2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.4空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式练习新人教B版必修2.doc

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1、12.4.2 空间两点的距离公式1.若两点 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x 的值等于( C )(A)19 (B)-(C) (D)解析:因为 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),所以|AB|= ,所以当|AB|取最小值时,x 的值等于 .故选 C.2.以 A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)三点为顶点的三角形的形状是( B )(A)等边三角形 (B)等腰三角形(C)直角三角形 (D)等腰直角三角形解析:因为|AC|= ,|BC|= ,|AB|= .所以ABC 是等腰三角形.3.点 P(x,y,z)满足 =2,则点

2、P 在( C )(A)以点(1,1,-1)为球心以 为半径的球面上(B)以点(1,1,-1)为中心以 为棱长的正方体内(C)以点(1,1,-1)为球心以 2 为半径的球面上(D)无法确定解析:动点 P(x,y,z)到定点(1,1,-1)的距离为 2,故选 C.4.已知 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 z 轴上且到 A,B 两点的距离相等,则 M 点坐标为( C )(A)(-3,0,0) (B)(0,-3,0)(C)(0,0,-3) (D)(0,0,3)解析:设点 M(0,0,z),2因为 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 z 轴上且到 A,B 两点的距离相等.

3、所以 = ,所以 z=-3,所以 M 点坐标为(0,0,-3),故选 C.5.在 RtABC 中,BAC=90,A(2,1,1),B(1,1,2),C(x,0,1),则 x= . 解析:|AB| 2=(2-1)2+(1-1)2+(1-2)2=2,|BC|2=(x-1)2+(0-1)2+(1-2)2,|AC|2=(x-2)2+(0-1)2+(1-1)2,因为|AB| 2+|AC|2=|BC|2,所以 2+(x-2)2+1=(x-1)2+2,所以 x=2.答案:26.若点 P(x,y,z)到平面 xOz 与到 y 轴距离相等,则 P 点坐标满足的关系式为 .解析:由题意得|y|= ,即 x2+z2

4、-y2=0.答案:x 2+z2-y2=07.在空间直角坐标系中,到三条坐标轴距离相等且到坐标原点距离为 的点的个数为( D )(A)4 个 (B)6 个(C)7 个 (D)8 个解析:设点 P(x,y,z)满足条件,x 2+y2=y2+z2=x2+z2且 x2+y2+z2=3,所以 x2+y2=y2+z2=x2+z2=2,即 x2=y2=z2=1,所以 x=1,y=1,z=1,故共有 8 个点:(1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1), (-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1),每个卦限各有 1 个点.8.在空间直角坐标系中,

5、正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A 的坐标为(1,-2,3),其中心 M 的坐标为(0,2,1),则该正方体的棱长等于 . 解析:因为正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A 的坐标为(1,-2,3),其中心 M 的坐标为(0,2,1),所3以|AM|= = ,所以该正方体对角线|AC 1|=2 ,设该正方体的棱长为 x,则 3x2= ,解得 x=2 ,即该正方体的棱长为 2 .答案:29.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0),则该四面体的体积为 . 解析:由题意得四面体是一个边长为 的正四面体

6、,体积为 1-4 = .答案:10.在三棱柱 ABO-ABO中,AOB=90,侧棱 OO平面 OAB, OA=OB=OO=2.(1)若 C 为线段 OA 的中点,在线段 BB上求一点 E,使|EC|最小;(2)若 E 为线段 BB中点,在 OA 上求一点 C,使|EC|最小.解:如图所示,以三棱柱的 O 点为坐标原点,以 OA,OB,OO所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.由 OA=OB=OO=2,得 A(2,0,0),B(0,2,0),O(0,0,0),A(2,0,2),B(0,2,2),O(0,0,2).(1)由 C 为线段 OA 的中点得 C 点坐标为(1,

7、0,1),设 E 点坐标为(0,2,z),根据空间两点间距离公式得|EC|= = ,故当 z=1 时,|EC|的最小值为 ,此时 E(0,2,1)为线段 BB的中点.(2)E 为线段 BB的中点,则点 E 的坐标为(0,2,1),设线段 OA 上的点 C 的坐标为(x,0,z),因为四边形 AAOO为正方形,C 点在其对角线上,故 z=2-x,于是|EC|=4= .当 x= 时,|EC|取得最小值为 ,此时 C 点为( ,0, ).11.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3),试问:(1)在 y 轴上是否存在点 M,满足|MA|=|MB|?(2)在 y 轴上是否存在点 M,使MAB 为等边三角形?若存在,试求出点 M 的坐标.解:(1)假设在 y 轴上存在点 M 满足|MA|=|MB|,设 M(0,y,0),则有 = ,由于此式对任意 yR 恒成立,即 y 轴上所有点均满足条件|MA|=|MB|.(2)存在.假设在 y 轴上存在点 M,使MAB 为等边三角形.由(1)可知,y 轴上任一点都满足|MA|=|MB|,所以只要|MA|=|AB|就可以使得MAB 是等边三角形.因为|MA|= = ,|AB|= = ,所以 = ,解得 y= 或 y=- .故 y 轴上存在点 M 使MAB 为等边三角形,点 M 的坐标为(0, ,0)或(0,- ,0).