[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷23及答案与解析.doc

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1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)可导，且 f(x)0(x (0，1)，则( )（A）当 0x1 时， 0xf(t)dt 0x=xf(t)dt（B）当 0x1 时， 0xf(t)dt=0xxf(t)dt（C）当 0x1 时， 0x(t)dt 0xxf(f)dt（D）以上结论均不正确2 设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f9x)的极值点，但(0 ，0)是曲线 y=f(

2、x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 设 f(x)为可导函数，且满足条件 则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为( )（A）2（B）一 1（C） （D）一 24 设 则( )（A）f(x)在 x=x0 处必可导，且 f(x0)=a（B） f(x)在 x=x0 处连续，但未必可导（C） f(x)在 x=x0 处有极限，但未必连续（D）以上结论都不对5 设 y=f(x)是方程 y一 2y+4y=0 的一个解，且 f(x0)0,f(x 0)=0，则函数 f

3、(x)在点x0 处( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）某邻域内单调增加（D）某邻域内单调减少6 为大于零的常数，又 g-(x0)，h +(x0)均存在，则g(x0)=g(x0)，g -(x0)=h+(x0)是 f(x)在 x0 可导的( )（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件7 设 f(x)可导且 则当 x0 时，f(x)在 x0 点处的微分 dy 是( )（A）与x 等价的无穷小（B）与 x 同价的无穷小（C）比 x 低价的无穷小（D）比x 高价的无穷小8 设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件

4、是( )（A）f(a)=0，且 f(a)=0（B） f(a)=0，且 f(a)0（C） f(a)0，且 f(a)0（D）f(a)0 ，且 f(a)09 设函数 则 f(x)在( 一，+)内( )（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点10 设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（A）当 f(a)f(b)0，存在 (a，b)，使 f()=0（B）对任何 (a，b)，有 .（C）当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b) ，使 f()=0（D）存在 (a，b) ，使 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)11 设 f

5、(x)=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3，则导数 f(x)不存在的点个数是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）312 设函数 f(x)在 R+上有界且可导，则( )（A）（B）（C）（D）13 设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g(a)存在，则 g(a)=0，g(a)=0 是F(x)在 x=a 处可导的 ( )（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）非充分非必要条件14 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与x 轴交点的横坐标是( )（A）（B）（C）一 8ln2+3（D）8ln2+

6、3 15 函数 f(x)=(x2+x 一 2) sin2x在区间 上不可导点的个数是( )（A）3（B） 2（C） 1（D）016 曲线 y=(x 一 1)3(x 一 3)2 的拐点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）317 设 f(x)=xsin 2x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）318 设 f(x)在(0，+)二阶可导，且满足 f(0)=0,f(x)0(x0)，又设 ba0，则axb 时恒有 ( )（A）af(x) xf(a)（B） bf(x) xf(b)（C） xf(x) bf(b)（D）xf(x)af(a)19 设常数 k0，函数 内零

7、点个数为( )（A）3（B） 2（C） 1（D）020 设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x)，h(1)=1，g(1)=2，则 g(1)等于( )（A）ln31（B）一 1n31（C）一 ln21（D）ln21二、填空题21 设函数 y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)向上凸的 x 取值范围为_22 =_.23 =_.24 设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=ex(1-y)确定，则=_25 设 y=(1+sinx)y，则 dy x=y=_.26 设函数 则 f(x)=_27 已知 f(ex)=xe-x，且 f(1)=0，则 f(x)=_28 设函数 f(x)在 x=0

8、可导，且 f(0)=1,f(0)=3，则数列极限_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 假设函数 f(x)和 g(x)在 a，b上存在二阶导数，并且 g(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证： (1)在开区间(a，b)内 g(x)0(2) 在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使30 求极限 .31 求极限 .32 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，求 y=y(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点32 设函数 f(x)在(一，+)上有定义，在区间0，2上,f(x)=x(x 2 一 4)，若对任意的x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k

9、为常数33 写出 f(x)在一 2，2上的表达式；34 问 k 为何值时 f(x)在 x=0 处可导考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 记 F(x)=0xf(t)dt 一 01xf(t)dt，因此 F(x)=f(x)一 01f(t)dt 在0，1连续，且 F(x)=f(x)0(x(0，1) ，所以 F(x)在0，1单调递减又 F(0)=F(1)=0，由罗尔定理可知存在 (0，1)，使得【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 一般情况下，讨论分段函数的极值点和拐

10、点，主要考虑分段点处因此，本题只需讨论 x=0 两边 f(x),f(x)的符号可以选择区间 (一 1，1)来讨论 可见 f(x)在 x=0 两边异号，因此(0，0)是极值点可见 f(x)在 x=0 两边异号，所以(0，0) 为拐点所以 x=0 是极值点，(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点，故选 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 将题中等式两端同乘 2，得由导数定义可知 f(1)=一 2，故选 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 本题需将 f(x)在 x=x0 处的左右导 f-(x0),f+(x0)与在 x=x0 处的左右极限区分开【知

11、识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x0)=0 知，x=x 0 是函数 y=f(x)的驻点，将 x=x0 代入方程，得y(x0)一 2y(x0)+4y(x0)=0考虑到 y(x0)=f(x0)=0，y(x 0)=f(x0)，y(x 0)=f(x0)0，有 f(x0)=一 4f(x0)0，由极值的第二判定定理知 f(x)在点 x0 处取得极大值，故选A【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 充分性：设 g(x0)=h(x0)，g -(x0)=h+(x0)，则 f(x)可改写为所以 f-(x0)=g+(x0)f+(x0)=h+(x0)，即 f-(

12、x0)=f+(x0)必要性：由可导的充要条件得 f(x)在 x0 处可导设 f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处连续，所以 又 g-(x0)与 h+(x0)存在，则 g(x)，h(x)在 x0 分别左右连续，所以 因此，g(x 0)=h(x0)，所以有 由此有 f+(x0)=h+(x0),f-(x0)=g+(x0)，所以h+(x0)=g-(x0)，故选 C【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)在 x0 点处可导及微分的定义可知 于是，即当x0 时，dy 与x 是同阶的无穷小，故选 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 若

13、 f(a)0，由复合函数求导法则有，因此排除 C 和 D(当 f(x)在x=a 可导，且 f(a)0 时，f(x) 在 x=a 点可导)当 f(a)=0 时，上两式分别是f(x)在 x=a点的左右导数，因此，当 f(a)=0 时，f(x) 在 x=a 点不可导的充要条件是上两式不相等，即 f(a)0，故选 B【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 本题可以先求出 f(x)的表达式，再讨论其不可导点可见 f(x)仅在 x=1 两点处不可导，故应选 C【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 因只知 f(x)在闭区间a ，b 上有定义，故选项 A、C 、

14、D 均不一定正确，故选 B【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 设 (x)=(x 一 1)(x 一 2)3(x 一 3)3，则 f(x)=(x)使 (x)=0 的点x=1，x=2，x=3 可能是 f(x)的不可导点，还需考虑 (x)在这些点的值(x)=(x 一2)2(x 一 3)3+2(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)3+3(x1)(x 一 2)2(x 一 3)3，显然，(1)0，(2)=0，(3)=0，所以只有一个不可导点 x=1故选 B【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 B【试题解析】 可以用反证法证明选项 B 是正确的假设 ，则由拉格朗日中值

15、定理可得，存在 ，使得 x 2x，所以当 x+ 时，+，有f(2x)一 f(x)=f()x(x+)，但这与f(2x)一 f(x)f(2x)+ f(x)2M 矛盾(f(x)M)【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 A【试题解析】 因 (x)在 x=a 不可导，所以不能对 F(x)用乘积的求导法则，需用定义求 F(a)题设下面证明若 F(a)存在，则 g(a)=0反证法，若 g(a)0,由商的求导法则，(x)在 x=a 可导，这与题设矛盾，则 g(a)=0，g(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的充要条件故选 A【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 A【试题解析】 当 x

16、=3 时，根据等式 t2+2t=3，得 t=1，t=一 3(舍去) ，因此有所以过点 x=3(y=ln2)的法线方程为：yln2=一 8(x 一 3)，令 y=0，可得法线与 x 轴交点的横坐标为 ，故应选 A【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 B【试题解析】 设 g(x)=x2+x 一 2，(x)=sin2x ，显然 g(x)处处可导，(x) 处处连续但有不可导点所以只须考查 (x)不可导点处 g(x)是否为零(x)=sin2x 的图形如图 22 所示，在 只有不可导点 ，其余均可导 因为，所以 g(x)=g(x)(x)在 x=0， 处不可导，在x=1 可导，且其余点均可导故选

17、B【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 C【试题解析】 对于曲线 y，有 y=2(x 一 1)(x 一 3)2+2(x 一 1)2(x 一 3)=4(x 一 1)(x一 2)(x 一 3)，y=4(x 一 2)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 2)=8(x 一 1)(2x一 5)，令 y=0，得 x1=1， 又由 y=8(2x 一 5)+16(x 一 1)，可得 y(1)=一 240, ，因此曲线有两个拐点，故选 C【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 C【试题解析】 所以 f(3)(0)不存在因此 n=2，故选 C【知识模块】 一元函数

18、微分学18 【正确答案】 B【试题解析】 将 A，B 选项分别改写成【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 B【试题解析】 因 ，令 f(x)=0，得唯一驻点 x=e，且在 f(x)的定义域内无 f(x)不存在的点，故 f(x)在区间(0，e)与(e ，+)内都具有单调性又 f(e)=k 0，而 因此 f(x)在(0，e)与(e ，+) 内分别有唯一零点，故选 B【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 C【试题解析】 先对已知函数 h(x)=e1+g(x)两边同时对 x 求导，可得 h(x)=e1+g(x)g(x)在上面的等式中令 x=1，结合已知 h(1)=1，g(1)=2

19、可知 1=h(1)=e1+g(1)g(1)=2e1+g(1)，因此得 g(1)=一 ln21，故选 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题21 【正确答案】 (一，1)【试题解析】 本题主要考查参数方程曲线的凹凸性又因x=t3+3t+1 是单调增加的，在 t0 时，x(一，1)，故 x(一，1)时，曲线上凸【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 1【试题解析】 当 x=0 时，y=1对方程两边求导得 y一 1=ex(1-y)(1 一 y 一 xy)，将x=0，y

20、=1 代入上式，可得 y(0)=1所以【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 一 dx【试题解析】 运用等式转换 y=(1+sinx)x=exln(1+sinx)，于是【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时， 当 x=0 时，【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 e 6【试题解析】 原数列极限可转化为【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 【正确答案】 (1)利用反证法假设存在 c(a，b)，使得 g(c)=0，则对 g(x)在a， c

21、和 c，b上分别应用罗尔中值定理，可知存在 1(a，c) 和 2(c，b)，使得g(1)=g(2)=0 成立接着再对 g(x)在区间 1， 2上应用罗尔中值定理，可知存在3(1， 2)，使得 g(3)=0 成立，这与题设条件 g(x)0 矛盾，因此在开区间(a，b)内 g(x)0(2)构造函数 F(x)=f(x)g(x)一 g(x)f(x)，由题设条件得函数 F(x)在区间a， b上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足 F(A)=F(B)=0根据罗尔中值定理可知，存在点 (a，b)，使得 F()=0即 f()g()一 f()g()=0，因此可得【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 利用等价无穷小替换和洛必达法则【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 当一 2x0，即 0x+22 时，f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 2 一 4=kx(x+2)(x+4)所以,f(x) 在一 2，2上为【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 根据已知 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学