[考研类试卷]考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷31及答案与解析.doc

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1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 31 及答案与解析一、填空题1 设 P(A)P(B)P(C) ，P(AB)0，P(AC)P(BC) ，则 A，B，C 都不发生的概率为_2 乒乓球盒中有 15 个球，其中有 9 只新球和 6 只旧球第一次比赛时任取 3 只使用，用后放回(新球使用一次就成旧球)第二次比赛时也任取 3 只球，求此 3 只球均为新球的概率_(写出计算式即可)3 3 架飞机(其中有 1 架长机和 2 架僚机)去执行轰炸任务，途中要过一个敌方的高炮阵地各机通过高炮阵地的概率均为 08，通过后轰炸成功的概率均为 03，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功求最终轰炸

2、成功的概率为_4 随机变量 X 的密度为 f() ， ，则 A_5 在一长为 l 的线段上的随机掷两点，使这个线段分成三段，则这三段能构成三角形的概率为_6 设 X 的密度为 f() ， ，则 X 的分布函数 F()_7 设在时间 t(分钟) 内，通过某路口的汽车数服从参数为 t的泊松分布已知 1 分钟内没有汽车通过的概率为 02，求在 2 分钟内有至少 1 辆汽车通过的概率为_8 设 X 与 Y 独立，下表列出(X，Y)的联合分布列和关于 X、Y 的边缘分布列中的部分数值，请填上空白处，并填空求 P(XY1) _PX Y1X0_9 设随机变量 X 服从(a，a) 上的均匀分布(a0)，且已知

3、 P(X1) ，则a_， D(X)_10 随机变量 X 的密度为：f() 且知 EX6，则常数A_，B_11 袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为 3：2现从此袋中有放回地摸球，每次摸 1 个记 X 为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数求 E(X) _二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 随机变量 X 可能取的值为1，0，1且知 EX01，EX 209，求 X 的分布列13 在ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S 与 S1若已知S12，求 ES114 已知线段 AB4，CD1，现分别独立地在 AB 上任取点 A1，在 CD 上任

4、取点C1，作一个以 AA1 为底、CC 1 为高的三角形，设此三角形的面积为 S，求 P(S1)和 D(S)15 设随机变量 X 在区间(1，1)上服从均匀分布， YX 2，求(X ，Y)的协方差矩阵和相关系数16 现有 K 个人在某大楼的一层进人电梯，该楼共 n1 层电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再入电梯)现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值17 设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为 100 和 150(小时)，而成本分别为 C 和 2C 元如果制造的元件寿命不超过

5、 200 小时，则须进行加工，费用为 100 元为使平均费用较低，问 C 取何值时，用第 2 种方法较好?18 现有奖券 100 万张，其中一等奖 1 张，奖金 5 万元；二等奖 4 张，每张奖金2500 元；三等奖 40 张，每张奖金 250 元；四等奖 400 张，每张奖金 25 元，而每张奖券 2 元，试计算买一张奖券的平均收益19 设随机变量 X1，X n，X n+1 独立同分布，且 P(X11)p，P(X 10)1p，记20 对随机变量 X 和 Y，已知 EX3，EY2，DX9，DY2，E(XY)5设 U2Xy4，求 EU，DU21 对随机变量 X，Y，已知 EX2 和 EY2 存在

6、，证明：E(XY) 2E(X2).E(Y2)22 设 X1，X 2，X n 是同分布的随机变量，且 EX10，DX 11_不失一般性地设 X1 为连续型随机变量证明：对任意的常数 0，有 23 两家影院竞争 1000 名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过 1?(2328)09900)24 (1)设系统由 100 个相互独立的部件组成运行期间每个部件损坏的概率为01至少有 85 个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率() 09522) (2) 如果上述系统由竹个部件组成，至少有 8

7、0的部件完好时系统才能正常工作问 n 至少多大才能使系统正常工作的概率不小于0957(1645)095)25 对随机变量 X，已知 EekX 存在(k0 为常数)，证明：PX .E(ekX)(其中 0) 26 当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 04 至06 之间的概率不小于 097 试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解(1645)095)27 利用中心极限定理证明：28 设总体 X 具有概率密度：f() 从此总体中抽得简单样本X1，X 2，X 3，X 4，求 T Xi 的密度 fT(t)29 设总体 XN(， 2)， X1，X n 为取自 X 的简单样本，记

8、d X i求 E(d)，D(d) 30 设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70 的概率不小于 095，样本容量n 至少应取多大?(1 645)095)31 从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4 以上的概率为 002，求总体的标准差(2 33)099)32 设总体 XN(， 2)，从 X 中抽得样本 X1， ，X n，X n+1，记 试求 的分布考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 31 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 (C63C93C 62C91C83C 61C92C73C 93C63

9、)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 0476544【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【试题解析】 如图 1 建立坐标系，题目中的线段即线段 Ol(图中)，随机掷的两点坐标分别为 X 和 Y，由题意知 X 与 Y 独立同分布，均服从区间(0，l)上的均匀分布，(X，Y) 的概率密度为 所得到的 3 段线段长分别为 min(X，Y) ，XY，lmax(X ，Y)，而这 3 段能构成三角形充要条件这 3 段中任 2 段长度之和 充要条件这 3 段中任一段长度都 故 P这 3 段能构成三角形其中 G1 与 G2 见图 2 中阴

10、影部分【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 3；3【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 由题意，X 的分布列可设为：X 且知：abc1，01EX ac，09E(X 2)(1) 2a1 2cac 可解得a04，b 01，c 0 5，代回分布列表达式即可【知识模块】 概率论与数理统计13

11、 【正确答案】 如图建立坐标系，设 AB 长为 r， ABC 高为 h，C 点坐标为(u，h)设ABc 所围区域为 G，则 G 的面积 S rh12 又设 P 点坐标为(X， Y)，则随机变量 (X，Y)在 G 上服从均匀分布，其概率密度为 而S1 易得线段 AC 的方程为 y，BC 的方程为 ES1 ， 而rh24 ，故 ES14【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 记 AA1 长度为 X，OC 1 长度为 Y，则知 X 与 Y 为二相互独立的随机变量，分别服从区间0，4和0，1 上的均匀分布，(X，Y) 的概率密度为 其中 D(，y)04 ，0y1而 S XY故 其中 G 为图

12、中阴影部分，而【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 X 的概率密度为：f() DYE(Y 2)(EY) 2E(X 4)(EX 2)2 ， cov(X，X)cov(X，X 2)E(X 3)EX.EX 20， 故知(X，Y) 的相关系数 (X，Y) 0，协方差阵为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 而 X 为电梯停的次数， 故知平均停的次数为 EX【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为 X、Y ，费用分别为 、，则知 X、Y 的概率密度分别为： 且 E(C100)P(X200)CP(X200)C100P(X200)，E

13、 (2C100)P(Y200)2CP(Y200)2C 100P(Y200)，于是 EEC100P(Y200)P(X200)C100(e -2)，可见 C100( e -2)时，E E，用第 2 种方法较好(平均费用较低)【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 记 X 和 分别为买 1 张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则 X2，而 X 的概率分布为： EEX2 2192(元)【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 EY iP(X iX i+11)P(X i0，X i+11)P(X i1，X i+10)2p(1 p) ， i1，n ， 2np(1p)， 而 E(Y12)

14、P(X iX i+11)2p(1 p) ， DYiE(Y 12)(EY i)2 2p(1p)12p(1p)，i 12，n 若 lk2，则 Yk 与 Yl 独立， 这时 cov(Yk，Y l) 0， 而 E(YkYk+1) P(Y k1，Y k+11) P(X kX k+11， X k+1X k+21)P(X k0， Xk+11，X k+20) P(X k1， X k+10， X k+21)(1p) 2pp 2(1p) p(1p)， coy(Yk， Y k+1)E(Y kYk+1)EY kEYk+1 (1p)4p 2(1p) 2， 故 2np(1p)12p(1p) 2np(1p)12p(1p)2

15、(n1)p(1p)4p 2(1p) 2 2p(1 p)2n6np(1p) 41)(1p)1【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 EU2EXEY423 24 4，DUD(2XY 4)4DX Dy4cov(X ，Y)49 2 4E(XY)EX.EY3624(532) 34【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 tR*，有 0E(XtY) 2E(X 2)2tE(XY) t 2E(Y2)， 故此二次型(变量为 t)无实根或有重根， 所以其判别式 0，而4E(XY)24EX 2.EY2， 即得E(XY) 2E(X2).E(Y2)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由已

16、知可知：E(X i2)DX i(EX i)21，i1，n设(X1， ，X n)的概率密度为 f(1， 2， n)，则【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设甲影院(乙影院完全同理)应设 N 个座位才符合要求，而这 1000名观众中有 X 名选择甲影院， 则 XB(1000， )， 由题意有：P(XN)099 而由中心极限定理知： 故得 2328， N53【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (1)设有 X 个部件完好，则 XB(100，09)， EX90，DX9， P系统正常工作)PX85 0952 2 (2)设有 Y个部件完好，则 YB(n，09)， EX09n，DX

17、009n， PX08n， 由题意，P(X08n)095， ( )095，故 1645， 得n2435 即 n25【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 不失一般性，设 X 为连续型随机变量，概率密度为 f()，则EekX ek.f()d， 而 PX【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设抛掷 n 次硬币，正面出现 X 次，则 XB(n，05)现要求P(04 06)09， 即 P(04nX06n)09 (1) 用切比雪夫不等式：P(04nX06n)P(X05n01n)1 ， 令1 09，得 n250； (2)用中心极限定理：P(04nX06n) (02 )( 02 )2(0

18、 2 )1， 令 2(02 )109，得 (02 )095， 02 1645， n6765 即 n68【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 引随机变量 Xk(1)(参数为 1 的泊松分布)，k1，2，且Xk相互独立由泊松分布的再生性知 令 n，由中心极限定理即知：【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 T 的分布函数为 F T(t)P(Tt)P( t) P(X 1t，X 4t) P(X 1t)4 【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 由题意知 N(72， )， 得1645，n67 65，即 n68【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 设总体 XN(， 2)，则 ， 由题意得： 099 得 233，【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 且 Sn2 与 Xn+1 相互独立，故【知识模块】 概率论与数理统计