【考研类试卷】考研数学二-205及答案解析.doc
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1、考研数学二-205 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.以下四个命题:(i)在闭区间a,b上定义的连续函数 f(x)其值域必为闭区间(ii)若在闭区间a,b上定义的函数 f(x)其值域是闭区间,则 f(x)是a,b上的连续函数(iii)若 f(x)在点 x=x0两侧异号,则 x=x0是 f(x)的极值点(iV)若 f“(x0)=0 且 f(x)在 x=x0两侧异号,则 x=x0是 f(x)的极值点其中正确的是 ( )(A) (i)(ii) (B) (i)(iii) (D) (ii)(iii) (D) iV(分数:4.00)A.B.
2、C.D.2.若 A0,B0 为常数,C 1,C 2为任意常数,则微分方程 y“+k2y=cosx 的通解具有形式 ( )(分数:4.00)A.C1coskx+C2sinkx+Asinx+BcosxB.C1coskx+C2sinkx+AxeosxC.C1coskx+C2sinkx+AxsinxD.C1coskx+C2sinkx+Axcosx+Bxcosx3.曲线 (分数:4.00)A.B.C.D.4.设 ,则 F(x)等于 ( )(分数:4.00)A.B.C.D.5.曲线 (x0)在点 P 处作切线,使该切线与曲线 及 x 轴围成平面图形面积 ,则切点 P 的坐标为 ( )(分数:4.00)A.
3、B.C.D.6.设 A,B 都是 n 阶可逆矩阵,则必有 ( )(分数:4.00)A.A+B 可逆B.|A|=|B|C.A 经过行的初等变换可变为 BD.7. 等于 ( )(分数:4.00)A.B.C.D.8.设 A 为正交矩阵,则下列矩阵中不一定是正交矩阵的是 ( )(分数:4.00)A.ATB.A2C.A*D.kA(k0)二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 ,则 在点(2, (分数:4.00)填空项 1:_10.曲线 在 (分数:4.00)填空项 1:_11.将一根长为 l 的铁丝分为两段,分别构成圆形和正方形,若记圆的面积为 S1,正方形的面积为 S2,则当 S1+S2最小
4、时, (分数:4.00)填空项 1:_12. (分数:4.00)填空项 1:_13.设 ,则 (分数:4.00)填空项 1:_14.A=(aij)33满足 aij=Aij(i,j=1,2,3),且 a110,则|A|等于_(分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求曲线 (分数:10.00)_16.求极限 (分数:11.00)_17.(i)设曲线 y=f(x)0(xa,b)在a,b上的曲边梯形垂直立于某种液体(比重为 )中,y 轴与液面相齐,求液体对曲边梯形的侧压力(ii)取 ,f(x)=sinx 时,求相应曲边梯形的侧压力(分数:9.00)_18.设 y
5、=f(x)在0,1连续,(0,1)可导,f(0)=f(1)=0, (分数:10.00)_19.计算积分 (分数:10.00)_20.用变换 能够把方程 ,化简为 (分数:11.00)_21.讨论函数 (分数:11.00)_22.将 4 维线性无关向量组: 1=(0,0,1,0) T, 2=(0,0,0,1) T, 3=(1,2,0,-1)T, 4=(0,1,-1,0) T正交化,单位化(分数:11.00)_23.设 A 是 n 阶矩阵,A=E+ T,其中 , 都是 n 维列向量,且 T=3,求 A 的特征值,特征向量(分数:11.00)_考研数学二-205 答案解析(总分:150.00,做题时
6、间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.以下四个命题:(i)在闭区间a,b上定义的连续函数 f(x)其值域必为闭区间(ii)若在闭区间a,b上定义的函数 f(x)其值域是闭区间,则 f(x)是a,b上的连续函数(iii)若 f(x)在点 x=x0两侧异号,则 x=x0是 f(x)的极值点(iV)若 f“(x0)=0 且 f(x)在 x=x0两侧异号,则 x=x0是 f(x)的极值点其中正确的是 ( )(A) (i)(ii) (B) (i)(iii) (D) (ii)(iii) (D) iV(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 连续函数性质与极值的判定答案解析 (
7、i)不正确,反例:f(x)*1(x0,1)在0,1连续,值为一个点*(ii)不正确,反例:*则 f(x)的值域为0,2,但在 x=0 处间断(f(0 -)=10=f(0 +)(iii)不正确,反例如:(ii)中 f(x),虽然*,在 x=0 两侧异号,但 x=0 不是 f(x)的极值点,(审定极值点的第一充分条件中 f(x)在 x=x0连续,必须引起注意)(iV)正确,f(x 0)存在,表明 f(x0)在 x=x0连续,且无妨设*,则由于 f(x)在 x=x0连续,f(x 0)=f-(x0)=f(x0-0)0;f(x 0)=f+(x0)=f(x0+0)0,故 f(x0)=0,且 f(x)在 x
8、=x0两侧异号,从而 x=x0是f(x)的极值点选(D)2.若 A0,B0 为常数,C 1,C 2为任意常数,则微分方程 y“+k2y=cosx 的通解具有形式 ( )(分数:4.00)A.C1coskx+C2sinkx+Asinx+BcosxB.C1coskx+C2sinkx+AxeosxC.C1coskx+C2sinkx+Axsinx D.C1coskx+C2sinkx+Axcosx+Bxcosx解析:考点 二阶常系数非齐次微分方程解的结构答案解析 因为相应的齐次微分方程通解为 C1coskx+C2sinkx,因此在四个选项中只需验证哪一个是非齐次方程的特解如果非齐次方程特解形如 y*=A
9、sinx+Bcosx,则表明 k1,代入原方程后,得 A=0,*,即*但题设A0,B0,从而(A)不正确如果 k=1,则特解形如 y*=Axsinx+Bxcosx,代入原方程后,得*,B=0,由此即知应选(C)3.曲线 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 求曲线的渐近线答案解析 由于*,故 x=0 是铅直渐近线,又因为*故 y=0 是水平渐近线同时,有*而*所以,y=x+1 是一条斜渐近线,故曲线共有 3 条渐近线,选(C)4.设 ,则 F(x)等于 ( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 变上限积分求导答案解析 *,所以 F(x)为常数,故有*,选(B)5.曲线 (
10、x0)在点 P 处作切线,使该切线与曲线 及 x 轴围成平面图形面积 ,则切点 P 的坐标为 ( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 导数几何意义与平面图形面积*答案解析 设 P=P(x0,x 01/3),则过点 P 的切线方程为:*即*,切线与 x 轴交点 Q=Q(-2x0,0),于是*故 x0=1,从而切点 P=(1,1)选(B)6.设 A,B 都是 n 阶可逆矩阵,则必有 ( )(分数:4.00)A.A+B 可逆B.|A|=|B|C.A 经过行的初等变换可变为 B D.解析:考点 可逆矩阵的性质答案解析 A,B 可逆时,A+B 不一定可逆,如 A=E,B=-E,则 A+B=
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