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    2017年浙江省绍兴市高考一模试卷数学及答案解析.docx

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    2017年浙江省绍兴市高考一模试卷数学及答案解析.docx

    1、2017年 浙 江 省 绍 兴 市 高 考 一 模 试 卷 数 学一 、 选 择 题 (本 题 共 10个 小 题 , 每 小 题 4分 , 共 40 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.已 知 集 合 A=x R|x| 2, B=x R|x+1 0, 则 A B=( )A.(-2, 1B.-1, 2)C.-1, + )D.(-2, + )解 析 : 由 题 意 知 , A=x R|x| 2=x|-2 x 2=(-2, 2),B=x R|x+1 0=x|x -1=-1, + ), 则 A B=-1, 2). 答 案 :

    2、 B2.已 知 i 是 虚 数 单 位 , 复 数 z= 12 i , 则 z z =( )A.25B.5C. 125D. 15解 析 : 1 2 22 2 2 5 5i iz i i i , 22 22 2 1 15 5 5z z z . 答 案 : D3.已 知 a, b 为 实 数 , 则 “ a=0” 是 “ f(x)=x2+a|x|+b为 偶 函 数 ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 : a=0时 , f(x)=x 2+b为 偶 函 数 , 是 充 分 条 件 ,由 f

    3、(-x)=(-x)2+a|-x|+b=f(x), 得 f(x)是 偶 函 数 ,故 a=0” 是 “ f(x)=x2+a|x|+b为 偶 函 数 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 : A4.已 知 a 0, 且 a 1, 若 ab 1, 则 ( )A.ab bB.ab bC.a bD.a b 解 析 : 当 a (0, 1)时 , 若 ab 1, 则 b 0, 则 a b不 成 立 ,当 a (1, + )时 , 若 ab 1, 则 b 0, 则 ab b 不 成 立 , a b 不 一 定 成 立 .答 案 : A5.已 知 p 0, q 0, 随 机 变 量 的 分 布 列 如

    4、 下 :若 E( )= 49 .则 p 2+q2=( )A.49B.12C.59D.1解 析 : p 0, q 0, E( )= 49 . 由 随 机 变 量 的 分 布 列 的 性 质 得 : 1 49q ppq qp , , p 2+q2=(q+p)2-2pq=1- 4 59 9 .答 案 : C6.已 知 实 数 x, y 满 足 不 等 式 组 3 02 4 00 x yx yy a , , 若 z=y-2x 的 最 大 值 为 7, 则 实 数 a=( )A.-1B.1C.103 D.112解 析 : 作 出 不 等 式 组 3 02 4 00 x yx yy a , , 表 示 的

    5、 平 面 区 域 , 如 图 所 示 : 令 z=y-2x, 则 z表 示 直 线 z=y-2x在 y轴 上 的 截 距 , 截 距 越 大 , z 越 大 ,结 合 图 象 可 知 , 当 z=y-2x经 过 点 A 时 z 最 大 ,由 2 73 0y xx y , 可 知 A(-4, -1), A(-4, -1)在 直 线 y+a=0上 , 可 得 a=1.答 案 : B7.已 知 抛 物 线 y 2=2px(p 0)的 焦 点 为 F, 过 点 M(p, 0)的 直 线 交 抛 物 线 于 A, B 两 点 , 若2AM MB , 则 AFBF =( )A.2B. 52C.2D.与 p

    6、有 关解 析 : 设 直 线 方 程 为 x=my+p, 代 入 y 2=2px, 可 得 y2-2pmy-2p2=0设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 y1+y2=2pm, y1y2=-2p2, 2AM MB , (p-x1, -y1)=2(x2-p, y2), x1=-2x2+p, y1=-2y2,可 得 y2=p, y1=-2p, x2= 12 p, x1=2p, 2 121 1 522 2p pAF BF p p .答 案 : B 8.向 量 a, b 满 足 |a |=4, 0b a b , 若 | |a b 的 最 小 值 为 2( R), 则 a b =( )A.

    7、0 B.4C.8D.16解 析 : 向 量 a, b 满 足 |a|=4, 0b a b , 即 2a b b .若 2 22 22 16 2| |a b a a b b a b a b 2( R),化 为 : 216 2 4a b a b 0对 于 R 恒 成 立 , = 24 6( ) (4 4)a b a b 0, 化 为 (a b -8) 2 0, a b =8.答 案 : C9.记 minx, y= y x yx x y , , , 设 f(x)=minx2, x3, 则 ( )A.存 在 t 0, |f(t)+f(-t)| f(t)-f(-t)B.存 在 t 0, |f(t)-f(

    8、-t)| f(t)-f(-t)C.存 在 t 0, |f(1+t)+f(1-t)| f(1+t)+f(1-t)D.存 在 t 0, |f(1+t)-f(1-t)| f(1+t)-f(1-t)解 析 : x 2-x3=x2(1-x), 当 x 1 时 , x2-x3 0, 当 x 1 时 , x2-x3 0, f(x)= 23 11x xx x , , 若 t 1, 则 |f(t)+f(-t)|=|t2+(-t)3|=|t2-t3|=t3-t2,|f(t)-f(-t)|=|t2+t3|=t2+t3,f(t)-f(-t)=t 2-(-t)3=t2+t3,若 0 t 1, |f(t)+f(-t)|=

    9、|t3+(-t)3|=0,|f(t)-f(-t)|=|t3+t3|=2t3,f(t)-f(-t)=t3-(-t)3=2t3,当 t=1时 , |f(t)+f(-t)|=|1+(-1)|=0,|f(t)-f(-t)|=|1-(-1)|=2,f(t)-f(-t)=1-(-1)=2, 当 t 0 时 , |f(t)+f(-t)| f(t)-f(-t), |f(t)-f(-t)|=f(t)-f(-t),故 A 错 误 , B 错 误 ;当 t 0 时 , 令 g(t)=f(1+t)+f(1-t)=(1+t) 2+(1-t)3=-t3+4t2-t+2,则 g (t)=-3t2+8t-1, 令 g (t)

    10、=0 得 -3t2+8t-1=0, =64-12=52, g(t)有 两 个 极 值 点 t1, t2, g(t)在 (t2, + )上 为 减 函 数 , 存 在 t0 t2, 使 得 g(t0) 0, |g(t0)| g(t0),故 C 正 确 ;令 h(t)=(1+t)-f(1-t)=(1+t)2-(1-t)3=t3-2t2+5t, 则 h (t)=3t2-4t+5=3 22 113 3t 0, h(t)在 (0, + )上 为 增 函 数 , h(t) h(0)=0, |h(t)|=h(t), 即 |f(1+t)-f(1-t)|=f(1+t)-f(1-t),故 D 错 误 .答 案 :

    11、 C10.如 图 , 在 正 方 体 ABCD-A 1B1C1D1中 , 棱 AB的 中 点 为 P, 若 光 线 从 点 P 出 发 , 依 次 经 三 个 侧面 BCC1B1, DCC1D1, ADD1A1反 射 后 , 落 到 侧 面 ABB1A1(不 包 括 边 界 ), 则 入 射 光 线 PQ与 侧 面 BCC1B1所 成 角 的 正 切 值 的 范 围 是 ( ) A.( 34 , 54 )B.( 2 1717 , 4)C. 2 1717D.( 33 510 , 54 )解 析 : 根 据 线 面 角 的 定 义 , 当 入 射 光 线 在 面 BCC 1B1的 入 射 点 离

    12、点 B 距 离 越 近 , 入 射 光 线 PQ与 侧 面 BCC1B1所 成 角 的 正 切 值 越 大 ,如 图 所 示 , 此 时 tan PHB= 32 , 结 合 选 项 , 可 得 入 射 光 线 PQ 与 侧 面 BCC1B1所 成 角 的 正 切 值 的 范 围 是 ( 55 , 32 ).答 案 : C二 、 填 空 题 (本 大 题 共 7 小 题 , 共 36 分 )11.双 曲 线 2 24 12x y =1 的 焦 点 坐 标 为 , 离 心 率 为 .解 析 : 双 曲 线 2 24 12x y =1, c 2=a2+b2=4+12=16, c=4, 双 曲 线 2

    13、 24 12x y =1的 焦 点 坐 标 为 (-4, 0), (4, 0),离 心 率 e= 42ca =2,答 案 : (-4, 0), (4, 0), 212.已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为 , 体 积为 . 解 析 : 如 图 所 示 , 该 几 何 体 为 三 棱 锥 , P-ABC, 其 中 PA 底 面 ABC, AC BC, PA=2, AC=1,BC=2. 该 几 何 体 的 表 面 积 S= 1 1 1 12 1 1 2 5 2 5 2 2 2 52 2 2 2 ,体 积 V=1 1 22 1 23 2

    14、3 .答 案 : 2 2 5 , 2313.已 知 等 差 数 列 a n, 等 比 数 列 bn的 前 n项 和 为 Sn, Tn(n N*), 若 Sn= 23 12 2n n , b1=a1,b2=a3, 则 an= , Tn= .解 析 : a1=2=b1,n 2 时 , an=Sn-Sn-1= 223 1 3 11 12 2 2 2n n n n =3n-1.n=1时 也 成 立 , a n=3n-1.b2=a3=8, 公 比 q= 82 =4. Tn= 2 4 1 2 4 14 1 3n n .答 案 : 3n-1, 23 (4n-1)14.在 ABC 中 , 内 角 A, B,

    15、C所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, 已 知 A= 4 , b= 6 , ABC的 面 积为 3 32 , 则 c= , B= . 解 析 : A= 4 , b= 6 , ABC的 面 积 为 3 3 1 1 2sin 62 2 2 2bc A c , 解 得 : c=1+ 3 , 由 余 弦 定 理 可 得 : a= 2 2 2 cosb c bc A =2, 可 得 : cosB= 2 2 2 12 2a c bac , B (0, ), B= 3 .答 案 : 1+ 3 , 315.将 3 个 男 同 学 和 3个 女 同 学 排 成 一 列 , 若 男 同 学 甲 与 另 外

    16、 两 个 男 同 学 不 相 邻 , 则 不 同 的 排 法 种 数 为 .(用 具 体 的 数 字 作 答 ) 解 析 : 根 据 题 意 , 分 2 种 情 况 讨 论 : 、 3个 男 同 学 均 不 相 邻 ,将 三 名 女 同 学 全 排 列 , 有 A33=6种 排 法 , 排 好 后 有 4 个 空 位 ,在 4 个 空 位 中 , 任 选 3 个 , 安 排 3个 男 同 学 , 有 A43=24种 安 排 方 法 ,此 时 共 有 6 24=144种 不 同 的 排 法 ; 、 另 外 两 个 男 同 学 相 邻 , 将 这 两 个 男 同 学 看 成 一 个 整 体 , 考

    17、 虑 2 人 的 顺 序 , 有 A22=2 种 情况 ,将 三 名 女 同 学 全 排 列 , 有 A33=6 种 排 法 , 排 好 后 有 4个 空 位 ,在 4 个 空 位 中 , 任 选 2 个 , 安 排 甲 和 这 2 个 男 同 学 , 有 A 42=12种 安 排 方 法 ,此 时 共 有 2 6 12=144 种 不 同 的 排 法 ; 则 共 有 144+144=288 种 不 同 的 排 法 .答 案 : 28816.已 知 正 实 数 x, y满 足 xy+2x+3y=42, 则 xy+5x+4y的 最 小 值 为 .解 析 : 正 实 数 x, y 满 足 xy+2

    18、x+3y=42, y= 42 23 xx 0, x 0, 解 得 0 x 21.则 xy+5x+4y=3x+y+42=3x+ 42 23 xx +42=3(x+3)+ 163 x +31 3 162 3 3x x +31=55,当 且 仅 当 x=1, y=10时 取 等 号 . xy+5x+4y的 最 小 值 为 55.答 案 : 55 17.已 知 a, b R且 0 a+b 1, 函 数 f(x)=x2+ax+b 在 - 12 , 0上 至 少 存 在 一 个 零 点 , 则 a-2b的 取 值 范 围 为 .解 析 : 由 题 意 , 要 使 函 数 f(x)=x2+ax+b在 区 间

    19、 - 12 , 0有 零 点 ,只 要 f(- 12 ) f(0) 0, 或 20 1 01 1 1 02 4 21 02 24 0f bf a baa b , , , , 其 对 应 的 平 面 区 域 如 下 图 所 示 : 则 当 a=1, b=-1时 , a-2b取 最 大 值 3,当 a=0, b=0时 , a-2b取 最 小 值 0,所 以 a-2b 的 取 值 范 围 为 0, 3.答 案 : 0, 3三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 , 共 74 分 )18.已 知 函 数 f(x)=2sin 2x+cos(2x- 3 ).( )求 f(x)的 最 小 正 周

    20、期 ;( )求 f(x)在 (0, 2 )上 的 单 调 递 增 区 间 .解 析 : ( )利 用 降 次 公 式 和 两 角 和 与 差 的 公 式 化 简 , 化 为 y=Asin( x+ )的 形 式 , 再 利 用周 期 公 式 求 函 数 的 最 小 正 周 期 ,( )最 后 将 内 层 函 数 看 作 整 体 , 放 到 正 弦 函 数 的 增 区 间 上 , 解 不 等 式 得 函 数 的 单 调 递 增 区 间 .答 案 : ( )函 数 f(x)=2sin 2x+cos(2x- 3 ).化 简 可 得 : f(x)=1-cos2x+ 12 cos2x+ 32 sin2x=

    21、1+sin(2x- 6 ) 函 数 的 最 小 正 周 期 T= 22 = .( )由 2 2 22 6 2k x k , k Z, 得 k - 6 3x +k . f(x)在 (0, 2 )上 的 单 调 递 增 区 间 为 (0, 3 .19.如 图 , 已 知 三 棱 锥 P-ABC, PA 平 面 ABC, ACB=90 , BAC=60 , PA=AC, M为 PB 的中 点 . ( )求 证 : PC BC.( )求 二 面 角 M-AC-B的 大 小 .解 析 : ( )通 过 证 明 PA BC, BC AC.得 到 BC 面 PAC即 可( )取 AB 中 点 O, 连 结

    22、MO、 过 O 作 HO AC 于 H, 连 结 MH, 因 为 M 是 PB 的 中 点 , MHO 为二 面 角 M-AC-B 的 平 面 角 .在 Rt MHO中 , 球 tan MHO即 可 .答 案 : ( )证 明 : 由 PA 平 面 ABC, PA BC,又 因 为 ACB=90 , 即 BC AC. BC 面 PAC, PC BC.( )取 AB中 点 O, 连 结 MO、 过 O 作 HO AC于 H, 连 结 MH, 因 为 M 是 PB 的 中 点 , 所 以 MOPA, 又 因 为 PA 面 ABC, MO 面 ABC. MHO为 二 面 角 M-AC-B 的 平 面

    23、 角 .设 AC=2, 则 BC=2 3 , MO=1, OH= 3 ,在 Rt MHO中 , tan MHO= 33MOHO .二 面 角 M-AC-B 的 大 小 为 300.20.已 知 函 数 f(x)= 13 x 3-ax2+3x+b(a, b R). ( )当 a=2, b=0时 , 求 f(x)在 0, 3上 的 值 域 .( )对 任 意 的 b, 函 数 g(x)=|f(x)|- 23 的 零 点 不 超 过 4个 , 求 a的 取 值 范 围 .解 析 : ( )当 a=2, b=0时 , 求 得 f(x), 求 导 , 利 用 导 数 求 得 f(x)单 调 区 间 ,

    24、根 据 函 数 的 单调 性 即 可 求 得 0, 3上 的 值 域 ;( )由 f (x)=x2-2ax+3, 则 =4a2-12, 根 据 的 取 值 范 围 , 利 用 韦 达 定 理 及 函 数 的 单 调 性 ,即 可 求 得 a的 取 值 范 围 .答 案 : ( )当 a=2, b=0 时 , f(x)= 13 x 3-2x2+3x, 求 导 , f (x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3),当 x (0, 1)时 , f (x) 0, 故 函 数 f(x)在 (0, 1)上 单 调 递 增 ,当 x (1, 3)时 , f (x) 0, 故 函 数 f(x)在 (1, 3)

    25、上 单 调 递 减 ,由 f(0)=f(0)=0, f(1)= 43 , f(x)在 0, 3上 的 值 域 为 0, 43 ;( )由 f (x)=x2-2ax+3, 则 =4a2-12, 当 0, 即 a 2 3时 , f (x) 0, f(x)在 R上 单 调 递 增 , 满 足 题 意 , 当 0, 即 a2 3时 , 方 程 f (x)=0 有 两 根 , 设 两 根 为 x1, x2, 且 x1 x2,则 x1+x2=2a, x1x2=3,则 f(x)在 (- , x1), (x2, + )上 单 调 递 增 ,在 (x1, x2)上 单 调 递 减 ,由 题 意 可 知 |f(x

    26、1)-f(x2)| 43 , | 3 31 23x x -a(x 12-x22)+3(x1-x2)| 43 ,化 简 得 : 32 24 433 3a , 解 得 : 3 a2 4,综 合 , 可 得 a2 4, 解 得 : -2 a 2.a的 取 值 范 围 -2.2.21.已 知 点 A(-2, 0), B(0, 1)在 椭 圆 C: 2 22 2x ya b =1(a b 0)上 . ( )求 椭 圆 C 的 方 程 ;( )P是 线 段 AB上 的 点 , 直 线 y= 12 x+m(m 0)交 椭 圆 C于 M、 N两 点 , 若 MNP是 斜 边 长 为 10的 直 角 三 角 形

    27、 , 求 直 线 MN的 方 程 . 解 析 : ( )由 直 线 可 知 : 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 , 又 过 点 A, B, 即 可 求 得 a 和 b 的 值 , 求 得椭 圆 方 程 ;( )将 直 线 方 程 代 入 椭 圆 方 程 , 由 韦 达 定 理 及 弦 长 公 式 求 得 |MN|, 分 类 , 当 MN 为 斜 边 时 ,210 5 10m , 即 可 求 得 m=0, 满 足 题 意 , 当 MN 为 直 角 边 时 , 两 平 行 线 AB 与 MN 的 距离 d= 2 55 |m-1|, 利 用 勾 股 定 理 即 可 求 得 m的 值 , 求 得

    28、直 线 方 程 .答 案 : ( )由 题 意 可 知 : 椭 圆 C: 2 22 2x ya b =1(a b 0)焦 点 在 x轴 上 , 由 点 A(-2, 0), B(0,1), 则 a=2, b=1, 椭 圆 的 标 准 方 程 : 2 24x y =1;( )设 M(x1, y1), N(x2, y2), 则 2 212 14y x mx y , 消 去 y, 整 理 得 12 x2+mx-1=0,则 =2-m 2 0, x1+x2=-2m, x1x2=2m2-2,则 |MN|= 21 25 10 52 x x m , 当 MN为 斜 边 时 , 210 5 10m , 解 得 :

    29、 m=0,满 足 0,此 时 直 线 MN为 直 径 的 圆 方 程 为 x 2+y2= 52 ,点 A(-2, 0)B(0, 1)分 别 在 圆 外 和 圆 内 , 即 在 线 段 AB上 存 在 点 P.此 时 直 线 MN的 方 程 诶 y= 12 x, 满 足 题 意 , 当 MN为 直 角 边 时 , 两 平 行 线 AB与 MN的 距 离 d= 52 |m-1|, d 2+|MN|2= 45 |m-1|2+(10-5m2)=10,即 21m2+8m-4=0, 解 得 : m= 27 , m=- 23 (舍 ),由 0, 则 m= 27 ,过 点 A作 直 线 MN: y= 1 22

    30、 7x 的 垂 线 , 可 得 满 足 坐 标 为 (-127 , - 47 ), 垂 足 在 椭 圆 外 ,即 在 线 段 AB上 存 在 点 P, 直 线 MN 的 方 程 为 y= 1 22 7x , 符 合 题 意 ,综 上 可 知 : 直 线 MN 的 方 程 为 : y= 12 x 或 y= 1 22 7x .22.已 知 数 列 an满 足 an 0, a1=2, 且 (n+1)an+12=nan2+an(n N*).( )证 明 : an 1;( )证 明 : 2 22 32 2 94 9 5na aa n (n 2).解 析 : ( )根 据 数 列 的 递 推 关 系 可

    31、得 (n+1)(a n+1+1)(an+1-1)=(an-1)(nan+n+1), 再 根 据 an 0,可 得 an+1-1与 an-1同 号 , 问 题 得 以 证 明 ,( ) 先 判 断 出 1 an 2 , 再 得 到 an2 2 2nn , n 2 , 利 用 放 缩 法 得 到22 1 1 1 2 12 1 1 1nan n n n n n , 再 分 别 取 n=2, 3, 以 及 n 4 即 可 证 明 .答 案 : ( )由 题 意 得 (n+1)a n+12-(n+1)=nan2-n+an-1, (n+1)(an+1+1)(an+1-1)=(an-1)(nan+n+1),

    32、由 an 0, n N*, (n+1)(an+1+1) 0, nan+n+1 0, an+1-1 与 an-1同 号 , a1-1=1 0, an 1;( )由 ( )知 , 故 (n+1)an+12=nan2+an (n+1)an2, an+1 an, 1 an 2,又 由 题 意 可 得 an=(n+1)an+12-nan2, a 1=2a22-a12, a2=3a32-2a22, , an=(n+1)an+12-nan2,相 加 可 得 a1+a2+ +an=(n+1)an+12-4 2n, an+12 2 41nn , 即 an2 2 2nn , n 2, 22 2 31 1 1 1 1 2 12 2 1 1 1nan n n n n n n n , n 2,当 n=2时 , 222 3 92 4 5a ,当 n=3时 , 22 32 2 33 2 2 3 1 94 9 4 3 3 4 3 5aa , 当 n 4 时 ,2 22 32 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 92 14 14 9 9 16 4 4 27 3 4 9 8 4 27 12 5na aa n ,从 而 , 原 命 题 得 证 .


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