【考研类试卷】考研数学三-178及答案解析.doc

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1、考研数学三-178 及答案解析(总分：151.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 x0。是多项式 P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d 的最小实根，则_。AP(x 0)0 BP(x 0)0 CP(x 0)0 DP(x 0)0（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x，y)连续，且满足 f(x，-y)=f(x，y)，则 dxdy=_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.4.若|f(x)|g(x)(xa)，则当 xa 时必有_。A|f(x)-f(a)|g(x)-g(a) B|f(x)-f(a)

2、|g(x)-g(a)C|f(x)-f(a)|=g(x)-g(a) D|f(x)-f(a)|a（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 和 B 为实对称矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论中不正确的是_。AA-E 与 B-E 相似 BA 与 B 合同C|A-E|=|B-E| DA-E=B-E（分数：4.00）A.B.C.D.6.A=Amn，RA=r，b 为 m 维列向量，则有_。A当 r=m 时，方程组 Ax=b 有解B当 r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C当 m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D当 rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解（分数：4.00）A.B.C.D.7.设

3、A，B 为两个事件，且 P(AB)=0，则_。AA，B 互斥 BAB 是不可能事件CAB 未必是不可能事件 DPA=0 或 PB=0（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n为来自总体 N(0， 2)的样本，则样本二阶原点矩 的方差为_。A 2 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f 有二阶连续偏导数，u=f(x，xy，xyz)，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设微分方程 的通解为 （分数：4.00）填空项 1:_12.方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.设

4、 n 阶矩阵 A 的秩为 n-2， 1， 2， 3是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 Ax=b 的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设 yn是 n 次伯努利试验中事件 A 出现的次数，p 为 A 在每次试验中出现的概率，则对任意 0，有=（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.设 f(x)单调且具有一阶连续导数，z=f(x+(y)满足 （分数：9.00）_16.计算 （分数：9.00）_17.设 f(x)和 g(x)在区间(a，b)内可导，并设在(a，b)内 f(x)g(x)-f(x)0，证明在(a，b)内至多存在一点 ，

5、使得 f()=0。（分数：11.00）_18.设有抛物线 :y=a-bx2，试确定常数 a，b 的值，使得() 与直线 y=x+1 相切；() （分数：11.00）_19.设某商品的需求量 Q 是单价 p(单位：元)的函数：Q=12000-80p；商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数：C=25000+500；每单位商品需要纳税 2 元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额。（分数：11.00）_20.设 1=(1，2，3，1) T， 2=(1，1，2，-1) T， 3=(1，3，a，3) T， 4=(3，5，7，-1)T，=(0，1，1，b) T。()当 a，b 满足什么条件时， 可由

6、1， 2， 3， 4线性表示，且表示式唯一?()当 a，b 满足什么条件时， 可由 1， 2， 3， 4线性表示，且表示式不唯一?并求出 的表示式。（分数：11.00）_21.设 A，P 为 n 阶矩阵，P 可逆，且 AP=PA，证明：()若 是 A 的特征向量，则 P 也是 A 的特征向量；()若 A 有 n 个不同的特征值， 是 A 的特征向量，则 也是 P 的特征向量。（分数：11.00）_22.假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周 5 个工作日里无故障，可获利润 10 万元，发生一次故障仍可获利润 5 万元；发生二次故障所获利润为 0 元；发

7、生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求一周内期望利润是多少?（分数：11.00）_23.设总体 X 的密度函数为 （分数：11.00）_考研数学三-178 答案解析(总分：151.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 x0。是多项式 P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d 的最小实根，则_。AP(x 0)0 BP(x 0)0 CP(x 0)0 DP(x 0)0（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 函数零点的性质解析 由于2.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 函数可导性与极值的判定解析 由极限的保号性知，存在 U(a)，当

8、 xU(a)时， ，当 xa 时，f(x)f(a)，当 xa 时，f(x)f(a)，故 f(x)在点 x=a 不取极值；3.设 f(x，y)连续，且满足 f(x，-y)=f(x，y)，则 dxdy=_。A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二重积分解析 由题设知4.若|f(x)|g(x)(xa)，则当 xa 时必有_。A|f(x)-f(a)|g(x)-g(a) B|f(x)-f(a)|g(x)-g(a)C|f(x)-f(a)|=g(x)-g(a) D|f(x)-f(a)|a（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 柯西中值定理解析 因为 0|f(x)|g(x)，所

9、以 g(x)0，g(x)单调增加，从而|g(x)-g(a)|=g(x)-g(a)；由柯西中值定理得 ，即 ，因此5.设 A 和 B 为实对称矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论中不正确的是_。AA-E 与 B-E 相似 BA 与 B 合同C|A-E|=|B-E| DA-E=B-E（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵的合同解析 A 与 B 相似可以推出它们的特征多项式相等，故 A，C 正确，又 A 和 B 为实对称矩阵，且 A 与 B 相似，可以推出 A 与 B 合同，故 B 正确。6.A=Amn，RA=r，b 为 m 维列向量，则有_。A当 r=m 时，方程组 Ax=b 有解

10、B当 r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C当 m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D当 rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 线性方程组解的判定解析 当 r=m 时，r(A，b)=rA，方程组 Ax=b 有解，即 A 正确。7.设 A，B 为两个事件，且 P(AB)=0，则_。AA，B 互斥 BAB 是不可能事件CAB 未必是不可能事件 DPA=0 或 PB=0（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 事件的基本性质解析 概率理论中，PA=0 不能推出 A 为不可能事件，所以 C 是答案。8.设 X1，X 2，X n为来自总体 N(0

11、， 2)的样本，则样本二阶原点矩 的方差为_。A 2 B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 统计量的方差解析 X 1，X 2，X n来自总体 N(0， 2)，所以 ，二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 极限的求法解析 由已知=10.设 f 有二阶连续偏导数，u=f(x，xy，xyz)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xf 3+x2yf“32+x2yzf“33）解析：考点 二元函数的混合偏导数解析 由已知 ，可得11.设微分方程 的通解为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案

12、： ）解析：考点 微分方程的解解析 将 代入微分方程，得 (lnCx)= ，故12.方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：有且仅有一个）解析：考点 方程的零点解析 令 f(x)=5x-2- ，f(0)=-20，f(1)= ，由零点定理知，此方程在区间(0，1)内至少有一个实根，又13.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n-2， 1， 2， 3是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 Ax=b 的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 1+k1( 2- 1)+k2( 3- 1)，k 1，k 2r。）解析：考点 非齐次线性方程的解解析 1， 2， 3是非齐次线

13、性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 2- 1， 3- 1是 Ax=0 的两个解，且它们线性无关，又 n-rA=2，故 2- 1， 3- 1是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 1+k1( 2- 1)+k2( 3- 1)，k 1，k 2r。14.设 yn是 n 次伯努利试验中事件 A 出现的次数，p 为 A 在每次试验中出现的概率，则对任意 0，有=（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点 伯努利大数定律解析 三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.设 f(x)单调且具有一阶连续导数，z=f(x+(y)满足 （分数：9.00）_正确答案：( ，代

14、入方程 )解析：考点 二元函数的导数16.计算 （分数：9.00）_正确答案：(画出二重积分区域 D，D 1是 D 的第一象限部分，由对称性，得)解析：考点 二重积分17.设 f(x)和 g(x)在区间(a，b)内可导，并设在(a，b)内 f(x)g(x)-f(x)0，证明在(a，b)内至多存在一点 ，使得 f()=0。（分数：11.00）_正确答案：(设 (x)=f(x)e -g(x)，则 (x)=e -g(x)(f(x)-f(x)g(x)。若在(a，b)内存在两个不同的点 1， 2，使得 f( 1)=f( 2)=0，则由罗尔定理知，至少存在一点 介于 1， 2之间，使 ()=0，即 e-g

15、() (f()-f()g()=0，于是有 f()-f()g()=0，与题设矛盾，故在(a，b)内至多存在一点 ，使得 f()=0。)解析：考点 中值定理的应用18.设有抛物线 :y=a-bx2，试确定常数 a，b 的值，使得() 与直线 y=x+1 相切；() （分数：11.00）_正确答案：()设切点为(x 0，y 0)，y=-2bx，切线斜率 ，代入切线方程，得 。()旋转体体积 ，V=2(2a 一 3a2)=0，解得 a=0 或者 a= ，V“=2(2-6a)，V“(0)=40， ，故 a= 时，体积 V 最大，将 a= 代入(*)得 b= ，所以。a= ，b= )解析：考点 微积分在几

16、何中的应用19.设某商品的需求量 Q 是单价 p(单位：元)的函数：Q=12000-80p；商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数：C=25000+500；每单位商品需要纳税 2 元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额。（分数：11.00）_正确答案：(设利润为 L(p)，则L(p)=(12000-80p)p-25000-50(12000-80p)-2(12000-80p)，L(p)=12000-160p+4000+160=16160-160p=0，所以 P=101，L“(P)=-1600，所以 L“(101)=-1600，所以 p=101 时 L(p)达到极大，也达到最大，即 p=10

17、1 时销售利润最大，此时 Lmax=L(101)=167080(元)。)解析：考点 微积分在经济中的应用20.设 1=(1，2，3，1) T， 2=(1，1，2，-1) T， 3=(1，3，a，3) T， 4=(3，5，7，-1)T，=(0，1，1，b) T。()当 a，b 满足什么条件时， 可由 1， 2， 3， 4线性表示，且表示式唯一?()当 a，b 满足什么条件时， 可由 1， 2， 3， 4线性表示，且表示式不唯一?并求出 的表示式。（分数：11.00）_正确答案：(设 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4=(1)，其增广矩阵( 1， 2， 3， 4，)=()当 a4 时，r( 1

18、， 2， 3， 4，)=r( 1， 2， 3， 4)=4，方程组(1)有唯一解，即 可由 1， 2， 3， 4线性表示，且表示式唯一。()当 a=4 时，( 1， 2， 3， 4，) ，故当 a=4，b=2 时，r( 1， 2， 3， 4，)=r( 1， 2， 3， 4)=3，方程组(1)有无穷多解，即 可由 1， 2， 3， 4线性表示，且表示式不唯一，同解方程组为 )解析：考点 向量间的线性表示21.设 A，P 为 n 阶矩阵，P 可逆，且 AP=PA，证明：()若 是 A 的特征向量，则 P 也是 A 的特征向量；()若 A 有 n 个不同的特征值， 是 A 的特征向量，则 也是 P 的

19、特征向量。（分数：11.00）_正确答案：()设 A=，则 A(P)=P(A)=P()=(P)，故 P 也是 A 的特征向量。()由 A 有 n 个不同的特征值可知，A 的每个特征值只对应一个线性无关的特征向量，又已知 ，P 是对应同一个特征值的特征向量，故它们线性相关，故存在常数 c，使得 P=c，故 也是 P 的特征向量。)解析：考点 特征值与特征向量22.假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周 5 个工作日里无故障，可获利润 10 万元，发生一次故障仍可获利润 5 万元；发生二次故障所获利润为 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求一周内期望利润是多少?（分数：11.00）_正确答案：(假设 X 表示一周内发生故障的天数，则 XB(5，0.8)，P(X=0)=(0.8)50.33，P(X=1)=50.2(0.8) 40.41，P(X=2)= )解析：考点 二项分布、期望23.设总体 X 的密度函数为 （分数：11.00）_正确答案：(最大似然函数为 f(X1，X n)= ，)解析：考点 最大似然估计