（通用版）2020高考数学一轮复习2.4函数的图象讲义理.doc

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1、1第四节函数的图象1描点法作函数图象通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象“左加右减，上加下减” 左加右减只针对 x 本身，与 x 的系 数无关；上加下减指的是在 f(x) 整体上加减.2函数图象的变换(1)平移变换(2)对称变换y f(x)的图象 y f(x)的图象； 关 于 x轴 对 称 y f(x)的图象 y f( x)的图象； 关 于 y轴 对 称 y f(x)的图象 y f( x)的图象； 关 于 原 点 对 称 y ax(a0，且 a1)的图象 ylog ax(a0，且 a1)的图象 关

2、于 直 线 y x对 称 (3)翻折变换y f(x)的图象 y| f(x)|的图象； x轴 下 方 部 分 翻 折 到 上 方 x轴 及 上 方 部 分 不 变y f(x)的图象 y f(|x|)的图象 y轴 右 侧 部 分 翻 折 到 左 侧 原 y轴 左 侧 部 分 去 掉 ， 右 侧 不 变图象变换的注意点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 x， y 变换”的原则，写出每一次变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错熟记常用结论1对于函数 y f(x)定义域内任意一个 x 的值，若 f(a x) f(b x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x 对称a b22对于函

3、数 y f(x)定义域内任意一个 x 的值，若 f(a x) f(b x)，则函数 f(x)的2图象关于点 中心对称(a b2 ， 0)小题查验基础一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)函数 y f(1 x)的图象，可由 y f( x)的图象向左平移 1 个单位得到( )(2)函数 y f(x)的图象关于 y 轴对称即函数 y f(x)与 y f( x)的图象关于 y 轴对称( )(3)当 x(0，)时，函数 y f(|x|)的图象与 y| f(x)|的图象相同( )(4)若函数 y f(x)满足 f(1 x) f(1 x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称( )答案：(1)

4、(2) (3) (4)二、选填题1下列图象是函数 yError!的图象的是( )答案：C2如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象表示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A1 B2C3 D4解析：选 A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度 h和时间 t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来图应该是匀速的，故下面的图象不正确；中的变化率应该是越来越慢的，正确；中的变化率是先快后慢再快，正确；中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有是错误的3函数 f(x)的图象向右平移 1

5、个单位长度，所得图象与曲线 ye x关于 y 轴对称，则f(x)( )3Ae x1 Be x1Ce x1 De x1解析：选 D 与曲线 ye x关于 y 轴对称的图象对应的解析式为 ye x，将函数ye x的图象向左平移 1 个单位长度即得 y f(x)的图象， f(x)e ( x1) e x1 ，故选 D.4已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)log f(x)的定义域是_2解析：当 f(x)0 时，函数 g(x)log f(x)有意义，由函数 f(x)的图象知满足 f(x)02时， x(2,8答案：(2,85若关于 x 的方程| x| a x 只有一个解，则实数 a 的取值范

6、围是_解析：由题意得 a| x| x，令 y| x| xError!其图象如图所示，故要使 a| x| x 只有一个解，则 a0.答案：(0，)考 点 一 函 数 图 象 的 识 别 全 析 考 法 过 关 考法全析考法(一) 知式选图例 1 (2018全国卷)函数 f(x) 的图象大致为( )ex e xx2解析 ye xe x是奇函数， y x2是偶函数， f(x) 是奇函数，图象关于原点对称，排除 A 选项ex e xx2当 x1 时， f(1)e 0，排除 D 选项1e又 e2， ，e 1，排除 C 选项故选 B.1e 12 1e4答案 B例 2 (2018全国卷)函数 y x4 x2

7、2 的图象大致为( )解析 令 f(x) x4 x22，则 f( x)4 x32 x，令 f( x)0，得 x0 或 x ，22则 f( x)0 的解集为 ，( ， 22) (0， 22)f(x)在 ， 上单调递增； f( x)0 的解集为( ， 22) (0， 22) ， f(x)在 ， 上单调递减，结合图象知选 D.(22， 0) (22， ) ( 22， 0) (22， )答案 D考法(二) 借助动点探究函数图象例 3 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图” 如图，是由一个半径为 2 的大圆和两个半径为 1 的半圆组成的“阴阳鱼太极图” ，圆心分别为

8、O， O1， O2，若一动点 P 从点 A 出发，按路线 A O B C A D B 运动(其中A， O， O1， O2， B 五点共线)，设 P 的运动路程为 x， y| O1P|2， y 与 x 的函数关系式为y f(x)，则 y f(x)的大致图象为( )解析 根据题图中信息，可将 x 分为 4 个区间，即0，)，2)，2，4)，4，6，当 x0，)时，函数值不变， y f(x)1；当 x，2)时，设 与O2P 的夹角为 ，| |1，| |2 ， x， y( )O2O1 O2P O2O1 O2P O2O1 254cos 54cos x， y f(x)的图象是曲线，且单调递增；当 x2，4

9、)时， ，设 与 的夹角为 ，| |2，| |1， O1P OP OO1 OP OO1 OP OO1 52 x， y| O1P|2( )254cos 54cos ，函数 y f(x)的(x 22 ) 12 OP OO1 x2图象是曲线，且单调递减结合选项知选 A.答案 A考法(三) 图象变换问题例 4 已知函数 y f(1 x)的图象如图，则 y| f(x2)|的图象是 ( )解析 (1)把函数 y f(1 x)的图象向左平移 1 个单位得 y f( x)的图象；(2)作出 f( x)关于 y 轴对称的函数图象得 y f(x)的图象；(3)将 f(x)向左平移 2 个单位得y f(x2)的图象

10、；(4)将 y f(x2)的图象在 x 轴下方的部分关于 x 轴对称翻折到 x 轴上方得到| f(x2)|的图象答案 A规律探求看个性考法(一)是知式选图，解决此类问题常有以下策略：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象考法(二)是求解因动点变化而形成的函数图象问题，既可以根据题意求出函数解析式后判断图象，也可以将动点处于某特殊位置时考查

11、图象的变化特征后作出选择考法(三)图象变换问题，只需遵守图象变换规则即可找共性解决函数图象的识别问题， 注意“三关”： (1)取“特殊点关” ，即根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图象是否经过这些点，若不满足则排除；(2)用“性质关” ，即根据选项中的图象特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项；6(3)用“极限思想关” ，即应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果，使解题过程费时少，准确率高过关训练1函数 y( x3 x)2|x|的图象大致是( )解析：选 B 易判断函数为奇函数，由 y0 得 x1 或 x0.当 0 x1 时， y0；当 x1 时， y0.故选 B.2.如图，长

12、方形 ABCD 的边 AB2， BC1， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC， CD 与 DA运动，记 BOP x.将动点 P 到 A， B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y f(x)的图象大致为( )解析：选 B 当 x 时， f(x)tan x ，图象不会是直线段，从而0， 4 4 tan2x排除 A、C.当 x 时， f f 1 ， f 2 .2 1 ， f f 4， 34 ( 4) (34) 5 ( 2) 2 2 5 ( 2) f ，从而排除 D，故选 B.( 4) (34)3已知函数 f(x)log ax(0 a1)，则函数 y f(|x|1)的图象大致为(

13、)解析：选 A 先作出函数 f(x)log ax(0 a1)的图象，当 x0 时， y f(|x|1) f(x1)，其图象由函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位得到，又函数 y f(|x|1)为偶函数，所以再将函数 y f(x1)( x0)的图象关于 y 轴对称翻折到 y 轴左边，得到 x0 时的图象，故选 A.考 点 二 函 数 图 象 的 应 用 全 析 考 法 过 关 7考法全析考法(一) 研究函数的性质例 1 已知函数 f(x) x|x|2 x，则下列结论正确的是( )A f(x)是偶函数，递增区间是(0，)B f(x)是偶函数，递减区间是(，1)C f(x)是奇函数，递减区间是(

14、1,1)D f(x)是奇函数，递增区间是(，0)解析 将函数 f(x) x|x|2 x 去掉绝对值得 f(x)Error!画出函数 f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减答案 C考法(二) 研究不等式的求解问题例 2 (1)设奇函数 f(x)在(0，)上为增函数，且 f(1)0，则不等式0 的解集为( )f x f xxA(1,0)(1，) B(，1)(0,1)C(，1)(1，) D(1,0)(0,1)(2)若不等式( x1) 2log ax(a0，且 a1)在 x(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为(

15、)A(1,2 B.(22， 1)C(1， ) D( ，2)2 2解析 (1)因为 f(x)为奇函数，所以不等式0 可化为 0，即 xf(x)0， f(x)的大致图f x f xx f xx象如图所示所以 xf(x)0 的解集为(1,0)(0,1)(2)要使当 x(1,2)时，不等式( x1) 2log ax 恒成立，只需函数 y( x1) 2在(1,2)上的图象在 ylog ax 的图象的下方即可当 0 a1 时，显然不成立；当 a1 时，如图，要使 x(1,2)时， y( x1) 2的图象在 ylog ax 的图象的下方，只需(21) 2log a2，即 loga21，解得 1 a2，故实数

16、 a的取值范围是(1,2故选 A.8答案 (1)D (2)A考法(三) 研究方程根的问题例 3 (2019沈阳质量监测)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的xR，都有 f(x2) f(2 x)，当 x2,0时， f(x) x1，则关于 x 的方程 f(x)(22)log 8(x2)0 在区间(2,6)上根的个数为( )A1 B2 C3 D4解析 因为对任意的 xR，都有 f(x2) f(2 x)，所以 f(x)的图象关于直线x2 对称，又 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(x2) f(2 x) f(x2)， f(x4) f(x)，函数 f(x)是周期为 4 的函数，则

17、函数 y f(x)的图象与 ylog 8(x2)的图象交点的个数即方程 f(x)log 8(x2)0 根的个数作出 y f(x)与 ylog 8(x2)在区间(2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(2,6)上的图象有 3 个交点，所以方程f(x)log 8(x2)0 在区间(2,6)上有 3 个根，故选 C.答案 C规律探求看个性考法(一)是利用函数图象研究函数性质常从以下几个角度分析研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性考法(二)利用函数图象研究不等式通过函数图象把不等式问题转

18、化为两函数图象的上下关系或函数图象与坐标轴的位置关系来解决问题考法(三)是利用图象研究方程根的问题其依据是：方程 f(x)0 的根就是函数 f(x)图象与 x 轴交点的横坐标，方程 f(x) g(x)的根就是函数 f(x)与g(x)图象交点的横坐标找共性求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：9过关训练1(2019昆明检测)已知 f(x)2 x1， g(x)1 x2，规定：当| f(x)| g(x)时，h(x)| f(x)|；当| f(x)| g(x)时， h(x) g(x)，则 h(x)( )A有最小值1，最大值 1 B有最大值 1，无最小值C有最小值1，无最

19、大值 D有最大值1，无最小值解析：选 C 如图，画出 y| f(x)|2 x1|与 y g(x)1 x2的图象，它们交于 A， B 两点由“规定” ，在 A， B 两侧，| f(x)| g(x)，故 h(x)| f(x)|；在 A， B 之间，| f(x)| g(x)，故 h(x) g(x)综上可知， y h(x)的图象是图中的实线部分，因此 h(x)有最小值1，无最大值2已知函数 f(x)Error!则对任意 x1， x2R，若 0| x1| x2|，下列不等式成立的是( )A f(x1) f(x2)0 B f(x1) f(x2)0C f(x1) f(x2)0 D f(x1) f(x2)0解

20、析：选 D 函数 f(x)的图象如图所示f( x) f(x)，则函数 f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数又 0| x1| x2|，则 f(x2) f(x1)，即 f(x1) f(x2)0.3已知直线 y1 与曲线 y x2| x| a 有四个交点，则 a 的取值范围是_解析： yError!作出其图象，如图所示此曲线与 y 轴交于点(0， a)，最小值为a ，要使直线 y1 与其有四个交点，只需 a 1 a，14 14所以 1 a .54答案： (1，54)课 时 跟 踪 检 测 一、题点全面练1函数 f(x) xe| x|的图象可能是( )解析：选 C 因为函数 f(x)的定义域为 R，

21、 f( x) f(x)，所以函数 f(x)为奇函数，10排除 A、B；当 x(0，)时， f(x) xe x，因为 e x0，所以 f(x)0，即 f(x)在x(0，)时，其图象恒在 x 轴上方，排除 D，故选 C.2.若函数 f(x)Error!的图象如图所示，则 f(3)等于( )A B12 54C1 D2解析：选 C 由图象可得 a b3，ln(1 a)0，得 a2， b5， f(x)Error!故 f(3)2(3)51，故选 C.3(2018全国卷)下列函数中，其图象与函数 yln x 的图象关于直线 x1 对称的是( )A yln(1 x) B yln(2 x)C yln(1 x)

22、D yln(2 x)解析：选 B 函数 y f(x)的图象与函数 y f(a x)的图象关于直线 x 对称，令a2a2 可得与函数 yln x 的图象关于直线 x1 对称的是函数 yln(2 x)的图象故选 B.4已知 f(x)Error!则下列函数的图象错误的是( )解析：选 D 在坐标平面内画出函数 y f(x)的图象，将函数 y f(x)的图象向右平移1 个单位长度，得到函数 y f(x1)的图象，因此 A 正确；作函数 y f(x)的图象关于 y轴的对称图形，得到 y f( x)的图象，因此 B 正确； y f(x)在1,1上的值域是0,2，因此 y| f(x)|的图象与 y f(x)

23、的图象重合，C 正确； y f(|x|)的定义域是1,1，且11是偶函数，当 0 x1 时， y f(|x|) ，这部分的图象不是一条线段，因此选项 D 不正x确故选 D.5若函数 y f(x)的图象如图所示，则函数 y f(x1)的图象大致为( )解析：选 C 要想由 y f(x)的图象得到 y f(x1)的图象，需要先将 y f(x)的图象关于 x 轴对称得到 y f(x)的图象，然后向左平移一个单位长度得到 y f(x1)的图象，根据上述步骤可知 C 正确6(2019汉中模拟)函数 f(x) sin x 的图象大致为( )(21 ex 1)解析：选 A f(x) sin x， f( x)

24、 sin( x)(21 ex 1) ( 21 e x 1)sin x sin x f(x)，函数 f(x)为偶函数，故排除 C、D；当(2ex1 ex 1) ( 21 ex 1)x2 时， f(2) sin 20，故排除 B，选 A.(21 e2 1)7.若函数 f(x)( ax2 bx)ex的图象如图所示，则实数 a， b 的值可能为( )A a1， b2B a1， b2C a1， b2D a1， b212解析：选 B 令 f(x)0，则( ax2 bx)ex0，解得 x0 或 x ，由图象可知，ba 1，又当 x 时， f(x)0，故 a0，结合选项知 a1， b2 满足题意，故选 B.b

25、a ba8定义 maxa， b， c为 a， b， c 中的最大值，设 Mmax2 x,2x3,6 x，则 M 的最小值是( )A2 B3C4 D6解析：选 C 画出函数 Mmax2 x,2x3,6 x的图象如图中实线部分所示，由图可得，函数 M 在点 A(2,4)处取得最小值，最小值为 4，故选 C.9.已知在函数 y| x|(x1,1)的图象上有一点 P(t，| t|)，该函数的图象与 x 轴、直线 x1 及 x t 围成图形(如图阴影部分)的面积为 S，则 S 与t 的函数关系图可表示为( )解析：选 B 由题意知，当1 t0 时， S 越来越大，但增长的速度越来越慢当t0 时， S 的

26、增长速度会越来越快，故在 S 轴右侧图象的切线斜率逐渐增大，选 B.10.如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)log 2(x1)的解集为_解析：令 ylog 2(x1)，作出函数 ylog 2(x1)图象如图13由Error!得Error!结合图象知不等式 f(x)log 2(x1)的解集为 x|1 x1答案： x|1 x111设函数 f(x)| x a|， g(x) x1，对于任意的 xR，不等式 f(x) g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：如图，作出函数 f(x)| x a|与 g(x) x1 的图象，观察图象可知：当且仅当 a1，即 a1 时，不等式

27、 f(x) g(x)恒成立，因此 a 的取值范围是1，)答案：1，)12已知函数 f(x)| x|(x a)， a0.(1)作出函数 f(x)的图象；(2)写出函数 f(x)的单调区间；(3)当 x0,1时，由图象写出 f(x)的最小值解：(1) f(x)Error!其图象如图所示(2)由图知， f(x)的单调递增区间是(，0)， ；单调递减区间是 .(a2， ) (0， a2)(3)由图象知，当 1，即 a2 时， f(x)min f(1)1 a；a2当 0 1，即 0 a2 时， f(x)min f .a2 (a2) a24综上， f(x)minError!二、专项培优练(一)易错专练不丢

28、怨枉分1(2019大同质检)已知函数 f(2x1)是奇函数，则函数 y f(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称( )A(1,0) B(1,0)C. D.(12， 0) ( 12， 0)解析：选 C 因为 f(2x1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而 f(2x)的图14象是由 f(2x1)的图象向右平移 个单位得到的，故 f(2x)关于 成中心对称12 (12， 0)2函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x0,2时， f(x) x1，则不等式 xf(x)0在(1,3)上的解集为( )A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析：选 C 作出函数 f

29、(x)的图象如图所示当 x(1,0)时，由 xf(x)0 得 x(1,0)；当 x(0,1)时，由 xf(x)0 得 x；当 x(1,3)时，由 xf(x)0 得 x(1,3)故 x(1,0)(1,3)3(2019合肥质检)对于函数 f(x)，如果存在 x00，使得 f(x0) f( x0)，则称(x0， f(x0)与( x0， f( x0)为函数图象的一组奇对称点若 f(x)e x a(e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是_解析：依题意，知 f(x) f( x)有非零解，由 f(x) f( x)得，ex a(e x a)，即 a 1( x0)，所以当 f(x)

30、e x a 存在奇对称点时，实12(ex 1ex)数 a 的取值范围是(1，)答案：(1，)(二)素养专练学会更学通4数学建模如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于 x 轴的直线 l： x t(0 t a)经过原点 O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为 y(图中阴影部分)，若函数 y f(x)的大致图象如右图所示，那么平面图形的形状不可能是( )解析：选 C 由 y f(x)的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项 C，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是 C.5直观想象已知函数 f(x)Error!若方程 f(x) x a 有且只有两个不

31、相等的实数根，则实数 a 的取值范围为( )15A(，0 B0,1)C(，1) D0，)解析：选 C 当 x0 时， f(x) f(x1)，所以 f(x)是以 1 为周期的函数又当 0 x1 时， x10，所以 f(x) f(x1)2 1 x12 x1.方程 f(x)(12) x a 的根的个数可看成是两个函数 y f(x)与 y x a 的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数 a 的取值范围是(，1)(三)难点专练适情自主选6已知函数 f(x)的图象与函数 h(x) x 2 的图象关于点 A(0,1)对称1x(1)求 f(x)的解析式；(2)若 g(x) f(x) ，且

32、g(x)在区间(0,2上为减函数，求实数 a 的取值范围ax解：(1)设 f(x)图象上任一点 P(x， y)，则点 P 关于(0,1)点的对称点 P( x,2 y)在 h(x)的图象上，即 2 y x 2， y f(x) x (x0)1x 1x(2)g(x) f(x) x ， g( x)1 .ax a 1x a 1x2 g(x)在(0,2上为减函数，1 0 在(0,2上恒成立，即 a1 x2在(0,2上a 1x2恒成立， a14，即 a3，故实数 a 的取值范围是3，)7若关于 x 的不等式 4ax1 3 x4( a0，且 a1)对于任意的 x2 恒成立，求 a 的取值范围解：不等式 4ax1 3 x4 等价于 ax1 x1.34令 f(x) ax1 ， g(x) x1，34当 a1 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；当 0 a1 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当 x2 时， f(2) g(2)，即 a21 21，3416解得 a ，所以 a 的取值范围是 .12 (0， 1217