2017年浙江省绍兴市高考一模试卷数学及答案解析.docx

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1、2017年 浙 江 省 绍 兴 市 高 考 一 模 试 卷 数 学一 、 选 择 题 (本 题 共 10个 小 题 ， 每 小 题 4分 ， 共 40 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.已 知 集 合 A=x R|x| 2， B=x R|x+1 0， 则 A B=( )A.(-2， 1B.-1， 2)C.-1， + )D.(-2， + )解 析 ： 由 题 意 知 ， A=x R|x| 2=x|-2 x 2=(-2， 2)，B=x R|x+1 0=x|x -1=-1， + )， 则 A B=-1， 2). 答 案 ：

2、 B2.已 知 i 是 虚 数 单 位 ， 复 数 z= 12 i ， 则 z z =( )A.25B.5C. 125D. 15解 析 ： 1 2 22 2 2 5 5i iz i i i ， 22 22 2 1 15 5 5z z z . 答 案 ： D3.已 知 a， b 为 实 数 ， 则 “ a=0” 是 “ f(x)=x2+a|x|+b为 偶 函 数 ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： a=0时 ， f(x)=x 2+b为 偶 函 数 ， 是 充 分 条 件 ，由 f

3、(-x)=(-x)2+a|-x|+b=f(x)， 得 f(x)是 偶 函 数 ，故 a=0” 是 “ f(x)=x2+a|x|+b为 偶 函 数 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A4.已 知 a 0， 且 a 1， 若 ab 1， 则 ( )A.ab bB.ab bC.a bD.a b 解 析 ： 当 a (0， 1)时 ， 若 ab 1， 则 b 0， 则 a b不 成 立 ，当 a (1， + )时 ， 若 ab 1， 则 b 0， 则 ab b 不 成 立 ， a b 不 一 定 成 立 .答 案 ： A5.已 知 p 0， q 0， 随 机 变 量 的 分 布 列 如

4、 下 ：若 E( )= 49 .则 p 2+q2=( )A.49B.12C.59D.1解 析 ： p 0， q 0， E( )= 49 . 由 随 机 变 量 的 分 布 列 的 性 质 得 ： 1 49q ppq qp ， ， p 2+q2=(q+p)2-2pq=1- 4 59 9 .答 案 ： C6.已 知 实 数 x， y 满 足 不 等 式 组 3 02 4 00 x yx yy a ， ， 若 z=y-2x 的 最 大 值 为 7， 则 实 数 a=( )A.-1B.1C.103 D.112解 析 ： 作 出 不 等 式 组 3 02 4 00 x yx yy a ， ， 表 示 的

5、 平 面 区 域 ， 如 图 所 示 ： 令 z=y-2x， 则 z表 示 直 线 z=y-2x在 y轴 上 的 截 距 ， 截 距 越 大 ， z 越 大 ，结 合 图 象 可 知 ， 当 z=y-2x经 过 点 A 时 z 最 大 ，由 2 73 0y xx y ， 可 知 A(-4， -1)， A(-4， -1)在 直 线 y+a=0上 ， 可 得 a=1.答 案 ： B7.已 知 抛 物 线 y 2=2px(p 0)的 焦 点 为 F， 过 点 M(p， 0)的 直 线 交 抛 物 线 于 A， B 两 点 ， 若2AM MB ， 则 AFBF =( )A.2B. 52C.2D.与 p

6、有 关解 析 ： 设 直 线 方 程 为 x=my+p， 代 入 y 2=2px， 可 得 y2-2pmy-2p2=0设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1+y2=2pm， y1y2=-2p2， 2AM MB ， (p-x1， -y1)=2(x2-p， y2)， x1=-2x2+p， y1=-2y2，可 得 y2=p， y1=-2p， x2= 12 p， x1=2p， 2 121 1 522 2p pAF BF p p .答 案 ： B 8.向 量 a， b 满 足 |a |=4， 0b a b ， 若 | |a b 的 最 小 值 为 2( R)， 则 a b =( )A.

7、0 B.4C.8D.16解 析 ： 向 量 a， b 满 足 |a|=4， 0b a b ， 即 2a b b .若 2 22 22 16 2| |a b a a b b a b a b 2( R)，化 为 ： 216 2 4a b a b 0对 于 R 恒 成 立 ， = 24 6( ) (4 4)a b a b 0， 化 为 (a b -8) 2 0， a b =8.答 案 ： C9.记 minx， y= y x yx x y ， ， ， 设 f(x)=minx2， x3， 则 ( )A.存 在 t 0， |f(t)+f(-t)| f(t)-f(-t)B.存 在 t 0， |f(t)-f(

8、-t)| f(t)-f(-t)C.存 在 t 0， |f(1+t)+f(1-t)| f(1+t)+f(1-t)D.存 在 t 0， |f(1+t)-f(1-t)| f(1+t)-f(1-t)解 析 ： x 2-x3=x2(1-x)， 当 x 1 时 ， x2-x3 0， 当 x 1 时 ， x2-x3 0， f(x)= 23 11x xx x ， ， 若 t 1， 则 |f(t)+f(-t)|=|t2+(-t)3|=|t2-t3|=t3-t2，|f(t)-f(-t)|=|t2+t3|=t2+t3，f(t)-f(-t)=t 2-(-t)3=t2+t3，若 0 t 1， |f(t)+f(-t)|=

9、|t3+(-t)3|=0，|f(t)-f(-t)|=|t3+t3|=2t3，f(t)-f(-t)=t3-(-t)3=2t3，当 t=1时 ， |f(t)+f(-t)|=|1+(-1)|=0，|f(t)-f(-t)|=|1-(-1)|=2，f(t)-f(-t)=1-(-1)=2， 当 t 0 时 ， |f(t)+f(-t)| f(t)-f(-t)， |f(t)-f(-t)|=f(t)-f(-t)，故 A 错 误 ， B 错 误 ；当 t 0 时 ， 令 g(t)=f(1+t)+f(1-t)=(1+t) 2+(1-t)3=-t3+4t2-t+2，则 g (t)=-3t2+8t-1， 令 g (t)

10、=0 得 -3t2+8t-1=0， =64-12=52， g(t)有 两 个 极 值 点 t1， t2， g(t)在 (t2， + )上 为 减 函 数 ， 存 在 t0 t2， 使 得 g(t0) 0， |g(t0)| g(t0)，故 C 正 确 ；令 h(t)=(1+t)-f(1-t)=(1+t)2-(1-t)3=t3-2t2+5t， 则 h (t)=3t2-4t+5=3 22 113 3t 0， h(t)在 (0， + )上 为 增 函 数 ， h(t) h(0)=0， |h(t)|=h(t)， 即 |f(1+t)-f(1-t)|=f(1+t)-f(1-t)，故 D 错 误 .答 案 ：

11、 C10.如 图 ， 在 正 方 体 ABCD-A 1B1C1D1中 ， 棱 AB的 中 点 为 P， 若 光 线 从 点 P 出 发 ， 依 次 经 三 个 侧面 BCC1B1， DCC1D1， ADD1A1反 射 后 ， 落 到 侧 面 ABB1A1(不 包 括 边 界 )， 则 入 射 光 线 PQ与 侧 面 BCC1B1所 成 角 的 正 切 值 的 范 围 是 ( ) A.( 34 ， 54 )B.( 2 1717 ， 4)C. 2 1717D.( 33 510 ， 54 )解 析 ： 根 据 线 面 角 的 定 义 ， 当 入 射 光 线 在 面 BCC 1B1的 入 射 点 离

12、点 B 距 离 越 近 ， 入 射 光 线 PQ与 侧 面 BCC1B1所 成 角 的 正 切 值 越 大 ，如 图 所 示 ， 此 时 tan PHB= 32 ， 结 合 选 项 ， 可 得 入 射 光 线 PQ 与 侧 面 BCC1B1所 成 角 的 正 切 值 的 范 围 是 ( 55 ， 32 ).答 案 ： C二 、 填 空 题 (本 大 题 共 7 小 题 ， 共 36 分 )11.双 曲 线 2 24 12x y =1 的 焦 点 坐 标 为 ， 离 心 率 为 .解 析 ： 双 曲 线 2 24 12x y =1， c 2=a2+b2=4+12=16， c=4， 双 曲 线 2

13、 24 12x y =1的 焦 点 坐 标 为 (-4， 0)， (4， 0)，离 心 率 e= 42ca =2，答 案 ： (-4， 0)， (4， 0)， 212.已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为 ， 体 积为 . 解 析 ： 如 图 所 示 ， 该 几 何 体 为 三 棱 锥 ， P-ABC， 其 中 PA 底 面 ABC， AC BC， PA=2， AC=1，BC=2. 该 几 何 体 的 表 面 积 S= 1 1 1 12 1 1 2 5 2 5 2 2 2 52 2 2 2 ，体 积 V=1 1 22 1 23 2

14、3 .答 案 ： 2 2 5 ， 2313.已 知 等 差 数 列 a n， 等 比 数 列 bn的 前 n项 和 为 Sn， Tn(n N*)， 若 Sn= 23 12 2n n ， b1=a1，b2=a3， 则 an= ， Tn= .解 析 ： a1=2=b1，n 2 时 ， an=Sn-Sn-1= 223 1 3 11 12 2 2 2n n n n =3n-1.n=1时 也 成 立 ， a n=3n-1.b2=a3=8， 公 比 q= 82 =4. Tn= 2 4 1 2 4 14 1 3n n .答 案 ： 3n-1， 23 (4n-1)14.在 ABC 中 ， 内 角 A， B，

15、C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 A= 4 ， b= 6 ， ABC的 面 积为 3 32 ， 则 c= ， B= . 解 析 ： A= 4 ， b= 6 ， ABC的 面 积 为 3 3 1 1 2sin 62 2 2 2bc A c ， 解 得 ： c=1+ 3 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： a= 2 2 2 cosb c bc A =2， 可 得 ： cosB= 2 2 2 12 2a c bac ， B (0， )， B= 3 .答 案 ： 1+ 3 ， 315.将 3 个 男 同 学 和 3个 女 同 学 排 成 一 列 ， 若 男 同 学 甲 与 另 外

16、 两 个 男 同 学 不 相 邻 ， 则 不 同 的 排 法 种 数 为 .(用 具 体 的 数 字 作 答 ) 解 析 ： 根 据 题 意 ， 分 2 种 情 况 讨 论 ： 、 3个 男 同 学 均 不 相 邻 ，将 三 名 女 同 学 全 排 列 ， 有 A33=6种 排 法 ， 排 好 后 有 4 个 空 位 ，在 4 个 空 位 中 ， 任 选 3 个 ， 安 排 3个 男 同 学 ， 有 A43=24种 安 排 方 法 ，此 时 共 有 6 24=144种 不 同 的 排 法 ； 、 另 外 两 个 男 同 学 相 邻 ， 将 这 两 个 男 同 学 看 成 一 个 整 体 ， 考

17、 虑 2 人 的 顺 序 ， 有 A22=2 种 情况 ，将 三 名 女 同 学 全 排 列 ， 有 A33=6 种 排 法 ， 排 好 后 有 4个 空 位 ，在 4 个 空 位 中 ， 任 选 2 个 ， 安 排 甲 和 这 2 个 男 同 学 ， 有 A 42=12种 安 排 方 法 ，此 时 共 有 2 6 12=144 种 不 同 的 排 法 ； 则 共 有 144+144=288 种 不 同 的 排 法 .答 案 ： 28816.已 知 正 实 数 x， y满 足 xy+2x+3y=42， 则 xy+5x+4y的 最 小 值 为 .解 析 ： 正 实 数 x， y 满 足 xy+2

18、x+3y=42， y= 42 23 xx 0， x 0， 解 得 0 x 21.则 xy+5x+4y=3x+y+42=3x+ 42 23 xx +42=3(x+3)+ 163 x +31 3 162 3 3x x +31=55，当 且 仅 当 x=1， y=10时 取 等 号 . xy+5x+4y的 最 小 值 为 55.答 案 ： 55 17.已 知 a， b R且 0 a+b 1， 函 数 f(x)=x2+ax+b 在 - 12 ， 0上 至 少 存 在 一 个 零 点 ， 则 a-2b的 取 值 范 围 为 .解 析 ： 由 题 意 ， 要 使 函 数 f(x)=x2+ax+b在 区 间

19、 - 12 ， 0有 零 点 ，只 要 f(- 12 ) f(0) 0， 或 20 1 01 1 1 02 4 21 02 24 0f bf a baa b ， ， ， ， 其 对 应 的 平 面 区 域 如 下 图 所 示 ： 则 当 a=1， b=-1时 ， a-2b取 最 大 值 3，当 a=0， b=0时 ， a-2b取 最 小 值 0，所 以 a-2b 的 取 值 范 围 为 0， 3.答 案 ： 0， 3三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 共 74 分 )18.已 知 函 数 f(x)=2sin 2x+cos(2x- 3 ).( )求 f(x)的 最 小 正 周

20、期 ；( )求 f(x)在 (0， 2 )上 的 单 调 递 增 区 间 .解 析 ： ( )利 用 降 次 公 式 和 两 角 和 与 差 的 公 式 化 简 ， 化 为 y=Asin( x+ )的 形 式 ， 再 利 用周 期 公 式 求 函 数 的 最 小 正 周 期 ，( )最 后 将 内 层 函 数 看 作 整 体 ， 放 到 正 弦 函 数 的 增 区 间 上 ， 解 不 等 式 得 函 数 的 单 调 递 增 区 间 .答 案 ： ( )函 数 f(x)=2sin 2x+cos(2x- 3 ).化 简 可 得 ： f(x)=1-cos2x+ 12 cos2x+ 32 sin2x=

21、1+sin(2x- 6 ) 函 数 的 最 小 正 周 期 T= 22 = .( )由 2 2 22 6 2k x k ， k Z， 得 k - 6 3x +k . f(x)在 (0， 2 )上 的 单 调 递 增 区 间 为 (0， 3 .19.如 图 ， 已 知 三 棱 锥 P-ABC， PA 平 面 ABC， ACB=90 ， BAC=60 ， PA=AC， M为 PB 的中 点 . ( )求 证 ： PC BC.( )求 二 面 角 M-AC-B的 大 小 .解 析 ： ( )通 过 证 明 PA BC， BC AC.得 到 BC 面 PAC即 可( )取 AB 中 点 O， 连 结

22、MO、 过 O 作 HO AC 于 H， 连 结 MH， 因 为 M 是 PB 的 中 点 ， MHO 为二 面 角 M-AC-B 的 平 面 角 .在 Rt MHO中 ， 球 tan MHO即 可 .答 案 ： ( )证 明 ： 由 PA 平 面 ABC， PA BC，又 因 为 ACB=90 ， 即 BC AC. BC 面 PAC， PC BC.( )取 AB中 点 O， 连 结 MO、 过 O 作 HO AC于 H， 连 结 MH， 因 为 M 是 PB 的 中 点 ， 所 以 MOPA， 又 因 为 PA 面 ABC， MO 面 ABC. MHO为 二 面 角 M-AC-B 的 平 面

23、 角 .设 AC=2， 则 BC=2 3 ， MO=1， OH= 3 ，在 Rt MHO中 ， tan MHO= 33MOHO .二 面 角 M-AC-B 的 大 小 为 300.20.已 知 函 数 f(x)= 13 x 3-ax2+3x+b(a， b R). ( )当 a=2， b=0时 ， 求 f(x)在 0， 3上 的 值 域 .( )对 任 意 的 b， 函 数 g(x)=|f(x)|- 23 的 零 点 不 超 过 4个 ， 求 a的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )当 a=2， b=0时 ， 求 得 f(x)， 求 导 ， 利 用 导 数 求 得 f(x)单 调 区 间 ，

24、根 据 函 数 的 单调 性 即 可 求 得 0， 3上 的 值 域 ；( )由 f (x)=x2-2ax+3， 则 =4a2-12， 根 据 的 取 值 范 围 ， 利 用 韦 达 定 理 及 函 数 的 单 调 性 ，即 可 求 得 a的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )当 a=2， b=0 时 ， f(x)= 13 x 3-2x2+3x， 求 导 ， f (x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3)，当 x (0， 1)时 ， f (x) 0， 故 函 数 f(x)在 (0， 1)上 单 调 递 增 ，当 x (1， 3)时 ， f (x) 0， 故 函 数 f(x)在 (1， 3)

25、上 单 调 递 减 ，由 f(0)=f(0)=0， f(1)= 43 ， f(x)在 0， 3上 的 值 域 为 0， 43 ；( )由 f (x)=x2-2ax+3， 则 =4a2-12， 当 0， 即 a 2 3时 ， f (x) 0， f(x)在 R上 单 调 递 增 ， 满 足 题 意 ， 当 0， 即 a2 3时 ， 方 程 f (x)=0 有 两 根 ， 设 两 根 为 x1， x2， 且 x1 x2，则 x1+x2=2a， x1x2=3，则 f(x)在 (- ， x1)， (x2， + )上 单 调 递 增 ，在 (x1， x2)上 单 调 递 减 ，由 题 意 可 知 |f(x

26、1)-f(x2)| 43 ， | 3 31 23x x -a(x 12-x22)+3(x1-x2)| 43 ，化 简 得 ： 32 24 433 3a ， 解 得 ： 3 a2 4，综 合 ， 可 得 a2 4， 解 得 ： -2 a 2.a的 取 值 范 围 -2.2.21.已 知 点 A(-2， 0)， B(0， 1)在 椭 圆 C： 2 22 2x ya b =1(a b 0)上 . ( )求 椭 圆 C 的 方 程 ；( )P是 线 段 AB上 的 点 ， 直 线 y= 12 x+m(m 0)交 椭 圆 C于 M、 N两 点 ， 若 MNP是 斜 边 长 为 10的 直 角 三 角 形

27、 ， 求 直 线 MN的 方 程 . 解 析 ： ( )由 直 线 可 知 ： 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 ， 又 过 点 A， B， 即 可 求 得 a 和 b 的 值 ， 求 得椭 圆 方 程 ；( )将 直 线 方 程 代 入 椭 圆 方 程 ， 由 韦 达 定 理 及 弦 长 公 式 求 得 |MN|， 分 类 ， 当 MN 为 斜 边 时 ，210 5 10m ， 即 可 求 得 m=0， 满 足 题 意 ， 当 MN 为 直 角 边 时 ， 两 平 行 线 AB 与 MN 的 距离 d= 2 55 |m-1|， 利 用 勾 股 定 理 即 可 求 得 m的 值 ， 求 得

28、直 线 方 程 .答 案 ： ( )由 题 意 可 知 ： 椭 圆 C： 2 22 2x ya b =1(a b 0)焦 点 在 x轴 上 ， 由 点 A(-2， 0)， B(0，1)， 则 a=2， b=1， 椭 圆 的 标 准 方 程 ： 2 24x y =1；( )设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 则 2 212 14y x mx y ， 消 去 y， 整 理 得 12 x2+mx-1=0，则 =2-m 2 0， x1+x2=-2m， x1x2=2m2-2，则 |MN|= 21 25 10 52 x x m ， 当 MN为 斜 边 时 ， 210 5 10m ， 解 得 ：

29、 m=0，满 足 0，此 时 直 线 MN为 直 径 的 圆 方 程 为 x 2+y2= 52 ，点 A(-2， 0)B(0， 1)分 别 在 圆 外 和 圆 内 ， 即 在 线 段 AB上 存 在 点 P.此 时 直 线 MN的 方 程 诶 y= 12 x， 满 足 题 意 ， 当 MN为 直 角 边 时 ， 两 平 行 线 AB与 MN的 距 离 d= 52 |m-1|， d 2+|MN|2= 45 |m-1|2+(10-5m2)=10，即 21m2+8m-4=0， 解 得 ： m= 27 ， m=- 23 (舍 )，由 0， 则 m= 27 ，过 点 A作 直 线 MN： y= 1 22

30、 7x 的 垂 线 ， 可 得 满 足 坐 标 为 (-127 ， - 47 )， 垂 足 在 椭 圆 外 ，即 在 线 段 AB上 存 在 点 P， 直 线 MN 的 方 程 为 y= 1 22 7x ， 符 合 题 意 ，综 上 可 知 ： 直 线 MN 的 方 程 为 ： y= 12 x 或 y= 1 22 7x .22.已 知 数 列 an满 足 an 0， a1=2， 且 (n+1)an+12=nan2+an(n N*).( )证 明 ： an 1；( )证 明 ： 2 22 32 2 94 9 5na aa n (n 2).解 析 ： ( )根 据 数 列 的 递 推 关 系 可

31、得 (n+1)(a n+1+1)(an+1-1)=(an-1)(nan+n+1)， 再 根 据 an 0，可 得 an+1-1与 an-1同 号 ， 问 题 得 以 证 明 ，( ) 先 判 断 出 1 an 2 ， 再 得 到 an2 2 2nn ， n 2 ， 利 用 放 缩 法 得 到22 1 1 1 2 12 1 1 1nan n n n n n ， 再 分 别 取 n=2， 3， 以 及 n 4 即 可 证 明 .答 案 ： ( )由 题 意 得 (n+1)a n+12-(n+1)=nan2-n+an-1， (n+1)(an+1+1)(an+1-1)=(an-1)(nan+n+1)，

32、由 an 0， n N*， (n+1)(an+1+1) 0， nan+n+1 0， an+1-1 与 an-1同 号 ， a1-1=1 0， an 1；( )由 ( )知 ， 故 (n+1)an+12=nan2+an (n+1)an2， an+1 an， 1 an 2，又 由 题 意 可 得 an=(n+1)an+12-nan2， a 1=2a22-a12， a2=3a32-2a22， ， an=(n+1)an+12-nan2，相 加 可 得 a1+a2+ +an=(n+1)an+12-4 2n， an+12 2 41nn ， 即 an2 2 2nn ， n 2， 22 2 31 1 1 1 1 2 12 2 1 1 1nan n n n n n n n ， n 2，当 n=2时 ， 222 3 92 4 5a ，当 n=3时 ， 22 32 2 33 2 2 3 1 94 9 4 3 3 4 3 5aa ， 当 n 4 时 ，2 22 32 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 92 14 14 9 9 16 4 4 27 3 4 9 8 4 27 12 5na aa n ，从 而 ， 原 命 题 得 证 .