【考研类试卷】考研数学一-164及答案解析.doc

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1、考研数学一-164 及答案解析(总分：161.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x)=(x2+x-2)|x3-x2-6x|不可导的点的个数是A0 B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 y=f(x)是微分方程 y“+3y-5y=0 的一个解且 f(x0)0，f(x 0)=0，则 f(x)在 x=x0处A取得极大值 B取得极小值C在某邻域内单调增加 D在某邻域内单调减少（分数：4.00）A.B.C.D.3.二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(t)是连续函数，

2、则 等于A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.齐次线性方程组 AX=0 为 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 为 n 阶矩阵，考虑以下命题：若 A，B 为等价矩阵，则 A，B 的行向量组等价若行列式|A|=|B|，则 A，B 为等价矩阵若 Ax=0 与 Bx=0 都只有零解，则 A，B 为等价矩阵若 A，B 为相似矩阵，则 Ax=0 与 Bx=0 的解空间的维数相同以上命题中正确的是A BC D（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 ，且 ，则A事件 A，B 相互独立且 B事件 A，B 不独立且 C事件 A，B 相互独立且 D事件 A，B 不独立且 （分数：4

3、.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 和 Y 同分布。概率密度为且 ，则 a 的值为A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）填空项 1:_10.方程 （分数：4.00）填空项 1:_11.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_12.z=f(u，x，y)，u=x 2ey，其中 f 具有连续的二阶偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(a，-a，1) T是 Ax=0 的解， 2=(a，1，1-a) T是(A+E)x=0 的解，则常数a= 1（分数：4.00）填空项 1:

4、_14.设随机变量 X 的概率密度为 以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：105.00)15.设 ，计算极限 （分数：10.00）_16.设可微函数 f(x)满足 f(x)+xf(-x)=x(-x+)，且 f(0)=0，求 f(x)的表达式（分数：10.00）_17.设 ，其中 x0，n 为正整数，试证明：（分数：10.00）_18.设函数 f(x)在 axb 上有定义，并且连续，可微证明：在 axb 上有 （分数：10.00）_19.令 ，n=0，1，2，则无穷级数 （分数：10.00）_设 A 为三阶矩阵， 1， 2，

5、 3是 A 的三个不同的特征值，对应的特征向量为 1， 2， 3，令= 1+ 2+ 3（分数：20.00）(1).证明：，A，A 2 线性无关（分数：10.00）_(2).若 A3=A，求秩 r(A-E)及行列式|A+2E|（分数：10.00）_设 A 为三阶方阵， 1， 2， 3为三维线性无关列向量组，且有A 1= 2+ 3，A 2= 3+ 1，A 3= 1+ 2（分数：10.00）(1).求 A 的全部特征值（分数：5.00）_(2).A 是否可对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使 P-1AP=A（分数：5.00）_将两封信等可能地投入编号为，三个邮筒中，设 X，Y 分别表示投入第号、第

6、号邮筒中信的数目，求：（分数：15.00）(1).(X，Y)的联合分布，并判断 X，Y 是否相互独立；（分数：5.00）_(2).Y=0 时 X 的条件分布律；（分数：5.00）_(3).U=max(X，Y)的分布（分数：5.00）_设 X1，X 2是来自总体 x 的简单随机样本， 分别为样本的均值和方差， （分数：10.00）(1).当 X 服从数学期望为 的指数分布时，*；（分数：5.00）_(2).当 XN(, 2)时，*（分数：5.00）_考研数学一-164 答案解析(总分：161.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x)=(x2+x-2

7、)|x3-x2-6x|不可导的点的个数是A0 B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 f(x)=(x+2)(x-1)|x|x-3|x+2|，所以 f(x)的不可导点只司能在 x=0，-2，3 三处取得，因为 g(x)=(x-a)|x-a|在 x=a 处可导，而 (x)=|x-a|在 x=a 处不可导，所以 f(x)在 x=0 和 x=3 处不可导，故选(C)2.设函数 y=f(x)是微分方程 y“+3y-5y=0 的一个解且 f(x0)0，f(x 0)=0，则 f(x)在 x=x0处A取得极大值 B取得极小值C在某邻域内单调增加 D在某邻域内单调减少（分数：4.00）A

8、.B. C.D.解析：详解 因为 y“(x0)=5y(x0)-3y(x0)0，所以 f(x)在 x=x0处取得极小值故应选(B)3.二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 二元函数在某点连续与偏导数存在之间没有必然的联系，故应选(D)例如 在(0，0)点连续，但偏导数不存在，4.设 f(t)是连续函数，则 等于A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 更换积分次序，因为 0x1，0yx，则 0y1，yx1故5.齐次线性方程组 AX=0 为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 若存在 3 阶非零矩

9、阵 B，使 AB=O，则|A|=0，即6.设 A，B 为 n 阶矩阵，考虑以下命题：若 A，B 为等价矩阵，则 A，B 的行向量组等价若行列式|A|=|B|，则 A，B 为等价矩阵若 Ax=0 与 Bx=0 都只有零解，则 A，B 为等价矩阵若 A，B 为相似矩阵，则 Ax=0 与 Bx=0 的解空间的维数相同以上命题中正确的是A BC D（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 A，B 等价推不出 A，B 的行向量组等价如：7.设 ，且 ，则A事件 A，B 相互独立且 B事件 A，B 不独立且 C事件 A，B 相互独立且 D事件 A，B 不独立且 （分数：4.00）A.B. C.D.解

10、析：详解 ，且 ，又 ，则 P(AB)P(A)P(B)，所以 A，B 不独立8.设随机变量 X 和 Y 同分布。概率密度为且 ，则 a 的值为A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 由题设于是 ，即 ，故应选(A)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：详解 当 x0 时，atanx+b(1-cosx)ax，ln(1-2x)+c(1-e -x2)-2x，所以10.方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 方程即 ，为一阶线性微分方程所以 ，代入条件 y|x=2=0 得 C=4故

11、方程满足条件的解为11.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-2，2)）解析：详解 因 ，所以收敛半径为：12.z=f(u，x，y)，u=x 2ey，其中 f 具有连续的二阶偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 13.设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(a，-a，1) T是 Ax=0 的解， 2=(a，1，1-a) T是(A+E)x=0 的解，则常数a= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：详解 1是属于特征值 1=0 的特征向量， 2是属于特征值 2=-1 的特征向量，由于 A 为实对称矩阵，于是14.设随机变量 X

12、 的概率密度为 以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 由题设可知 YB(3，p)，其中 故三、解答题(总题数：9，分数：105.00)15.设 ，计算极限 （分数：10.00）_正确答案：(于是 )解析：16.设可微函数 f(x)满足 f(x)+xf(-x)=x(-x+)，且 f(0)=0，求 f(x)的表达式（分数：10.00）_正确答案：(用-x 代替 x，可得f(-x)-xf(x)=-x，联立 f(x)+xf(-x)=x 可解得，两边积分得，由 f(0)=0 可得 C=0，故 )解析：17.设 ，其中 x0，n 为正整

13、数，试证明：（分数：10.00）_正确答案：( ，f(x)=(x-x 2)sin2nx，x0令 f(x)=0，得 x0=1，x k=k(k=1，2，)因为当 x1 时，x-x 20，sin 2nx0(xk)，在 xk的左右两侧，f(x)0，因此，x k不是 f(x)的极值点又因当 0x1 时，f(x)0，当 1x 时，f(x)0，故 f(1)是极大值由极值的唯一性，可知)解析：18.设函数 f(x)在 axb 上有定义，并且连续，可微证明：在 axb 上有 （分数：10.00）_正确答案：(对 axb 的任一固定的 x，令 ，则g(a)=g(x)=g(b)由罗尔定理，有数 ，使得 axb，有

14、g()=g()=0，再次应用罗尔定理，有 ，使得 g“()=0，即)解析：19.令 ，n=0，1，2，则无穷级数 （分数：10.00）_正确答案：(令 ，于是，令 n，有所以 收敛，其和为 )解析：设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3是 A 的三个不同的特征值，对应的特征向量为 1， 2， 3，令= 1+ 2+ 3（分数：20.00）(1).证明：，A，A 2 线性无关（分数：10.00）_正确答案：(设 k1+k 2A+k 3A2=0， 由题设 A i= i(i=1，2，3)，于是将，代入式，整理得因为 1， 2， 3为三个不同的特征值所对应的特征向量，所以线性无关，于是有 ，其系数行列式)

15、解析：(2).若 A3=A，求秩 r(A-E)及行列式|A+2E|（分数：10.00）_正确答案：(由 A3=A，有，令 P=，A，A 2，则 P=，A，A 2可逆，且从而有)解析：设 A 为三阶方阵， 1， 2， 3为三维线性无关列向量组，且有A 1= 2+ 3，A 2= 3+ 1，A 3= 1+ 2（分数：10.00）(1).求 A 的全部特征值（分数：5.00）_正确答案：(由已知可得，A( 1+ 2+ 3)=2( 1+ 2+ 3)A( 2- 1)=-( 2- 1),A( 3- 1)=-( 3- 1)又因为 1， 2， 3线性无关，所以 1+ 2+ 30， 2- 10， 3- 10，所以

16、 2，-1 是 A 的特征值， 1+ 2+ 3， 2- 1， 3- 1是相应的特征向量又由 1， 2， 3线性无关，可得 2- 1， 3- 1线性无关，所以-1 是 A 的二重特征值，即 A 的全部特征值为 2，-1.)解析：(2).A 是否可对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使 P-1AP=A（分数：5.00）_正确答案：(由 1， 2， 3线性无关可证明 1+ 2+ 3， 2- 1， 3- 1线性无关，即矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵 A 可相似对角化令 P= 1+ 2+ 3， 2- 1， 3- 1，则 )解析：将两封信等可能地投入编号为，三个邮筒中，设 X，Y 分别表示

17、投入第号、第号邮筒中信的数目，求：（分数：15.00）(1).(X，Y)的联合分布，并判断 X，Y 是否相互独立；（分数：5.00）_正确答案：(由题设可知，X，Y 的可能取值为 0，1，2.PX=0，Y=0=P两封信均投入第邮筒 ，PX=0，Y=1=P两封信分别投入第，邮筒 ，PX=0，Y=2=P两封信均投入第邮筒 ，PX=1，Y=0=P两封信分别投入第，邮筒 ，PX=1，Y=1=P两封信分别投入第，邮筒 ，PX=1，Y=2=0，PX=2，Y=0=P两封信均投入第 1 邮筒 ，PX=2，Y=1=0，PX=2，Y=2=0故(X，Y)的联合分布律为由上表可知， )解析：(2).Y=0 时 X 的

18、条件分布律；（分数：5.00）_正确答案：(Y=0 时，X 的可能取值为 0，1，2于是其条件分布律为故在 Y=0 条件下，X 的条件分布律为)解析：(3).U=max(X，Y)的分布（分数：5.00）_正确答案：(随机变量 U=max(X，Y)的可能取值为 0，1，2，且于是 U=max(X，Y)的分布律为)解析：设 X1，X 2是来自总体 x 的简单随机样本， 分别为样本的均值和方差， （分数：10.00）(1).当 X 服从数学期望为 的指数分布时，*；（分数：5.00）_正确答案：(由 X1，X 2相互独立知， 也相互独立，所以由于 X 的概率密度为所以 (其中 TN(0,1)由此证得 )解析：(2).当 XN(, 2)时，*（分数：5.00）_正确答案：(由 与 S2相互独立知， 与 S4也相互独立，从而 (*)由于 ，所以 此外，由X1-X2N(0，2 2)，知从而 将，代入(*)可得 从而得到 的最大似然估计量为 )解析：