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2017年浙江省绍兴市高考一模试卷数学及答案解析.docx

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2017年浙江省绍兴市高考一模试卷数学及答案解析.docx

1、2017年浙江省绍兴市高考一模试卷数学一、选择题 (本题共 10个小题，每小题 4分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )1.已知集合 A=x R|x| 2， B=x R|x+1 0，则 A B=( )A.(-2， 1B.-1， 2)C.-1， + )D.(-2， + )解析：由题意知， A=x R|x| 2=x|-2 x 2=(-2， 2)，B=x R|x+1 0=x|x -1=-1， + )，则 A B=-1， 2). 答案：

2、 B2.已知 i 是虚数单位，复数 z= 12 i ，则 z z =( )A.25B.5C. 125D. 15解析： 1 2 22 2 2 5 5i iz i i i ， 22 22 2 1 15 5 5z z z . 答案： D3.已知 a， b 为实数，则 “ a=0” 是 “ f(x)=x2+a|x|+b为偶函数 ” 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析： a=0时， f(x)=x 2+b为偶函数，是充分条件，由 f

3、(-x)=(-x)2+a|-x|+b=f(x)，得 f(x)是偶函数，故 a=0” 是 “ f(x)=x2+a|x|+b为偶函数 ” 的充分不必要条件 .答案： A4.已知 a 0，且 a 1，若 ab 1，则 ( )A.ab bB.ab bC.a bD.a b 解析：当 a (0， 1)时，若 ab 1，则 b 0，则 a b不成立，当 a (1， + )时，若 ab 1，则 b 0，则 ab b 不成立， a b 不一定成立 .答案： A5.已知 p 0， q 0，随机变量的分布列如

4、下：若 E( )= 49 .则 p 2+q2=( )A.49B.12C.59D.1解析： p 0， q 0， E( )= 49 . 由随机变量的分布列的性质得： 1 49q ppq qp ，， p 2+q2=(q+p)2-2pq=1- 4 59 9 .答案： C6.已知实数 x， y 满足不等式组 3 02 4 00 x yx yy a ，，若 z=y-2x 的最大值为 7，则实数 a=( )A.-1B.1C.103 D.112解析：作出不等式组 3 02 4 00 x yx yy a ，，表示的

5、平面区域，如图所示：令 z=y-2x，则 z表示直线 z=y-2x在 y轴上的截距，截距越大， z 越大，结合图象可知，当 z=y-2x经过点 A 时 z 最大，由 2 73 0y xx y ，可知 A(-4， -1)， A(-4， -1)在直线 y+a=0上，可得 a=1.答案： B7.已知抛物线 y 2=2px(p 0)的焦点为 F，过点 M(p， 0)的直线交抛物线于 A， B 两点，若2AM MB ，则 AFBF =( )A.2B. 52C.2D.与 p

6、有关解析：设直线方程为 x=my+p，代入 y 2=2px，可得 y2-2pmy-2p2=0设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1+y2=2pm， y1y2=-2p2， 2AM MB ， (p-x1， -y1)=2(x2-p， y2)， x1=-2x2+p， y1=-2y2，可得 y2=p， y1=-2p， x2= 12 p， x1=2p， 2 121 1 522 2p pAF BF p p .答案： B 8.向量 a， b 满足 |a |=4， 0b a b ，若 | |a b 的最小值为 2( R)，则 a b =( )A.

8、-t)| f(t)-f(-t)C.存在 t 0， |f(1+t)+f(1-t)| f(1+t)+f(1-t)D.存在 t 0， |f(1+t)-f(1-t)| f(1+t)-f(1-t)解析： x 2-x3=x2(1-x)，当 x 1 时， x2-x3 0，当 x 1 时， x2-x3 0， f(x)= 23 11x xx x ，，若 t 1，则 |f(t)+f(-t)|=|t2+(-t)3|=|t2-t3|=t3-t2，|f(t)-f(-t)|=|t2+t3|=t2+t3，f(t)-f(-t)=t 2-(-t)3=t2+t3，若 0 t 1， |f(t)+f(-t)|=

9、|t3+(-t)3|=0，|f(t)-f(-t)|=|t3+t3|=2t3，f(t)-f(-t)=t3-(-t)3=2t3，当 t=1时， |f(t)+f(-t)|=|1+(-1)|=0，|f(t)-f(-t)|=|1-(-1)|=2，f(t)-f(-t)=1-(-1)=2，当 t 0 时， |f(t)+f(-t)| f(t)-f(-t)， |f(t)-f(-t)|=f(t)-f(-t)，故 A 错误， B 错误；当 t 0 时，令 g(t)=f(1+t)+f(1-t)=(1+t) 2+(1-t)3=-t3+4t2-t+2，则 g (t)=-3t2+8t-1，令 g (t)

10、=0 得 -3t2+8t-1=0， =64-12=52， g(t)有两个极值点 t1， t2， g(t)在 (t2， + )上为减函数，存在 t0 t2，使得 g(t0) 0， |g(t0)| g(t0)，故 C 正确；令 h(t)=(1+t)-f(1-t)=(1+t)2-(1-t)3=t3-2t2+5t，则 h (t)=3t2-4t+5=3 22 113 3t 0， h(t)在 (0， + )上为增函数， h(t) h(0)=0， |h(t)|=h(t)，即 |f(1+t)-f(1-t)|=f(1+t)-f(1-t)，故 D 错误 .答案：

11、 C10.如图，在正方体 ABCD-A 1B1C1D1中，棱 AB的中点为 P，若光线从点 P 出发，依次经三个侧面 BCC1B1， DCC1D1， ADD1A1反射后，落到侧面 ABB1A1(不包括边界 )，则入射光线 PQ与侧面 BCC1B1所成角的正切值的范围是 ( ) A.( 34 ， 54 )B.( 2 1717 ， 4)C. 2 1717D.( 33 510 ， 54 )解析：根据线面角的定义，当入射光线在面 BCC 1B1的入射点离

12、点 B 距离越近，入射光线 PQ与侧面 BCC1B1所成角的正切值越大，如图所示，此时 tan PHB= 32 ，结合选项，可得入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1所成角的正切值的范围是 ( 55 ， 32 ).答案： C二、填空题 (本大题共 7 小题，共 36 分 )11.双曲线 2 24 12x y =1 的焦点坐标为，离心率为 .解析：双曲线 2 24 12x y =1， c 2=a2+b2=4+12=16， c=4，双曲线 2

13、 24 12x y =1的焦点坐标为 (-4， 0)， (4， 0)，离心率 e= 42ca =2，答案： (-4， 0)， (4， 0)， 212.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为，体积为 . 解析：如图所示，该几何体为三棱锥， P-ABC，其中 PA 底面 ABC， AC BC， PA=2， AC=1，BC=2. 该几何体的表面积 S= 1 1 1 12 1 1 2 5 2 5 2 2 2 52 2 2 2 ，体积 V=1 1 22 1 23 2

14、3 .答案： 2 2 5 ， 2313.已知等差数列 a n，等比数列 bn的前 n项和为 Sn， Tn(n N*)，若 Sn= 23 12 2n n ， b1=a1，b2=a3，则 an= ， Tn= .解析： a1=2=b1，n 2 时， an=Sn-Sn-1= 223 1 3 11 12 2 2 2n n n n =3n-1.n=1时也成立， a n=3n-1.b2=a3=8，公比 q= 82 =4. Tn= 2 4 1 2 4 14 1 3n n .答案： 3n-1， 23 (4n-1)14.在 ABC 中，内角 A， B，

15、C所对的边分别为 a， b， c，已知 A= 4 ， b= 6 ， ABC的面积为 3 32 ，则 c= ， B= . 解析： A= 4 ， b= 6 ， ABC的面积为 3 3 1 1 2sin 62 2 2 2bc A c ，解得： c=1+ 3 ，由余弦定理可得： a= 2 2 2 cosb c bc A =2，可得： cosB= 2 2 2 12 2a c bac ， B (0， )， B= 3 .答案： 1+ 3 ， 315.将 3 个男同学和 3个女同学排成一列，若男同学甲与另外

16、两个男同学不相邻，则不同的排法种数为 .(用具体的数字作答 ) 解析：根据题意，分 2 种情况讨论：、 3个男同学均不相邻，将三名女同学全排列，有 A33=6种排法，排好后有 4 个空位，在 4 个空位中，任选 3 个，安排 3个男同学，有 A43=24种安排方法，此时共有 6 24=144种不同的排法；、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，考

17、虑 2 人的顺序，有 A22=2 种情况，将三名女同学全排列，有 A33=6 种排法，排好后有 4个空位，在 4 个空位中，任选 2 个，安排甲和这 2 个男同学，有 A 42=12种安排方法，此时共有 2 6 12=144 种不同的排法；则共有 144+144=288 种不同的排法 .答案： 28816.已知正实数 x， y满足 xy+2x+3y=42，则 xy+5x+4y的最小值为 .解析：正实数 x， y 满足 xy+2

18、x+3y=42， y= 42 23 xx 0， x 0，解得 0 x 21.则 xy+5x+4y=3x+y+42=3x+ 42 23 xx +42=3(x+3)+ 163 x +31 3 162 3 3x x +31=55，当且仅当 x=1， y=10时取等号 . xy+5x+4y的最小值为 55.答案： 55 17.已知 a， b R且 0 a+b 1，函数 f(x)=x2+ax+b 在 - 12 ， 0上至少存在一个零点，则 a-2b的取值范围为 .解析：由题意，要使函数 f(x)=x2+ax+b在区间

19、 - 12 ， 0有零点，只要 f(- 12 ) f(0) 0，或 20 1 01 1 1 02 4 21 02 24 0f bf a baa b ，，，，其对应的平面区域如下图所示：则当 a=1， b=-1时， a-2b取最大值 3，当 a=0， b=0时， a-2b取最小值 0，所以 a-2b 的取值范围为 0， 3.答案： 0， 3三、解答题 (本大题共 5 小题，共 74 分 )18.已知函数 f(x)=2sin 2x+cos(2x- 3 ).( )求 f(x)的最小正周

20、期；( )求 f(x)在 (0， 2 )上的单调递增区间 .解析： ( )利用降次公式和两角和与差的公式化简，化为 y=Asin( x+ )的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，( )最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间 .答案： ( )函数 f(x)=2sin 2x+cos(2x- 3 ).化简可得： f(x)=1-cos2x+ 12 cos2x+ 32 sin2x=

21、1+sin(2x- 6 ) 函数的最小正周期 T= 22 = .( )由 2 2 22 6 2k x k ， k Z，得 k - 6 3x +k . f(x)在 (0， 2 )上的单调递增区间为 (0， 3 .19.如图，已知三棱锥 P-ABC， PA 平面 ABC， ACB=90 ， BAC=60 ， PA=AC， M为 PB 的中点 . ( )求证： PC BC.( )求二面角 M-AC-B的大小 .解析： ( )通过证明 PA BC， BC AC.得到 BC 面 PAC即可( )取 AB 中点 O，连结

22、MO、过 O 作 HO AC 于 H，连结 MH，因为 M 是 PB 的中点， MHO 为二面角 M-AC-B 的平面角 .在 Rt MHO中，球 tan MHO即可 .答案： ( )证明：由 PA 平面 ABC， PA BC，又因为 ACB=90 ，即 BC AC. BC 面 PAC， PC BC.( )取 AB中点 O，连结 MO、过 O 作 HO AC于 H，连结 MH，因为 M 是 PB 的中点，所以 MOPA，又因为 PA 面 ABC， MO 面 ABC. MHO为二面角 M-AC-B 的平面

23、角 .设 AC=2，则 BC=2 3 ， MO=1， OH= 3 ，在 Rt MHO中， tan MHO= 33MOHO .二面角 M-AC-B 的大小为 300.20.已知函数 f(x)= 13 x 3-ax2+3x+b(a， b R). ( )当 a=2， b=0时，求 f(x)在 0， 3上的值域 .( )对任意的 b，函数 g(x)=|f(x)|- 23 的零点不超过 4个，求 a的取值范围 .解析： ( )当 a=2， b=0时，求得 f(x)，求导，利用导数求得 f(x)单调区间，

24、根据函数的单调性即可求得 0， 3上的值域；( )由 f (x)=x2-2ax+3，则 =4a2-12，根据的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得 a的取值范围 .答案： ( )当 a=2， b=0 时， f(x)= 13 x 3-2x2+3x，求导， f (x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3)，当 x (0， 1)时， f (x) 0，故函数 f(x)在 (0， 1)上单调递增，当 x (1， 3)时， f (x) 0，故函数 f(x)在 (1， 3)

25、上单调递减，由 f(0)=f(0)=0， f(1)= 43 ， f(x)在 0， 3上的值域为 0， 43 ；( )由 f (x)=x2-2ax+3，则 =4a2-12，当 0，即 a 2 3时， f (x) 0， f(x)在 R上单调递增，满足题意，当 0，即 a2 3时，方程 f (x)=0 有两根，设两根为 x1， x2，且 x1 x2，则 x1+x2=2a， x1x2=3，则 f(x)在 (- ， x1)， (x2， + )上单调递增，在 (x1， x2)上单调递减，由题意可知 |f(x

26、1)-f(x2)| 43 ， | 3 31 23x x -a(x 12-x22)+3(x1-x2)| 43 ，化简得： 32 24 433 3a ，解得： 3 a2 4，综合，可得 a2 4，解得： -2 a 2.a的取值范围 -2.2.21.已知点 A(-2， 0)， B(0， 1)在椭圆 C： 2 22 2x ya b =1(a b 0)上 . ( )求椭圆 C 的方程；( )P是线段 AB上的点，直线 y= 12 x+m(m 0)交椭圆 C于 M、 N两点，若 MNP是斜边长为 10的直角三角形

27、，求直线 MN的方程 . 解析： ( )由直线可知：椭圆的焦点在 x 轴上，又过点 A， B，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程；( )将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得 |MN|，分类，当 MN 为斜边时，210 5 10m ，即可求得 m=0，满足题意，当 MN 为直角边时，两平行线 AB 与 MN 的距离 d= 2 55 |m-1|，利用勾股定理即可求得 m的值，求得

28、直线方程 .答案： ( )由题意可知：椭圆 C： 2 22 2x ya b =1(a b 0)焦点在 x轴上，由点 A(-2， 0)， B(0，1)，则 a=2， b=1，椭圆的标准方程： 2 24x y =1；( )设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 2 212 14y x mx y ，消去 y，整理得 12 x2+mx-1=0，则 =2-m 2 0， x1+x2=-2m， x1x2=2m2-2，则 |MN|= 21 25 10 52 x x m ，当 MN为斜边时， 210 5 10m ，解得：

29、 m=0，满足 0，此时直线 MN为直径的圆方程为 x 2+y2= 52 ，点 A(-2， 0)B(0， 1)分别在圆外和圆内，即在线段 AB上存在点 P.此时直线 MN的方程诶 y= 12 x，满足题意，当 MN为直角边时，两平行线 AB与 MN的距离 d= 52 |m-1|， d 2+|MN|2= 45 |m-1|2+(10-5m2)=10，即 21m2+8m-4=0，解得： m= 27 ， m=- 23 (舍 )，由 0，则 m= 27 ，过点 A作直线 MN： y= 1 22

30、 7x 的垂线，可得满足坐标为 (-127 ， - 47 )，垂足在椭圆外，即在线段 AB上存在点 P，直线 MN 的方程为 y= 1 22 7x ，符合题意，综上可知：直线 MN 的方程为： y= 12 x 或 y= 1 22 7x .22.已知数列 an满足 an 0， a1=2，且 (n+1)an+12=nan2+an(n N*).( )证明： an 1；( )证明： 2 22 32 2 94 9 5na aa n (n 2).解析： ( )根据数列的递推关系可

31、得 (n+1)(a n+1+1)(an+1-1)=(an-1)(nan+n+1)，再根据 an 0，可得 an+1-1与 an-1同号，问题得以证明，( ) 先判断出 1 an 2 ，再得到 an2 2 2nn ， n 2 ，利用放缩法得到22 1 1 1 2 12 1 1 1nan n n n n n ，再分别取 n=2， 3，以及 n 4 即可证明 .答案： ( )由题意得 (n+1)a n+12-(n+1)=nan2-n+an-1， (n+1)(an+1+1)(an+1-1)=(an-1)(nan+n+1)，

32、由 an 0， n N*， (n+1)(an+1+1) 0， nan+n+1 0， an+1-1 与 an-1同号， a1-1=1 0， an 1；( )由 ( )知，故 (n+1)an+12=nan2+an (n+1)an2， an+1 an， 1 an 2，又由题意可得 an=(n+1)an+12-nan2， a 1=2a22-a12， a2=3a32-2a22，， an=(n+1)an+12-nan2，相加可得 a1+a2+ +an=(n+1)an+12-4 2n， an+12 2 41nn ，即 an2 2 2nn ， n 2， 22 2 31 1 1 1 1 2 12 2 1 1 1nan n n n n n n n ， n 2，当 n=2时， 222 3 92 4 5a ，当 n=3时， 22 32 2 33 2 2 3 1 94 9 4 3 3 4 3 5aa ，当 n 4 时，2 22 32 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 92 14 14 9 9 16 4 4 27 3 4 9 8 4 27 12 5na aa n ，从而，原命题得证 .

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