【考研类试卷】考研数学二-256及答案解析.doc

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1、考研数学二-256 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设常数 a，b 满足是 则（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 n(3)维向量 1=(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，a，1)T， n=(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a=（分数：4.00）A.1B.-1C.1-nD.n-13.设常数 0a1，区域 D由 x轴，y 轴，直线 x+y=a以及 x+y=1围成记 （分数：4.00）A.B.C.D.4.微分方程 y“+9y=x+cos3x的特解可设为（分数

2、：4.00）A.ax+b+x(Acos3x+Bsin3x)B.x(ax+b+Acos3x+Bsin3x)C.ax+b+Acos3xD.ax+b+Asin3x5.（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 0 是常数， （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x，y)在点 P0(x0，y 0)的某邻域内有连续的二阶偏导数，又记A=f“xx(x0，y 0)，B=f“ zy(x0，y 0)，C=f“ yy(x0，y 0)则下列命题中错误的是（分数：4.00）A.若 f(x0，y 0)是极值，则 AC-B20B.若 fx(x0，y 0)0，则 f(x0，

3、y 0)不是极值C.若 AC-B20，则 f(x0，y 0)是极值D.若 f(x0，y 0)是极小值，则 fx(x0，y 0)=0且 A0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. 则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(1)=a，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.已知当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 f(x)(x0，+)为非负连续函数，且满足 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知 A是 4阶实对称矩阵，满足 A4-3A2=4E若秩 r(A-2E)=1则二次型 xTAx的规范形是_（分数：4.00）

4、填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)在 x=0处二阶可导，()求 f(0)与 f“(0)；()求 （分数：10.00）_16.求下列积分值：()() （分数：10.00）_17.设()求证： （分数：10.00）_18.设 b0，求 x0(0，b)，使得由曲线 ，过点 的曲线 （分数：10.00）_19.设有区域 D：x 2+y2y，x0，f(x，y)在 D上连续，且（分数：10.00）_20.设 u=u(x，t)有二阶连续偏导数，并满足其中 a0 为常数()作自变量代换 （分数：10.00）_21.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 f(0)

5、0，f(1)1， 求证：至少 （分数：10.00）_22.设 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，b) T， 3=(-3，-1，a，-9) T，=(1，3，10，a+b) T问：()当 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；()当 a，b 取何值时， 能由 1, 2, 3线性表出，并写出此时的表达式（分数：10.00）_23.设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1= 2=6是 A的二重特征值若 1=(1，a，0)， 2=(2，1，1)， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A属于特征值 6的特征向量()求 a的值；()求 A的另一特征值和对应的特征向量；()若 =(

6、-2，2，-1)T，求 An（分数：10.00）_考研数学二-256 答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设常数 a，b 满足是 则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析一 *选(A)分析二 用带皮亚诺余项的麦克劳公式*其中*因此*2.设 n(3)维向量 1=(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，a，1)T， n=(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a=（分数：4.00）A.1B.-1C.1-n D.n-1解析：分析 令*对 A作初等行变换，把第 1行的-1

7、倍依次加至第 2，3，,n 各行，又因 r(A)=n-1，显然有 a1把2，3，n 行约去 1-a后再加至第 1行就有*注 由于矩阵 A是实对称矩阵，必有*如果你能快捷地求出矩阵 A的特征值，那么通过*可以很快地求出 a3.设常数 0a1，区域 D由 x轴，y 轴，直线 x+y=a以及 x+y=1围成记 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 在区域 D上有 ln3(x+y)0sin 2(x+y)(x+y)，且它们互不恒等，连续，因此，它们在 D上的积分值满足*应选(B)4.微分方程 y“+9y=x+cos3x的特解可设为（分数：4.00）A.ax+b+x(Acos3x+Bsin3x)

8、 B.x(ax+b+Acos3x+Bsin3x)C.ax+b+Acos3xD.ax+b+Asin3x解析：分析 相应的齐次方程的特征方程 2+9=0的特征根为 =3i由线性方程解的叠加原理，分别考察方程y“+9y=x 与y“+9y=cos3x 显然，0 不是特征根，有特解 y1=ax+b注意 cos3x=ex (acos+bsinx)，=0，=3，a=1，b=0，i 是特征根，于是有特解y*2=x(Acos3x+Bsin3x)因此，原方程有特解*选(A)5.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 *分析二 *分析三 令*6.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由 B

9、C，A(B-c)=O，知齐次方程组 Ax=0有非零解而 Ax=0有非零解的充分必要条件是秩r(A)n*当 a=7时，r(A)3但当 r(A)3 时，a 亦可为 1，所以 a=7是充分而非必要条件评注 本题考查若 AB=O，则 B的列向量是齐次方程组 Ax=0的解，以及Ax=0有非零解的充分必要条件7.设 0 是常数， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 显然，f(x)在(0，)连续先考察*及*由连续函数零点定理*在(0，)存在零点再求*单调下降因此 f(x)在(0，)只有一个零点选(B)8.设 f(x，y)在点 P0(x0，y 0)的某邻域内有连续的二阶偏导数，又记A=f“xx(x

10、0，y 0)，B=f“ zy(x0，y 0)，C=f“ yy(x0，y 0)则下列命题中错误的是（分数：4.00）A.若 f(x0，y 0)是极值，则 AC-B20B.若 fx(x0，y 0)0，则 f(x0，y 0)不是极值C.若 AC-B20，则 f(x0，y 0)是极值 D.若 f(x0，y 0)是极小值，则 fx(x0，y 0)=0且 A0解析：分析一 f(x，y)在点 P0(x0，y 0)某邻域有连续二阶偏导数条件下，f(x，y)在 P0取极值的必要条件是：f x(x0，y 0)=fx(x0，y 0)=0且 AC-B20(否则 AC-B20，则 f(x0，y 0)不是极值点)于是(A

11、)，(B)正确*因此，选(C)分析二在所述条件下，(C)中缺少必要条件：f x(x0，y 0)=fy(x0，y 0)=0，所以(C)是错误的例如，f(x，y)=x 2+y2，x 0=y0=1，满足 AC-B20，但 f(1，1)=2 不是它的极值二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e-1）解析：分析 *又*因此*评注 若对 yn作恒等变形，这是求等比数列的和按公式得*其中*10.设 f(1)=a，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a）解析：分析 *11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析

12、 *12.已知当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：分析 确定 n0 使得下面的极限存在且不为 0*其中*应填 n=613.已知 f(x)(x0，+)为非负连续函数，且满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 注意*于是原方程改写成*积分得*最后得*14.已知 A是 4阶实对称矩阵，满足 A4-3A2=4E若秩 r(A-2E)=1则二次型 xTAx的规范形是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 设 A=，0，由 A4-3A2=4E有( 4-3 2-4)=0，0从而 4-3 2-4=0亦即( 2+1)( 2-4

13、)=0因为实对称矩阵特征值必是实数故 A的特征值是 2或-2由 r(A-2E)=1那么 n-r(A-2E)=4-1=3说明齐次方程组(2E-A)x=0 有 3个线性无关的解亦即 =2 有 3个线性无关的特征向量故矩阵 A的特征值是 2，2，2，-2三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)在 x=0处二阶可导，()求 f(0)与 f“(0)；()求 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 ()因为*由极限与无穷小的关系得*再由泰勒公式唯一性得：f(0)=0，f(0)=0，f“(0)=A或由*)解析：16.求下列积分值：()() （分数：10.00）_正确答案：(分析与求

14、解 ()解法一 三角函数代换去根号*再用分解法cost=A(cost+sint)+B(cost+sint)=(A+B)cost+(A-B)sint取 A，B 满足 A+B=1，A-B=0，即*解法二 作上述三角函数代换后，再作代换*两式相加得*解法三 作上述三角函数代换后，再转化为有理式的积分*()*)解析：17.设()求证： （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 ()由变限积分求导法得f(x)=(arcsin|sinx|)2sinxcosx-(arccos|cosx|)2sinxcosx=2sinzcosx(arcsin|sinx|-arccos|cosx|)记 =arcsin|si

15、nx|，=arccos|cosx|，下证 =*()解法一 *解法二 *解法三 最简单的方法应选择*)解析：18.设 b0，求 x0(0，b)，使得由曲线 ，过点 的曲线 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 曲线*的切线方程是*即*其中 t(0，6)所求问题等价于求此切线与直线 x=b，y 轴和 x轴所围成平面图形绕 z轴旋转一周所得旋转体的体积的最小值点即求*在(0，b)的最小值点求 V(t)*时 V(t)取(0，b)的最小值因此，所求的*)解析：19.设有区域 D：x 2+y2y，x0，f(x，y)在 D上连续，且（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 *它是常数，求 f(x

16、，y)归结为求 A因*两边在区域 D上积分得*D的极坐标表示：*于是*因此*)解析：20.设 u=u(x，t)有二阶连续偏导数，并满足其中 a0 为常数()作自变量代换 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 ()由复合函数求导法得*()由()中的，式得*即*()把式写成*是连续可微的任意函数，再对 积分一次，并注意到积分常数可依赖 ，于是得u=f()+g()其中 f()和 g()是二次连续可微的*函数，回到变量 x，t 得u(x，t)=f(x-at)+g(x+at)解析：21.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 f(0)0，f(1)1， 求证：至少 （分数：10.00）_正

17、确答案：(分析 即证明*由此，只需研究*在0，1或0，1内的某个闭区间上是否满足罗尔定理的条件函数 F(x)在这样的闭区间上连续，开区间内可导是明显的，从而关键是验证函数 F(x)在0，1内某两点函数值相等，为此又只须验证函数*上某两点处取值为零证明 g(0)=f(Q)0，g(1)=f(1)-10*即 g()=f()-0*在 1， 2上可对 F(x)用罗尔定理*，即f()+ 2(f()-)=1)解析：22.设 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，b) T， 3=(-3，-1，a，-9) T，=(1，3，10，a+b) T问：()当 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性

18、表出；()当 a，b 取何值时， 能由 1, 2, 3线性表出，并写出此时的表达式（分数：10.00）_正确答案：(设 x1 1+x2 2+x3 3=，对增广矩阵*作初等行变换得*()当 a-6 且 a+2b4 时*方程组无解， 不能由 1， 2， 3线性表出()当 a=-6时*若 b=5方程组有无穷多解令 x3=t得 x2=t-1，x 1=2t+2即 =(2t+2) 1+(t-1) 2+ta3t 为任意常数若 b5方程组有唯一解 x1=6，x 2=1，x 3=2即 =6 1+ 2+2 3)解析：23.设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1= 2=6是 A的二重特征值若 1=(1，a，0)，

19、2=(2，1，1)， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A属于特征值 6的特征向量()求 a的值；()求 A的另一特征值和对应的特征向量；()若 =(-2，2，-1)T，求 An（分数：10.00）_正确答案：()对于实对称矩阵 A，若 是矩阵 A的 k重特征值，则矩阵 A属于特征值 的特征向量有且只有 k个是线性无关的因此 1， 2， 3必线性相关，那么*故 a=1()由秩 r(A)=2，知|A|=0，又*，所以 A的另一个特征值是 3=0由题设 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T为 A的属于特征值 6的线性无关的特征向量设 A属于特征值 0的特征向量为=(x 1，x 2，x 3

20、)T，于是*解得此方程组的基础解系为 =(-1，1，1) T那么矩阵 A属于特征值 3=0的全部特征向量为 k=k(-1，1，1) T (k为任意非零常数)()设 x1 1+x2 2+x3=，对( 1， 2，|)作初等行变换，有*解出 x1=3，x 2=-2，x 3=1故 =3 1-2 2+因为 A 1=6 1，A 2=6 2，A=0 所以An=3A n 1-2An 2+An=36 n 1-26n 2=(-6n，6 n，-26 n)T)解析：评注 本题考查实对称矩阵特征值、特征向量的性质如果 是矩阵 A的 k重特征值，那么 至多有 k个线性无关的特征向量，而作为实对称矩阵，则 k重特征值必有 k个线性无关的特征向量，从而保证本题中 1， 2， 3一定线性相关，可求出 a；要掌握实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交这一性质本题亦可由 A( 1， 2，)=(6 1，6 2，0)，先求出矩阵 A然后利用 AA=*而求出 An=PAnP-1其中 P=( 1， 2，)再来计算 An