 a b， c0，那么ac bc性质 5 （同向可加性）如果 a b， c d，那么 a c b d性质 6 （同向同正可乘性）如果 a b0， c d0，那么 ac_性质 7 （可乘方性）如果 ，那么_（ n N， n 1）性质 8 （可开方性）如果 ，那么_（ n N， n 2）K 知识参考答案：2不等式 5 a b a b a b 6 bd 3K重

5、点 用不等式（组）表示不等关系、比较两个代数式的大小、不等式的性质K难点 不等式性质的应用（判断命题的真假、证明不等式、求代数式的取值范围）K易错 忽略不等式性质成立的条件、对不等式的性质理解不够深刻用不等式（组）表示不等关系（1）常见的文字语言与数学符号之间的对应关系如下：文字语言 大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不小于 不大于数学符号（2）用不等式（组）表示不等关系的解题思路：先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、变量与常量、还是函数与函数之间的不等关系；然后类比等式的建立找到不等关系，选准不等号，将量与量之间用不等号连接某铁矿车队有 5 辆载重为 10 t 的 A 型卡车

6、和 8 辆载重为 6 t 的 B 型卡车，且有 11 名驾驶员，此车队每天至少要运 450 t 矿石至冶炼厂已知 A 型卡车每辆每天可往返 6 次， B 型卡车每辆每天可往返 9 次假设每天派出 A 型卡车 x 辆， B 型卡车 y 辆，试写出满足上述所有不等关系的不等式组【答案】见解析【解析】由题意，可得 ，即 【名师点睛】不等式是不等关系的符号表示，在用不等式表示不等关系时，应特别注意能否取等号，像本题中“至少”包含相等的情况，应该取等号将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系，同时要保证不

7、重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围从下列实际问题中提炼出相应的不等式：（1）向一杯糖水里加点糖，糖水变甜；（2）把 A 糖水（淡）与 B 糖水（浓）混合到一起，得到的 C 糖水一定比淡的浓、比浓的4淡【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）设糖水 b 克，含糖 a 克，易知浓度为 ，加入 m 克糖后的浓度为 提炼出的不等式：若 b a0， m0，则 （2）设淡糖水 克，含糖 克，易知浓度为 ；浓糖水 克，含糖 克，易知浓度为；则混合后的浓度为 提炼出的不等式：若 0， 0，且 ，则 【名师点睛】用不等式解决实际问题使实际问题数学化，即数学建模，关键是抓住生活中的问题与数学中关

8、系式的特征间的关系不等式性质的简单应用等式的性质与不等式的性质的对比如下：等式的性质 不等式的性质a b b a a b b aa b， b c a c a b， b c a ca b a c b c a b a c b ca b ac bc a b， c0 ac bc； a b， c0 ac bca b， c d a c b d a b， c d a c b da b0， c d0 ac bd a b0， c d0 ac bd（ n N， n 1） （ n N， n 1）（ n N， n 2 （ n N， n 2）5）已知 满足 且 ，下列选项中不一定成立的是A BC D【答案】C【解析】因

9、为 ，所以 对于 A，因为 ，所以 ； 对于 B，因为 ，所以 ，又 ，所以 ；对于 D，因为 ，所以 ，又 ，所以 ；对于 C，因为 且 ，所以 或 ，因此 与 的大小不能确定，即 不一定成立故选 C若 为实数，则下列命题正确的是_（填序号）若 ，则 ； 若 ，则 ；若 ，则 ； 若 ，则 ；若 ，则 ； 若 ，则 ；若 ，则 ； 若 ，则 ；若 ，则 【答案】6对于，因为 ，两边同时乘以 可得 ，两边同时乘以 可得 ，所以 ，命题正确；对于，因为 ，所以 ，所以 ，命题不正确；对于，因为 ，由性质 3 可得 ，命题正确；对于，若 ，则 不成立，命题不正确；对于，若 ，则 不成立，命题不正确

10、故填【名师点睛】（1）理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对理解不等式性质的指导性（2）理解不等式的性质成立的条件以及是否具有可逆性是掌握性质的关键例如，性质 6不但要求两个不等式同向，而且要求 a， b， c， d 均大于 0，否则结论不一定成立；性质 7若忽略 n N， n1，就有可能得出错误的结论同时应注意：除了性质 1 和性质 3，其他性质都不可逆利用不等式的性质求代数式的取值范围利用不等式的性质求代数式的取值范围的一般思路：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意

11、拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解已知2 a b5，1 a b4，则 5a b 的取值范围为_7【答案】方法 2：令 a b m， a b n，则由 ，解得 ，故 5a b ，由2 m 5，1 n 4，可得72 m3 n22，所以75 a b22已知1 a2，3 b5，求| a|， a b， a b，3 a2 b 的取值范围【答案】见解析【解析】因为1 a2，所以 0| a|2；因为 3 b5，所以 2 a b7；因为1 a2，5 b3，所以相加得6 a b1；因为33 a6，102 b6，所以相加得133 a2 b0【名师点睛】同向不等式中只有一个带等号，那么等号是传递不过去的例

12、如，若 a b且 b c，则 a c；若 a b 且 b c，则 a c如果两个不等式都带有等号，则有：若a b 且 b c，则 a c，其中 a c 时必须 a b 且 b c，否则 a c 是不成立的，同向不等式相加也是这样比较大小（1）作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论作商法的步骤：作商、变形、判断商与 1 的大小、得出结论（2）介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性若 a b， b c，则 a c；若 a b， b c，那么 a c8其中 b 是介于 a 与 c 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放

13、缩，找出一个比较合适的中介值注意：采用作差法时只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么并不重要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式乘积的形式；作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反（1）已知 a0， b0，试比较 与 的大小；（2）已知 a0， b0，试比较 与 的大小；（3）已知 5 a6，试比较 a225 与 ln(a5)的大小【答案】（1） ；（2） ；（3） a225ln( a5)（2）方法 1：作差法，因为 ， ， ，所以 ，当且仅当 a b 时等号成立，所以 (当且仅当 a b 时取等号)方法 2：作商法9，当且仅当 a b 时等号成立，所以 (当且仅当 a b 时取等号)

14、【名师点睛】比较大小时应注意：（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）指数形态的比较大小问题一般采用作商法转化为同底指数幂，利用指数函数的单调性来处理证明不等式利 用 性 质 证 明 不 等 式 ， 本 质 上 还 是 比 较 大 小 ， 所 不 同 的 是 比 较 大 小 的 目 标 不 明 确 ， 而 证明 不 等 式 的 目 标 明 确 （1）已知 a b， m n， c0，证明： ac mc bc nc( b n c)2

15、；（2）已知 x1， y1，证明： 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为 a b， m n，所以 a m b n，又 c0，所以( a m)c( b n)c，即 ac mc bc nc0又( b n c)20，所以 ac mc bc nc( b n c)2（2）采用作差法证明10，因为 x1， y1，所以 x 10， y 10， xy1，所以 0，故 0，所以 【名师点睛】简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形进行证明；对于比较复杂的不等式的证明，直接利用不等式的性质不易进行证明，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式（式子

16、）的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明忽略不等式性质成立的条件、对不等式的性质理解不够深刻已知 6 a16，3 b4， c1，求 及 的取值范围【错解】因为 6 a16，3 b4，所以 ，即 ，由 3 b4， c1 可得 【错因分析】错解中使用了同向不等式相除，而不等式没有这样的性质，从而导致错误【名师点睛】要求代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除解题时必须准确利用性质，做到步步有依据，从而避免改变代数式的取值范围而出错同时应注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”11，但“乘负反序”“同号取倒反序”等1如果 ，那么下列各式一

17、定成立的是A BC D2已知 ， ，那么一定正确的是A BC D3已知 ，则不等式 ， ， 中不成立的个数为A0 B1C2 D34设 ， ， ，则 的大小关系为A BC D5已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是A BC D6设 ，则有12A BC D7若 d0， d1， m， n N*，则 与 的大小关系是A B C D不能确定8已知 ，则 的大小关系是A BC D无法确定9设 ， ，则 的大小关系为_10 ， ， 三个数中最大的数是_11若 则 的取值范围为_12已知： ， ，求证： 1313已知 ， ， ，试比较 与 的大小1414 比较下列两组数的大小（1） 与 ；（2）当 时，

18、与 15下列结论正确的是A若 ，则 B若 ，则C若 ，则 D若 ，则16 若 ，则下列各式正确的是A BC D17如果 ，那么下列不等式中正确的是A BC D1518设 ，若 ，则下列不等式中正确的是A BC D19已知 ，则下列推证中错误的是A BC D20若 ，则 、 、 的大小顺序是_21设 ， ，给出下列三个结论： ； ；其中所有正确结论的个数为_22已知三个不等式： ab0， ， bc ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成_个正确命题23设 ，比较 与 的大小1624 （1）已知 ， ，且 ，试比较 与 的大小；（2）已知 ，试比较 a4 b4与 4a3(a b)的

19、大小25 （2018 新课标全国理）设 ， ，则A BC D26 （2014 四川文）若 ， ，则一定有A BC D27 （2016 浙江）已知实数 a， b， c，A若| a2 b c| a b2 c|1，则 a2 b2 c2100B若| a2 b c| a2 bc|1，则 a2 b2 c2100C若| a b c2| a bc2|1，则 a2 b2 c2100D若| a2 b c| a b2c|1，则 a2 b2 c21001728 （2017 新课标全国理）设 x、 y、 z 为正数，且 ，则A2 x3y5z B5 z2x3yC3 y5z2x D3 y2x5z181 【答案】C【解析】A

20、 中应为 ，B 中当 时不成立，D 应为 ，故选 C2 【答案】D【解析】由同向不等式的加法性质可知由 ， ，可得故选 D4 【答案】D【解析】由题可得故选 D5 【答案】B【解析】因为 ，所以可令 ，可排除 A、C、D，故选 B6 【答案】B【解析】因为恒成立，所以 故选 B7 【答案】A【解析】 ( )(1 ) ( 1)(1 )(1 )，因为 m， n N*，1 与 1 同号，所以(1 )(1 )0，故选 A8 【答案】A19【解析】由已知可令 ， ，则 ，由于 ，所以注：特殊值法是解决此类问题的常用方法，适当运用可达到事半功倍的效果9 【答案】【解析】 ， 10 【答案】【解析】 ，所以

21、最大的数为 11 【答案】【解析】 利用同向不等式可以相加，得到 的取值范围为 13 【答案】见解析【解析】 ，当 时， ，所以 ；当 时， ，所以 ；当 时， ，所以 14 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 （1），20， （2） ，又 ， 15 【答案】D【解析】选项 A 中，当 时不符，所以 A 错误；选项 B 中，当 时，符合 ，不满足 ，B 错误；选项 C 中， ，所以 C 错误；选项 D 中，因为 ，由不等式的平方法则， ，即 故选 D16 【答案】A17 【答案】A【解析】因为 所以 所以 在 上单调递减，所以 是正确的，故选 A（注：本题也可以用特殊值法，如：令 来解决故选

22、 A ）18 【答案】D【解析】由 得 ， 故选 D19 【答案】D21【解析】对于 A： ，则 ，正确；对于 B： ，当 时，有 ，正确；对于 C： ， ，不等式两边同乘以 的倒数，得到 ，即，正确；对于 D： ， ，不等式两边同乘以 的倒数，得到 ，不一定有 ，错误故选 D20 【答案】【解析】 ， ，因为 ，所以 ，故21 【答案】2【解析】 ， ， ，故 ，正确； ， 在 上是减函数，而 ，所以 ，错误；当 时，有 ，正确故所有正确结论的个数为 222 【答案】32223 【答案】 【解析】由，又 ， 24 【答案】 （1） ；（2） a4 b44 a3(a b)【解析】 （1） ，因

23、为 ， ，且 ，所以 ， ，所以 ，即 （2） a4 b44 a3(a b)( a b)(a b)(a2 b2)4 a3(a b)( a b)(a3 a2b ab2 b34 a3)( a b)( a2b a3)( ab2 a3)( b3 a3)( a b)2(3a22 ab b2)( a b)22 a2( a b)2 ，因为 2a2( a b)20(当且仅当 a b0 时取等号)，且 a b，所以( a b)20，2 a2( a b)20，所以( a b)22 a2( a b)20，故 a4 b44 a3(a b)2326 【答案】B【解析】 ，又故选 B27 【答案】D 【解析】举反例进行排除对于 A，令 a b10， c110，可排除 A；对于 B，令 a10， b100， c0，可排除 B；对于 C，令 a100， b100， c0，可排除 C故选 D28 【答案】D【解析】令 ，则 ， ， ， ，则 ， ，则 ，故选 D【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的 ，通过作差或作商进行比较大小对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及 0 与 1 的对数表示