[专升本类试卷]专升本（高等数学一）模拟试卷53及答案与解析.doc

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1、专升本（高等数学一）模拟试卷 53 及答案与解析一、选择题1 下列命题中正确的有( )（A）若 x0 为 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=0（B）若 f(x0)=0，则 x0 必为 f(x)的极值点（C）若 x0 为 f(x)的极值点，可能 f(x0)不存在（D）若 f(x)在(a，b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值2 当 x0 时， 与 1-cosx 比较，可得( )（A） 是较 1-cosx 高阶的无穷小量（B） 是较 1-cosx 低阶的无穷小量（C） 与 1-cosx 是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量（D） 与 1-cosx 是等价无穷小量3 设有直线 ，则

2、该直线( )（A）过原点且垂直于 x 轴（B）过原点且垂直于 y 轴（C）过原点且垂直于 x 轴（D）不过原点也不垂直于坐标轴4 设函数 f(x)=sinx，则不定积分 f(x)dx=( )（A）sinx+C（B） cosx+C（C） -sinx+C（D）-cosx+C5 若 收敛，则下面命题正确的是( )6 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a 的值为( )（A）-2（B） 2（C）（D）7 设 f(x)在a，b上连续，(a，b) 内可导，则( )（A）至少存在一点 (a，b)，使 f()=0（B）当 (a，b)时，必有 f()=0（C）至少存在一点 (a，b)，使得 f()=（D

3、）当 (a，b) 时，必有 f()=8 交换二次积分次序： 01dx0xf(x，y)dy=( )（A） 0xdx01f(x，y)dy（B） 01dy0xf(x，y)dx（C） 01dyy1f(x，y)dx（D） 01f(x，y)dy 0xdx9 设 F(x)是 f(x)在a，b上的一个原函数，则 f(x)在 a，b上的不定积分为( )（A）F(x)+（B） F(x)+|C|（C） F(x)+sinC（D）F(x)+lnC(C0)10 极限 =( )（A）-1（B） 0（C） 1（D）2二、填空题11 =_。12 设 f(x)= =_。13 设 y= ，则 y=_。14 -11xcosx2dx=

4、_。15 已知平面 ：2x+y-3z+2=0 ，则过原点且与 垂直的直线方程为 _。16 设 z= ，则 =_。17 设 f(1)=2，则 =_。18 设区域 D：x 2+y2a2， x0，则直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分，有 =_。19 微分方程 y+ 满足初始条件 y|x=1=0 的特解为_。20 设区域 D 由曲线 y=x2， y=x 围成，则二重积分 =_。21 求证：当 x0 时，e x 1+x。22 求极限23 设 (x)=-2+-1x(t2-1)dt，试求 (x)的极值24 设 y=y(x)满足 +a，当 x0 时， 为无穷小，求 y。25 已知平面 1：kx-2

5、y+3z-2=0 与平面 2：3x-2y-z+5=0 垂直，试求参数 k 的值26 求函数 y=x3-3x2-9x+1 的极值27 将函数 f(x)=ln(1+x-2x2)展开为 x0=0 的幂级数28 设 f(x)为连续函数，且满足 f(x)=x0xf(t)dt-0xtf(t)dt+x3，试求 f(x)。专升本（高等数学一）模拟试卷 53 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 极值的必要条件：设 y=f(x)在点 x0 处可导，且 x0 为 f(x)的极值点，则 f(x0)=0，但反之不一定成立，故选 C。2 【正确答案】 B【试题解析】 是1-cosx 的低阶无穷小量，故选

6、 B。3 【正确答案】 B【试题解析】 将原点坐标(0，0，0)代入方程，等式成立，则直线过原点；由于所给直线的方向向量 s=1，0，-2)，而 y 轴正方向上的单位向量 i=0，1，0)，s.i=10+01+(-2)0=0。因此 si，即所给直线与 y 轴垂直。故选 B。4 【正确答案】 A【试题解析】 由不定积分的性质“先求导后积分，相差一个常数”可知选项 A 正确。5 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D。6 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)在 x=0 处连续，所以又f(0)=2， -a=2，a=-2。故选 A。7 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了拉格朗日中值定理的条件及

7、结论。8 【正确答案】 C【试题解析】 由所给积分限可知积分区域 D 可以表示为： 0x1，0yx，其图形如图所示。 交换积分次序可得 01dx0xf(x，y)dy= 01dyy1f(x，y)dx。故选 C。9 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)dx=F(x)+C，这里的 C 是任意实数。故选 D。10 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)= ，所以 f(x)= ，而由导数定义有13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 0【试题解析】 定积分的对称性。由于积分区间-1，1关于原点对称，被积函数

8、xcosx2 为奇函数，因此 -11xcosx2dx=0。15 【正确答案】 【试题解析】 已知平面 ：2x+y-3z+2=0，其法向量 n=2，1，-3)，又知直线与平面 垂直，则直线的方向向量为 s=2，1，-3，所以直线方程为16 【正确答案】 【试题解析】 17 【正确答案】 1【试题解析】 由导数定义有18 【正确答案】 【试题解析】 因为 D：x 2+y2a2，x0， 则 r2a2，0r，a，19 【正确答案】 【试题解析】 由一阶线性微分方程的通解公式有由初始条件 y|x=1=0，得 C=0，故所求特解为 。20 【正确答案】 【试题解析】 因为 D：y=x 2，y=x，所以21

9、 【正确答案】 作辅助函数 f(t)=et，则 f(t)在区间0，x上满足拉格朗日中值定理的条件，于是 f(x)-f(0)=f()(x-0)(0x)， 即 ex-1=exx(0x) 。 又当 0x 时，1e e x，故有 ex-1=e1.x=x，即 ex1.x+x(x 0)。【试题解析】 本题可用单调性的思想去证，即令 f(x)=ex-1-x，f(x)=e x-10(当x0 时)，说明 f(x)是增函数，即当 x0 时，f(x)f(0)=0 ，所以 f(x)0，则有ex1+x当然也可用下面方法证明。22 【正确答案】 【试题解析】 此极限是“.(一)” ，为不定型。而已知(a-b)(a 2+a

10、b+b2)=a3-b3，所以分子、分母同乘 型。又根据当n时，分母的次数高于分子的次序，所以所求极限为零，具体解法如下。23 【正确答案】 由 (x)=x2-1=0，得 x=-1 或 x=1。又 “(x)=2x，且 “(-1)=-20，“(1)=20，故当 x=-1 时，(x)取极大值 (-1)=-2+-1-1(t2-1)dt=-2，当 x=1 时，(x)取极小值 (1)=-2+-11(t2-1)dt=-2- 。【试题解析】 这是一道求函数极值的题只要用常规求极值的方法去解就可以了，不过在求函数的导数时要注意变上限积分的导数公式的应用，即( aaf(t)dt)=f(x)。24 【正确答案】 由

11、于当x0 时， 为无穷小，可知lny=arctanx+C1，y=Ce arctanx(C=eC1)。【试题解析】 在做本题时要注意导数的定义，即 和一阶微分方程中变量可分离类的解法。25 【正确答案】 平面 1， 2 的法向量分别为 n1=k，-2，3)，n 2=3，-2，-1)，由题设知，n 1 与 n2 垂直，于是有 n1.2=0，即 3k+(-2).(-2)+3.(-1)=0，解得 k= 。【试题解析】 如果给出两个一般的平面方程1： A1x+B1y+C1z+D1=0， 2：A 2x+B2y+C2z+D2=0，则它们的法向量分别为n1=A1，B 1，C 1，)，n 2=A2，B 2，C

12、2)，如果这两个平面 1 与 2 垂直，则应满足n1，n 2=0，即 A1A2+B1B2+C1C2=026 【正确答案】 由于 y=x3-3x2-9x+1 的定义域为(-，+)，y=3x 2-6x-9，令 y=0，得驻点 x1=-1，x 2=3，y“=6x-6，y“(-1)0，y“(3)0，故 f(-1)=6 为极大值，f(3)=-26为极小值。【试题解析】 利用导数判定函数 y=f(x)极值的步骤：(1)求出 y=f(x)的定义域。(2)求出 y=f(x)。在函数的定义域内，求出导数不存在的点及函数的驻点。(3)判定上述点两侧导数的符号，利用极值的第一充分条件判定其是否为函数的极值点。(4)

13、如果驻点处函数的二阶导数易求，可利用极值的第二充分条件判定其是否为函数的极值点。(5)将极值点横坐标代入函数表达式求出相应函数值。27 【正确答案】 因为 1+x-2x2=(1+2x)(1-x)，所以 ln(1+x-2x2)=ln(1+2x)+ln(1-x)。故 ln(1+x-2x2)【试题解析】 因为我们已知 ln(1+x)和 ln(1-x)的展开式，所以首先将 f(x)化成上述形式。 即 ln(1+x-2x2)=ln(1+2x)(1-x)=ln(1+2x)+ln(1-x)。然后套用已知展开式，这是间接展开的方法。28 【正确答案】 由所给关系式两边求导，得 f(x)=0xf(t)dt+xf

14、(x)-xf(x)+3x2=0xf(t)dt+3x2，上式再次求导，得 f“(x)=f(x)+6x，即 f(x)-f(x)=6x，这是二阶常系数非齐次线性微分方程，对应齐次方程为 f“(x)-f(x)=0，其特征方程为 2-1=0，有两个根1=1， 2=-1。于是齐次方程的通解为 f(x)=C1ex+C2e-x(C1，C 2 为任意常数)。由于=0 不是特征根，设 f(x)=Ax+B，把它代入所给方程，得 -Ax-B=6x，比较同次幂系数，得 A=-6，B=0 ，于是求得一特解为 f(x)=-6x，故所给方程 f“(x)-f(x)=6x 的通解为 f(x)=C1ex+C2e-x-6x(C1，C 2 为任意常数)。又由题设及 f(z)表达式，知 f(0)=0，f(0)=0 ，从而得 解得 故 f(x)=3exx-3e-x-6x。【试题解析】 这是一道较为综合的题。先在等式两边求关于 x 的二阶导数 f“(x)，用到变上限积分公式，即( 0xf(t)dt)=f(x)-f(0)。得到一个二阶非齐次线性微分方程f“(x)-f(x)=6x，然后再求它的通解。再由条件 f(0)=0，f(0)=0 就可求出 f(x)。