2014届北京市朝阳二模理科数学试卷与答案（带解析）.doc

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1、2014届北京市朝阳二模理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，集合 ，则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： 所以 考点：集合运算 如图放置的边长为 的正 沿边长为 的正方形 的各边内侧逆时针方向滚动当 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点 的轨迹长度是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由题意得：当 沿正方形一边滚动时，点 的轨迹为两个圆弧，其对应圆半径皆为 1，圆心角为 ，因此点 的轨迹长度是 考点：动点轨迹 某工厂分别生产甲、乙两种产品 1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示 煤（吨） 电（千度） 纯利润（万元） 箱甲产品 箱乙产品 若生

2、产甲、乙两种产品可使用的煤不超过 吨，电不超过 千度，则可获得的最大纯利润和是 ( ) （ A） 万元 （ B） 万元 （ C） 万元 （ D） 万元 答案： C 试题分析：设生产甲 吨、乙 吨 .则 ，利润 .可行域为一个四边形 OABC及其内部，其中 ,当 过点 B时取最大值，为 90. 考点：线性规划 若双曲线 的一条渐近线与圆 至多有一个交点，则双曲线离心 率的取值范围是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：双曲线 的一条渐近线为 ，由题意得：圆心到渐近线的距离不小于半径，即 考点：双曲线渐近线 已知命题 ：复数 在复平面内所对应的点位于第四象限；命题 ：， ，则下列命题中为

3、真命题的是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以复数 在复平面内所对应的点位于第四象限，命题 为真命题， 因为 与 在 上有交点，所以 ， ，命题 为真命题， 为真命题 . 考点：复合命题真假 已知函数 的部分图象如图所示，则( ) A B C D 答案： D 试题分析：由题意得： ，又 ，所以 . 考点：三角函数图像与性质 执行如图所示的程序框图若输出的结果为 ，则输入的正整数 的可能取值的集合是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为输出的结果为 ，所以 ，即 又为正整数，所以 的可能取值的集合是 考点：循环结构流程图 如果 ，那么下列不等式一定成立的是

4、( ) A B C D 答案： C 试题分析： ，又所以 成立， ，而 ，所以 不成立 考点：不等式恒等变形 填空题 若存在正实数 ，对于任意 ，都有 ，则称函数 在上是有 界函数下列函数 ； ； ； ， 其中 “在 上是有界函数 ”的序号为 答案： 试题分析：因为 时， ，所以函数 不是有界函数因为 时， ，所以函数 是有界函数因为 时， 在 单调增，在 上单调减，所以函数 ，因此 是有界函数因为 时，取 ，则 ，所以函数 不是有界函数 考点：函数值域 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 ； 数列 的前 项和为 答案： , 试题分析：因为 所以 ，两式相减得.因此 为等比数列，又 ，所以

5、因此 前 项和为 . 考点：已知 求 由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 答案： , 试题分析：由题意得：两个四棱锥全等，它们的高为 ，底面为边长为 2的正方形因此体积为 表面积为 8个全等的边长为 2的等边三角形面积之和，即 考点：三视图 如图， 为圆 的直径， ,过圆 上一点 作圆 的切线，交的延长线于点 ，过点 作 于点 ，若 是 中点，则=_ 答案： 试题分析：由切割线定理得： ,连 OM，则在直角三角形 ODM中，因为 OM=2OD,所以 ，因此 考点：切割线定理 的展开式中 项的系数为 _（用数字表示） 答案： 试题分析：由 得： 项的系数为

6、考点：二项展开式定理求特定项 已知平面向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为 ，则_ 答案： 试题分析：因为 ，所以考点：向量数量积 解答题 在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ， 的面积为 （ ）求边 的长； （ ）求 的值 答案：（ ） ，（ ） 试题分析：（ ）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化 . 由得， 所以 由余弦定理得， ，所以 （ ）由正弦定理得 ，即 ，所以 ，根据二倍角公式有 解：（ ）由 得， 所以 由 得， ， 所以 7分 （ ）由 得， ， 所以 所以 13分 考点：正余弦定理，二倍角公式 某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于 小时的社区服

7、务才合格教育部门在全市随机抽取 200位学生参加社区服务的数据，按时间段， ， ， ， （单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示 （ ）求抽取的 200位学生中，参加社区服务时间不少于 90小时的学生人数，并估计 从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 90小时的概率； （ ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取 3位学生，记 为 3位学生中参加社区服务时间不少于 90小时的人数试求随机变量 的分布列和数学期望 答案：（ ） （ ） 0 1 2 3 试题分析：（ ）根据频率分布直方图中小长方形面积为频率，而频数为总数与频率之积 . 因此参加社区服务时间在时间段 小时的学

8、生人数为（人），参加社区服务时间在时间段 小时的学生人数为 （人）所以抽取的 200位学生中，参加社区服务时间不少于 90小时的学生人数为 人概率估计为 （ ）随机变量 的可能取值为 由（ ）可知，概率为 因为 ，所以 随机变量 的分布列为 0 1 2 3 解：（ ）根据题意， 参加社区服务时间在时间段 小时的学生人数为（人）， 参加社区服务时间在时间段 小时的学生人数为（人） 所以抽取的 200位学生中，参加社区服务时间不少于 90小时的学生人数为 人 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 90小时的 概率估计为 5分 （ ）由（ ）可知，从全市高中生中任意选取 1人，

9、其参加社区服务时间不少于 90小时的概率为 由已知得，随机变量 的可能取值为 所以 ； ； ； 随机变量 的分布列为 相关试题 2014届北京市朝阳二模理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦 5楼 邮编： 518000 2004-2016 21世纪教育网 粤 ICP备 09188801号 粤教信息 (2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 0 1 2 3 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 底面， ， 分别为 ， 中点， （ ）求证： 平面 ； （ ）求二面角 的余弦值； （ ）在棱

10、 上是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由 答案：（ ）详见，（ ） （ ）不存在 . 试题分析：（ ）证明线面平行，关键在于找出线线平行 .本题条件含中点，故从中位线上找线线平行 . ， 分别为 ， 中点，在 中， 是中点， 是 中点，所以 又因为 平面 ， 平面，所以 平面 （ ）求二面角的大小，有两个思路，一是作出二面角的平面角，这要用到三垂线定理及其逆定理，利用侧面 底面，可得底面 的垂线，再作 DF的垂线，就可得二面角的平面角，二是利用空间向量求出大小 .首先建立空间坐标系 . 取 中点 由侧面底面 易得 面 以 为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系再

11、利用两平面法向量的夹角与二面角的平面角的关系，求出结果，（ ）存在性问题，一般从假设存在出发，构造等量关系，将存在是否转化为方程是否有解 . 证明：（ ）如图，连结 因为底面 是正方形， 所以 与 互相平分 又因为 是 中点， 所以 是 中点 在 中， 是 中点， 是 中点， 所以 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 4分 （ ）取 中点 在 中，因为 ， 所以 因为面 底面 ， 且面 面 ， 所以 面 因为 平面 所以 又因为 是 中点， 所以 相关试题 2014届北京市朝阳二模理科数学试卷（带） 已知函数 ， （ ）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值； （ ）求函数 的单调区

12、间； （ ）设 ，当 时，都有 成立，求实数 的取值范围 答案：（ ） ，（ ）当 时， 的单调增区间为 ；当时， 的单调增区间是 ， 的单调减区间是 （ ） . 试题分析：（ ）利用导数的几何意义，曲线 在点 处的切线斜率为在点 处的导数值 . 由已知得 所以 ， （ ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域 ，再导数值的符号确定单调区间 . 当 时， ,所以的单调增区间为 当 时 ,令 ，得 ，所以的单调增区间是 ；令 ，得 ，所以 的单调减区间是 （ ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题 . “当 时， 恒成立 ” 等价于 “当 时， 恒成立 ”设 ，只要 “当 时，成立 ”

13、 易得函数 在 处取得最小值，所以实数 的取值范围 （ ）由已知得 因为曲线 在点 处的切线与直线 垂直， 所以 所以 所以 3分 （ ）函数 的定义域是 ， （ 1）当 时， 成立，所以 的单调增区间为 （ 2）当 时， 令 ，得 ，所以 的单调增区间是 ； 令 ，得 ，所以 的单调减区间是 综上所述，当 时， 的单调增区间为 ； 当 时， 的单调增区间是 ， 的单调减区间是 8分 （ ）当 时， 成立， “当 时， 恒成立 ” 等价于 “当 时， 相关试题 2014届北京市朝阳二模理科数学试卷（带） 已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，右焦点到右顶点的距离为 （ ）求椭圆

14、的标准方程； （ ）是否存在与椭圆 交于 两点的直线 ： ，使得成立？若存在，求出实数 的取值范围，若不存在，请说明理由 . 答案：（ ） ，（ ） . 试题分析：（ ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出 a,b. 由及 ，解得 ， 所以 所以椭圆 的标准方程是（ ）存在性问题，一般从假设存在出发 ,建立等量关系，有解就存在，否则不存在 . 条件 的实质是垂直关系，即.所以 ,由 得 ， 代入化简得， 由 化简得解得， 由 ， ，所以实数 的取值范围是 （ ）设椭圆 的方程为 ，半焦距为 . 依题意 ，由右焦点到右顶点的距离为 ，得 解得 ， 所以 所以椭圆 的标准方程是 4分 （ ）解：

15、存在直线 ，使得 成立 .理由如下： 由 得 ，化简得 设 ，则 ， 若 成立， 即 ，等价于 所以 ， ， , 化简得， 将 代入 中， ， 解得， 又由 ， ， 从而 ， 或 所以实数 的取值范围是 14分 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系 已知 ， 是函数 的两个零点，其中常数 ， ，设 （ ）用 ， 表示 ， ； （ ）求证： ； （ ）求证：对任意的 答案：（ ） （ ）详见，（ ）详见 . 试题分析：（ ）由题意得： ， 因为 ，所以.对抽象的求和符号具体化处理 ,是解答本题的关键 .（ ）而，（ ）用数学归纳法证明有关自然数的命题 . （ 1）当 时，由（ ）问知 是整数，结论成立（ 2）假设当（ ）时结论成立，即 都是整数，由（ ）问知即 时，结论也成立 解：（ ）由 ， 因为 ，所以 3分 （ ）由 ，得 即 ，同理， 所以 所以 8分 （ ）用数学归纳法证明 （ 1）当 时，由（ ）问知 是整数，结论成立 （ 2）假设当 （ ）时结论成立，即 都是整数 由 ，得 即 所以 ， 所以 即 由 都是整数，且 ， ，所以 也是整数 即 时，结论也成立 由（ 1）（ 2）可知，对于一切 ， 的值都是整数 13分 考点：数学归纳法证明