2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学理及答案解析.docx

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1、2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (北 京 卷 )数 学 理一 、 选 择 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符 合 题 目 要求 的 一 项 .1.已 知 集 合 A=x|x| 2， B=-1， 0， 1， 2， 3， 则 A B=( )A.0， 1B.0， 1， 2C.-1， 0， 1D.-1， 0， 1， 2解 析 ： 集 合 A=x|x| 2=x|-2 x 2， B=-1， 0， 1， 2， 3， A B=-1， 0， 1.答 案 ： C. 2.若 x， y 满 足

2、 2 030 x yx yx ， 则 2x+y的 最 大 值 为 ( )A.0B.3C.4D.5解 析 ： 作 出 不 等 式 组 2 030 x yx yx ， 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： (阴 影 部 分 ). 设 z=2x+y 得 y=-2x+z，平 移 直 线 y=-2x+z，由 图 象 可 知 当 直 线 y=-2x+z经 过 点 A 时 ， 直 线 y=-2x+z的 截 距 最 大 ， 此 时 z最 大 .由 2 03x yx y ， 解 得 12xy ， ， 即 A(1， 2)，代 入 目 标 函 数 z=2x+y得 z=1 2+2=4. 即 目 标 函 数 z=2x

3、+y 的 最 大 值 为 4.答 案 ： C3.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 a 值 为 1， 则 输 出 的 k值 为 ( ) A.1B.2C.3D.4解 析 ： 输 入 的 a值 为 1， 则 b=1，第 一 次 执 行 循 环 体 后 ， a=- 12 ， 不 满 足 退 出 循 环 的 条 件 ， k=1；第 二 次 执 行 循 环 体 后 ， a=-2， 不 满 足 退 出 循 环 的 条 件 ， k=2；第 三 次 执 行 循 环 体 后 ， a=1， 满 足 退 出 循 环 的 条 件 ，故 输 出 的 k值 为 2.答 案 ： B 4.设 a

4、， b 是 向 量 ， 则 “ |a |=|b |” 是 “ |a +b |=|a -b |” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 若 “ |a |=|b |， 则 以 a ， b 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 ；若 “ |a +b|=|a -b |” ， 则 以 a ， b 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 ；故 “ |a |=|b |” 是 “ |a +b|=|a -b |” 的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 .答 案 ： D.

5、 5.已 知 x， y R， 且 x y 0， 则 ( )A. 1 1x y 0B.sinx-siny 0C.( 12 )x-( 12 )y 0D.lnx+lny 0解 析 ： x， y R， 且 x y 0， 则 1 1x y ， sinx与 siny的 大 小 关 系 不 确 定 ， ( 12 ) x ( 12 )y，即 ( 12 )x-( 12 )y 0， lnx+lny与 0 的 大 小 关 系 不 确 定 .答 案 ： C.6.某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 为 ( ) A. 16B. 13C. 12D.1解 析 ： 由 已 知 中

6、 的 三 视 图 可 得 ： 该 几 何 体 是 一 个 以 俯 视 图 为 底 面 的 三 棱 锥 ，棱 锥 的 底 面 面 积 S= 12 1 1= 12 ， 高 为 1， 故 棱 锥 的 体 积 V= 13 Sh= 16 .答 案 ： A7.将 函 数 y=sin(2x- 3 )图 象 上 的 点 P( 4 ， t)向 左 平 移 s(s 0)个 单 位 长 度 得 到 点 P ， 若 P 位 于 函 数 y=sin2x的 图 象 上 ， 则 ( ) A.t= 12 ， s 的 最 小 值 为 6B.t= 32 ， s 的 最 小 值 为 6C.t= 12 ， s 的 最 小 值 为 3

7、D.t= 32 ， s 的 最 小 值 为 3解 析 ： 将 x= 4 代 入 得 ： t=sin 6 = 12 ，将 函 数 y=sin(2x- 3 )图 象 上 的 点 P 向 左 平 移 s个 单 位 ， 得 到 P ( 4 -s， 12 )点 ，若 P 位 于 函 数 y=sin2x的 图 象 上 ， 则 sin( 2 -2s)=cos2s= 12 ， 则 2s= 3 +2k ， k Z， 则 s= 6 +k ， k Z，由 s 0 得 ： 当 k=0 时 ， s的 最 小 值 为 6 .答 案 ： A8.袋 中 装 有 偶 数 个 球 ， 其 中 红 球 、 黑 球 各 占 一 半

8、.甲 、 乙 、 丙 是 三 个 空 盒 .每 次 从 袋 中 任 意 取出 两 个 球 ， 将 其 中 一 个 球 放 入 甲 盒 ， 如 果 这 个 球 是 红 球 ， 就 将 另 一 个 放 入 乙 盒 ， 否 则 就 放 入丙 盒 .重 复 上 述 过 程 ， 直 到 袋 中 所 有 球 都 被 放 入 盒 中 ， 则 ( )A.乙 盒 中 黑 球 不 多 于 丙 盒 中 黑 球B.乙 盒 中 红 球 与 丙 盒 中 黑 球 一 样 多C.乙 盒 中 红 球 不 多 于 丙 盒 中 红 球D.乙 盒 中 黑 球 与 丙 盒 中 红 球 一 样 多 解 析 ： 取 两 个 球 共 有 4

9、 种 情 况 ： 红 +红 ， 则 乙 盒 中 红 球 数 加 1 个 ； 黑 +黑 ， 则 丙 盒 中 黑 球 数 加 1 个 ； 红 +黑 (红 球 放 入 甲 盒 中 )， 则 乙 盒 中 黑 球 数 加 1 个 ； 黑 +红 (黑 球 放 入 甲 盒 中 )， 则 丙 盒 中 红 球 数 加 1 个 .设 一 共 有 球 2a 个 ， 则 a 个 红 球 ， a 个 黑 球 ， 甲 中 球 的 总 个 数 为 a， 其 中 红 球 x 个 ， 黑 球 y个 ， x+y=a.则 乙 中 有 x个 球 ， 其 中 k个 红 球 ， j 个 黑 球 ， k+j=x；丙 中 有 y 个 球 ，

10、 其 中 l 个 红 球 ， i个 黑 球 ， i+l=y；黑 球 总 数 a=y+i+j， 又 x+y=a， 故 x=i+j由 于 x=k+j， 所 以 可 得 i=k， 即 乙 中 的 红 球 等 于 丙 中 的 黑 球 .答 案 ： B. 二 、 填 空 题 共 6小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 .9.设 a R， 若 复 数 (1+i)(a+i)在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 实 轴 上 ， 则 a= .解 析 ： (1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i，若 复 数 (1+i)(a+i)在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 实 轴 上 ， 则 a

11、+1=0， 解 得 ： a=-1. 答 案 ： -110.在 (1-2x)6的 展 开 式 中 ， x2的 系 数 为 .(用 数 字 作 答 )解 析 ： (1-2x)6的 展 开 式 中 ， 通 项 公 式 Tr+1= 6rC (-2x)r=(-2)r 6rC xr，令 r=2， 则 x2的 系 数 =(-2)2 26C =60.答 案 ： 60.11.在 极 坐 标 系 中 ， 直 线 cos - 3 sin -1=0 与 圆 =2cos 交 于 A， B 两 点 ， 则|AB|= . 解 析 ： 直 线 cos - 3 sin -1=0化 为 y 直 线 x- 3 y-1=0.圆 =2

12、cos 化 为 2=2 cos ， x2+y2=2x， 配 方 为 (x-1)2+y2=1， 可 得 圆 心 C(1， 0)， 半 径r=1.则 圆 心 C 在 直 线 上 ， |AB|=2.答 案 ： 2.12.已 知 an为 等 差 数 列 ， Sn为 其 前 n 项 和 .若 a1=6， a3+a5=0， 则 S6= .解 析 ： a n为 等 差 数 列 ， Sn为 其 前 n 项 和 .a1=6， a3+a5=0， a1+2d+a1+4d=0， 12+6d=0， 解 得 d=-2， S6=6a1+ 6 52 d=36-30=6.答 案 ： 613.双 曲 线 2 22 2x ya b

13、 =1(a 0， b 0)的 渐 近 线 为 正 方 形 OABC 的 边 OA， OC 所 在 的 直 线 ， 点 B为 该 双 曲 线 的 焦 点 .若 正 方 形 OABC的 边 长 为 2， 则 a= .解 析 ： 双 曲 线 的 渐 近 线 为 正 方 形 OABC的 边 OA， OC所 在 的 直 线 ， 渐 近 线 互 相 垂 直 ， 则 双 曲 线 为 等 轴 双 曲 线 ， 即 渐 近 线 方 程 为 y= x， 即 a=b， 正 方 形 OABC 的 边 长 为 2， OB=2 2 ， 即 c=2 2 ， 则 a2+b2=c2=8， 即 2a2=8， 则 a2=4， a=2

14、， 答 案 ： 214. 设 函 数 f(x)= 3 32x x x ax x a ， ， 若 a=0， 则 f(x)的 最 大 值 为 . 若 f(x)无 最 大 值 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 若 a=0， 则 f(x)= 3 3 0,2 0 x x xx x ， ，则 f (x)=3x 2-3， x 0-2， x 0，当 x -1 时 ， f (x) 0， 此 时 函 数 为 增 函 数 ，当 x -1 时 ， f (x) 0， 此 时 函 数 为 减 函 数 ，故 当 x=-1 时 ， f(x)的 最 大 值 为 2； f (x)=3x2-3， x a-2，

15、 x a，令 f (x)=0， 则 x= 1，若 f(x)无 最 大 值 ， 则 312 3a a a a ， ， 或 312 32 2a a a aa ， ， ， 解 得 ： a (- ， -1).答 案 ： 2 三 、 解 答 题 共 6小 题 ， 共 80 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 演 算 步 骤 或 证 明 过 程 .15. 在 ABC中 ， a2+c2=b2+ 2 ac.( )求 B的 大 小 ；( )求 2 cosA+cosC的 最 大 值 .解 析 ： ( )根 据 已 知 和 余 弦 定 理 ， 可 得 cosB= 22 ， 进 而 得 到 答 案 ；(

16、)由 (I)得 ： C= 34 -A， 结 合 正 弦 型 函 数 的 图 象 和 性 质 ， 可 得 2 cosA+cosC的 最 大 值 . 答 案 ： ( ) 在 ABC中 ， a2+c2=b2+ 2 ac. a2+c2-b2= 2 ac. cosB= 2 2 2 2 22 2 2a c b acac ac ， B= 4 .( )由 (I)得 ： C= 34 -A， 2 cosA+cosC= 2 cosA+cos( 34 -A)= 2 cosA- 22 cosA+ 22 sinA= 22 cosA+ 22 sinA= sin(A+ 4 ). A (0， 34 )， A+ 4 ( 4 ，

17、)，故 当 A+ 4 = 2 时 ， sin(A+ 4 )取 最 大 值 1， 即 2 cosA+cosC的 最 大 值 为 1.16.A， B， C 三 个 班 共 有 100 名 学 生 ， 为 调 查 他 们 的 体 育 锻 炼 情 况 ， 通 过 分 层 抽 样 获 得 了 部分 学 生 一 周 的 锻 炼 时 间 ， 数 据 如 表 (单 位 ： 小 时 )： ( )试 估 计 C 班 的 学 生 人 数 ；( )从 A班 和 C 班 抽 出 的 学 生 中 ， 各 随 机 选 取 一 个 人 ， A 班 选 出 的 人 记 为 甲 ， C 班 选 出 的 人记 为 乙 .假 设 所

18、 有 学 生 的 锻 炼 时 间 相 对 独 立 ， 求 该 周 甲 的 锻 炼 时 间 比 乙 的 锻 炼 时 间 长 的 概 率 ；( )再 从 A， B， C 三 班 中 各 随 机 抽 取 一 名 学 生 ， 他 们 该 周 锻 炼 时 间 分 别 是 7， 9， 8.25(单 位 ：小 时 )， 这 3个 新 数 据 与 表 格 中 的 数 据 构 成 的 新 样 本 的 平 均 数 记 为 1， 表 格 中 数 据 的 平 均 数记 为 0， 试 判 断 0和 1的 大 小 .(结 论 不 要 求 证 明 )解 析 ： (I)由 已 知 先 计 算 出 抽 样 比 ， 进 而 可

19、估 计 C 班 的 学 生 人 数 ；( )根 据 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 ， 可 求 出 该 周 甲 的 锻 炼 时 间 比 乙 的 锻 炼 时 间 长 的 概 率 ；( )根 据 平 均 数 的 定 义 ， 可 判 断 出 0 1.答 案 ： (I)由 题 意 得 ： 三 个 班 共 抽 取 20个 学 生 ， 其 中 C 班 抽 取 8 个 ，故 抽 样 比 K= 20 1100 5 ， 故 C 班 有 学 生 8 15 =40人 ，( )从 从 A班 和 C 班 抽 出 的 学 生 中 ， 各 随 机 选 取 一 个 人 ， 共 有 5 8=40种 情 况 ，而 且 这

20、 些 情 况 是 等 可 能 发 生 的 ，当 甲 锻 炼 时 间 为 6 时 ， 甲 的 锻 炼 时 间 比 乙 的 锻 炼 时 间 长 有 2 种 情 况 ；当 甲 锻 炼 时 间 为 6.5时 ， 甲 的 锻 炼 时 间 比 乙 的 锻 炼 时 间 长 有 3种 情 况 ；当 甲 锻 炼 时 间 为 7 时 ， 甲 的 锻 炼 时 间 比 乙 的 锻 炼 时 间 长 有 3 种 情 况 ；当 甲 锻 炼 时 间 为 7.5时 ， 甲 的 锻 炼 时 间 比 乙 的 锻 炼 时 间 长 有 3种 情 况 ；当 甲 锻 炼 时 间 为 8 时 ， 甲 的 锻 炼 时 间 比 乙 的 锻 炼

21、时 间 长 有 4 种 情 况 ；故 周 甲 的 锻 炼 时 间 比 乙 的 锻 炼 时 间 长 的 概 率 P= 2 3 3 3 4 340 8 ； ( ) 0 1.17.如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， 平 面 PAD 平 面 ABCD， PA PD， PA=PD， AB AD， AB=1， AD=2，AC=CD= 5 . ( )求 证 ： PD 平 面 PAB；( )求 直 线 PB 与 平 面 PCD所 成 角 的 正 弦 值 ；( )在 棱 PA上 是 否 存 在 点 M， 使 得 BM 平 面 PCD？ 若 存 在 ， 求 AMAP 的 值 ， 若 不 存 在 ， 说

22、 明理 由 .解 析 ： ( )由 已 知 结 合 面 面 垂 直 的 性 质 可 得 AB 平 面 PAD， 进 一 步 得 到 AB PD， 再 由 PDPA， 由 线 面 垂 直 的 判 定 得 到 PD 平 面 PAB；( )取 AD 中 点 为 O， 连 接 CO， PO， 由 已 知 可 得 CO AD， PO AD.以 O 为 坐 标 原 点 ， 建 立 空间 直 角 坐 标 系 ， 求 得 P(0， 0， 1)， B(1， 1， 0)， D(0， -1， 0)， C(2， 0， 0)， 进 一 步 求 出 向量 PB 、 PD、 PC的 坐 标 ， 再 求 出 平 面 PCD

23、的 法 向 量 n ， 设 PB 与 平 面 PCD 的 夹 角 为 ， 由 sin =|cos n ， PB |= n PBn PB 求 得 直 线 PB与 平 面 PCD所 成 角 的 正 弦 值 ；( )假 设 存 在 M 点 使 得 BM 平 面 PCD， 设 AMAP = ， M(0， y1， z1)， 由 AM AP 可 得 M(0，1- ， )， BM=(-1， - ， )， 由 BM 平 面 PCD， 可 得 BM n =0， 由 此 列 式 求 得 当 AMAP = 14时 ， M点 即 为 所 求 .答 案 ： ( ) 平 面 PAD 平 面 ABCD， 且 平 面 PAD

24、 平 面 ABCD=AD，且 AB AD， AB平 面 ABCD， AB 平 面 PAD， PD平 面 PAD， AB PD，又 PD PA， 且 PA AB=A， PD 平 面 PAB；( )取 AD 中 点 为 O， 连 接 CO， PO， CD=AC= 5 ， CO AD，又 PA=PD， PO AD.以 O 为 坐 标 原 点 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 ：则 P(0， 0， 1)， B(1， 1， 0)， D(0， -1， 0)， C(2， 0， 0)，则 PB=(1， 1， -1)， PD=(0， -1， -1)， PC=(2， 0， -1)， CD=(-2，

25、-1， 0)，设 n =(x 0， y0， 1)为 平 面 PCD的 法 向 量 ，则 由 00n PDn PC ， 得 00 1 02 1 0yx ， 则 n =( 12 ， -1， 1).设 PB与 平 面 PCD的 夹 角 为 ， 则 sin =|cos n ， PB |= n PBn PB = 1 1 121 1 1 34 = 33 ；( )假 设 存 在 M点 使 得 BM 平 面 PCD， 设 AMAP = ， M(0， y 1， z1)，由 ( )知 ， A(0， 1， 0)， P(0， 0， 1)， AP =(0， -1， 1)， B(1， 1， 0)， AM =(0， y1-

26、1， z1)，则 有 AM AP ， 可 得 M(0， 1- ， )， BM=(-1， - ， )， BM 平 面 PCD， n =( 12 ， -1， 1)为 平 面 PCD 的 法 向 量 ， BM n =0， 即 - 12 + + =0，解 得 = 14 .综 上 ， 存 在 点 M， 即 当 14AMAP 时 ， M 点 即 为 所 求 . 18.设 函 数 f(x)=xea-x+bx， 曲 线 y=f(x)在 点 (2， f(2)处 的 切 线 方 程 为 y=(e-1)x+4，( )求 a， b 的 值 ； ( )求 f(x)的 单 调 区 间 .解 析 ： ( )求 函 数 的

27、导 数 ， 根 据 导 数 的 几 何 意 义 求 出 函 数 的 切 线 斜 率 以 及 f(2)， 建 立 方 程组 关 系 即 可 求 a， b 的 值 ；( )求 函 数 的 导 数 ， 利 用 函 数 单 调 性 和 导 数 之 间 的 关 系 即 可 求 f(x)的 单 调 区 间 .答 案 ： ( ) y=f(x)在 点 (2， f(2)处 的 切 线 方 程 为 y=(e-1)x+4， 当 x=2时 ， y=2(e-1)+4=2e+2， 即 f(2)=2e+2，同 时 f (2)=e-1， f(x)=xe a-x+bx， f (x)=ea-x-xea-x+b，则 22 22 2

28、 2 2 22 2 1aa af e b ef e e b e ， ， 即 a=2， b=e.( ) a=2， b=e； f(x)=xe2-x+ex， f (x)=e2-x-xe2-x+e=(1-x)e2-x+e， f (x)=-e2-x-(1-x)e2-x=(x-2)e2-x，由 f (x) 0 得 x 2， 由 f (x) 0 得 x 2，即 当 x=2时 ， f (x)取 得 极 小 值 f (2)=(1-2)e 2-2+e=e-1 0， f (x) 0 恒 成 立 ， 即 函 数 f(x)是 增 函 数 ， 即 f(x)的 单 调 区 间 是 (- ， + ).19. 已 知 椭 圆

29、C： 2 22 2x ya b =1(a 0， b 0)的 离 心 率 为 32 ， A(a， 0)， B(0， b)， O(0， 0)， OAB的 面 积 为 1.( )求 椭 圆 C 的 方 程 ；( )设 P 是 椭 圆 C 上 一 点 ， 直 线 PA与 y轴 交 于 点 M， 直 线 PB与 x 轴 交 于 点 N.求 证 ： |AN| |BM|为 定 值 .解 析 ： ( )运 用 椭 圆 的 离 心 率 公 式 和 三 角 形 的 面 积 公 式 ， 结 合 a， b， c 的 关 系 ， 解 方 程 可 得a=2， b=1， 进 而 得 到 椭 圆 方 程 ； ( )设 椭 圆

30、 上 点 P(x0， y0)， 可 得 x02+4y02=4， 求 出 直 线 PA 的 方 程 ， 令 x=0， 求 得 y， |BM|；求 出 直 线 PB的 方 程 ， 令 y=0， 可 得 x， |AN|， 化 简 整 理 ， 即 可 得 到 |AN| |BM|为 定 值 4.答 案 ： ( )由 题 意 可 得 e= 32ca ，又 OAB的 面 积 为 1， 可 得 12 ab=1， 且 a2-b2=c2， 解 得 a=2， b=1， c= 3 ，可 得 椭 圆 C的 方 程 为 2 24x y =1；( )设 椭 圆 上 点 P(x 0， y0)，可 得 x02+4y02=4，直

31、 线 PA： y= 00 2yx (x-2)， 令 x=0， 可 得 y= 002 2yx ， 则 |BM|=|1+ 002 2yx |；直 线 PB： y=y0-1x0 x+1， 令 y=0， 可 得 x=-x0y0-1， 则 |AN|=|2+ 00 1xy |. 可 得 |AN| |BM|=|2+ 00 1xy | |1+ 002 2yx |= 20 00 02 22 1x yx y = 2 20 0 0 0 0 00 0 0 04 4 4 4 82 2x y x y x yx y x y = 0 0 0 00 0 0 08 4 4 82 2x y x yx y x y =4，即 有 |A

32、N| |BM|为 定 值 4.20.设 数 列 A： a 1， a2， ， aN (N 2).如 果 对 小 于 n(2 n N)的 每 个 正 整 数 k 都 有 ak an，则 称 n是 数 列 A的 一 个 “ G 时 刻 ” ， 记 G(A)是 数 列 A 的 所 有 “ G时 刻 ” 组 成 的 集 合 .( )对 数 列 A： -2， 2， -1， 1， 3， 写 出 G(A)的 所 有 元 素 ；( )证 明 ： 若 数 列 A中 存 在 an使 得 an a1， 则 G(A) ；( )证 明 ： 若 数 列 A满 足 an-an-1 1(n=2， 3， ， N)， 则 G(A)

33、的 元 素 个 数 不 小 于 aN-a1.解 析 ： ( )结 合 “ G时 刻 ” 的 定 义 进 行 分 析 ；( )可 以 采 用 假 设 法 和 递 推 法 进 行 分 析 ；( )可 以 采 用 假 设 法 和 列 举 法 进 行 分 析 .答 案 ： ( )根 据 题 干 可 得 ， a 1=-2， a2=2， a3=-1， a4=1， a5=3， a1 a2满 足 条 件 ， 2 满 足 条 件 ，a2 a3不 满 足 条 件 ， 3不 满 足 条 件 ，a2 a4不 满 足 条 件 ， 4 不 满 足 条 件 ， a1， a2， a3， a4， 均 小 于 a5， 因 此 5

34、满 足 条 件 ， 因 此 G(A)=2，5.( )因 为 存 在 an a1， 设 数 列 A中 第 一 个 大 于 a1的 项 为 ak， 则 ak a1 ai， 其 中 2 i k-1，所 以 k G(A)， G(A) ；( )设 A 数 列 的 所 有 “ G时 刻 ” 为 i1 i2 L ik，对 于 第 一 个 “ G时 刻 ” i 1， 有 1ia a1 ai(i=2， 3， L， i1-1)， 则 1ia -ai 1ia - 1ia -1 1.对 于 第 二 个 “ G时 刻 ” i1， 有 ai2 1ia ai(i=2， 3， L， i1-1)， 则 2ia - 1ia 2ia - 2ia -1 1.类 似 的 3ia - 2ia 1， ， kia - kia -1 1.于 是 ， k ( kia - kia -1)+( kia -1- kia -2)+L+( 2ia - 1ia )+( 1ia -a1)= kia -a1.对 于 a N， 若 N G(A)， 则 kia =aN.若 N-G(A)， 则 aN kia ， 否 则 由 (2)知 kia ， kia +1， L， aN， 中 存 在 “ G 时 刻 ” 与 只 有 k 个 “ G时 刻 ” 矛 盾 .从 而 k kia -a1 aN-a1.