内蒙古集宁一中（西校区）2018_2019学年高二数学上学期期中试卷理（含解析）.doc

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1、1集宁一中 20182019 学年第一学期期中考试高二数学理科试卷一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 ，则 为A. 或 B. 或C. 或 D. 或【答案】A【解析】因为 ，所以 = 或 ，故选 A。2.“ ”是“ ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先求出满足条件的 A 的值，再结合充分必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为 ，所以 或 ，sinA=12 A=2k+6 A=2k+56(kZ)故“ ”是“ ”

2、的必要不充分条件，sinA=12 A=30故选 D.【点睛】该题考查的是有关充分条件必要条件的判断问题，涉及到的考点有充分条件必要条件的定义和判断方法，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.3.已知 为非零实数，且 ，则下列不等式成立的是（ ）a,b abA. B. C. D. a2b21a|b| 2a2b【答案】D【解析】2【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于 为非零实数，故可利用特例进行讨论a,b得出正确选项.【详解】A 选项不正确，当 时，不等式就不成立；a=1,b=2B 选项不正确，因为 时，不等式就不成立；a=1,b=2C 选项不正确，因为 时，不等式就不成立；a=1,b

3、=2D 选项正确，因为 是一个增函数，故当 时一定有 ，y=2x ab 2a2b故选 D.【点睛】该题考查的是有关不等式的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点是对于不正确的结论只要举出一个反例即可，再者要熟练掌握不等式的性质.4.已知命题 p： ， ，则 为 xR sinx1 pA. ， B. ， C. ， D. ，xR sinx1 xR sinx1 xR sinx1 xRsinx1【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定是存在性命题，按规则写出其否定即可.【详解】命题 的否定为： .故选 C.p xR,sinx1【点睛】一般地，全称命题 “ ”的否定为“ ”，而存在性命题“xM,p(x

4、) xM,p(x)”的否定为 “ ”.xM,p(x) xM,p(x)5.已知命题 ( R), 命题 函数 在区间 上单调递增, 则下列命题p:a20a q: f(x)=x2-x 0,+)中为真命题的是（ ）.A. B. C. D. pq pq (p)(q) (p)q【答案】A【解析】【分析】利用函数的性质先判断命题 p,q 的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出.【详解】命题 ，是真命题，命题 函数 在区间p:a20(aR) q: f(x)=x22x=(x1)21上单调递增，在区间 上不单调，因此是假命题；1,+) 0,+)3则下列命题中位真命题的是 ，pq故选 B.【点睛】该题考查的是

5、有关复合命题的真值表的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有不等式的性质以及二次函数的性质，首先判断出命题 p,q 的真值是解题的关键.6.椭圆 的离心率为（ ）x2+4y2=1A. B. C. D. 32 34 22 23【答案】A【解析】解：因为椭圆 ，a=1,b= ,c= ,则椭圆的离心率为 ，选 Ax2+4y2=1x2+y214=1 12 32 327.设四个正数 a, b, c, d 成等差数列，则下列各式恒成立的是 （ ）A. B. C. D. a+d2bc a+d2bc a+d2 bc a+d2 b0) 27 34A. B. C. D. x216+y27=1 x216+y29=1

6、 x264+y228=1 x264+y236=1【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，建立相应的等量关系式，列出对应的方程组，从而求得 a,b 的值，最后求得椭圆的方程.【详解】由题意可得 ，解得 ，2b=27e=ca=34a2=b2+c2 a=4,b= 7所以椭圆的方程为 ，x216+y27=1故选 A.【点睛】该题考查的是有关椭圆的方程的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有椭圆的短轴长为 ，椭圆的离心率 ，以及椭圆中 三者之间的关系，认真审题是正2b e=ca a,b,c确解题的关键.11.在 中， ，则 ABC (a+c)(ac)=b(b+c) A=A. B. C. D

7、. 30 60 120 150【答案】B【解析】12.已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是以 为直径的圆与该椭圆的一个交F1,F2x2a2+y2b2=1 P F1F26点，且 ,则这个椭圆的离心率是（ ）PF1F2=2PF2F1A. B. C. D. 3-1 23312 232【答案】A【解析】因为 是以 为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以 ，因为 ，P F1F2 F1PF2=2 PF1F2=2PF2F1所以 。在 中，因为 ，所以 ，由椭圆定义可PF2F1=6 RtPF1F2 |F1F2|=2c |PF1|=c,|PF2|= 3c得 ，所以 。故选 A。 c+ 3c=2a e=ca= 21+

8、3= 31【点睛】求离心率的值或范围就是找 的值或关系。由 是以 为直径的圆与该椭圆a,b,c P F1F2的一个交点，得 为直角三角形。由 求出两锐角，根据斜边求两直PF1F2 PF1F2=2PF2F1角边，再根据椭圆定义得关于 的关系式，可求离心率。a,c二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.设椭圆 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则 b 值为_x225+y2b2=1,(00 sinA= 1cos2A=53三角形内角之间的关系，可得 即可求出 的值；5cosC=sinB=sin(A+C)=53cosC+23sinC tanC（2）由（1）可知 ，又由正弦定理

9、知： ，故 ，再对对角 A 运用余弦sinC=56 asinA= csinCc= 3定理： ，解得 ，再根据三角形的面积公式即可求出结果cosA=b2+c2a22bc =23 b= 3试题解析：（1） ， ，cosA=230 sinA= 1cos2A=53又 5cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=53cosC+23sinC整理得： tanC= 5（2）由（1）可知 sinC=56又由正弦定理知： ，故 asinA= csinCc= 3对角 A 运用余弦定理： cosA=b2+c2a22bc =23解得： 或 （舍去） b= 3 b=33ABC 的面积为：

10、S=52考点：1同角的基本关系；2正弦定理；3余弦定理19.已知数列 是等差数列，且 ， .an a1=2 a1+a2+a3=12 求数列 的通项公式；an 令 ，求数列 的前 项和的公式 .bn=ann(nN*) bn n【答案】 （1）2n（2）【解析】解:（1） ， a1=2 a1+a2+a3=123a1+3d=12，即 d=2an=2+(n1)2=2n.（2）由已知： bn=2n3n10Sn=23+43+63+ 2n3nSn=232+433+634+ 2n3n+1-得=-2Sn=23+232+233+ +23n2n3n+16(13n)132n3n+1Sn=33n+12 +n3n+1=3

11、2+(n12)3n+120.设椭圆 C： 过点 ，离心率为 x2a2+y2b2=1(ab0) (0, 3) 12（1）求椭圆 C 的方程； （2）设斜率为 1 的直线过椭圆 C 的左焦点且与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求 AB 的中点 M 的坐标【答案】 （1） （2）x24+y23=1 (47,37)【解析】【分析】（1）首先根据题中所给的椭圆方程，可以判断得出其为焦点在 x 轴上的椭圆，根据其过的点的坐标，从而判断出 b 的值，结合离心率，列出相应的等量关系式，借助于椭圆中的关系，求得结果；a,b,c（2）首先根据题中的条件，写出直线的方程，之后与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标

12、公式求得结果.【详解】 （1）由椭圆 C： 可知其焦点在 x 轴上，x2a2+y2b2=1(ab0)因为椭圆过点 ，所以 ，(0, 3) b= 3因为其离心率 ，解得 ，e=ca= 1b2a2=12 a2=4所以椭圆的标准方程为 ；x24+y23=1（2）由题意可知：直线方程为 ，y=x+1由 ，整理得 ，显然 ，x24+y23=1y=x+1 7x2+8x8=0 0设 ， ，A(x1,y1),B(x2,y2) M(x0,y0)由韦达定理可得 ， ，x1+x2=87 y1+y2=x1+1+x2+1=87+2=6711所以 AB 中点 M 的坐标是 .(47,37)【点睛】该题考查的是有关直线与椭

13、圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的短轴端点，椭圆的离心率，椭圆中 三者之间的关系，直线方程的点斜式，直线与椭圆的综合题，韦达a,b,c定理以及中点坐标公式，认真求解时正确解题的关键.21.已知两点 ，直线 AM，BM 相交于点 M，且这两条直线的斜率之积为 .A(2,0),B(2,0) 34(1)求点 M 的轨迹方程；(2)记点 M 的轨迹为曲线 C，曲线 C 上在第一象限的点 P 的横坐标为 1，过点 P 的斜率不为零且互为相反数的两条直线分别交曲线 C 于 Q，R（异于点 P） ，求直线 QR 的斜率.【答案】 （1） （2）x24+y23=1 12【解析】【分析】（1）设点 ，通过 ，即可

14、求出曲线 C 的方程；M(x,y) kAMkBM=-34（2）把 代入曲线 C 的方程，可得 ，直线 PQ 与直线 PR 的斜率互为相反数，设直x=1 P(1,32)线 PQ 的方程为 ，与椭圆方程联立，由于 是方程的一个解，所以方程的另y=k(x-1)+32 x=1一个解为 ，同理 ，可得直线 QR 的斜率.xQ=4k2-12k-34k2+3 xR=4k2+12k-34k2+3【详解】(1)设点 ，因为 ，所以 ，M(x,y) kAMkBM=-34 yx+2 yx-2=-34整理得点所在的曲线 C 的方程为： .x24+y23=1(x2)（2）由题意可得点 ，P(1,32)直线 PQ 与直线

15、 PR 的斜率互为相反数，设直线 PQ 的方程为 ，y=k(x-1)+32与椭圆的方程联立消去 y，得 ，(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0由于 是方程的一个解，所以方程的另一个解为 ，x=1 xQ=4k2-12k-34k2+3同理 ，xR=4k2+12k-34k2+3故直线 RQ 的斜率为kRQ=yR-yQxR-xQ=-k(xR-1)+32-k(xQ-1)-32xR-xQ12.=-k(8k2-64k2+3-2)24k4k2+3 =12【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在解题的过程中，涉及到的知识点有动点的轨迹方程的求解问题，直线与椭圆相交对应的解题的步骤与解题的思路，注意联立方程组是少不了的，注意对不满足条件的点的去除问题.22.求证： （其中 ） ；(2)已知 （0，+） ，且 ，求证：【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换求出结果；（2）直接利用关系式的恒等变换求出结果.【详解】证明：（1） ；（2） ，且 ，故 .【点睛】该题考查的是有关不等式的证明问题，在解题的过程中，需要抓住的是基本不等式成立的条件，第一小题需要对式子进行变形，凑出基本不等式的条件，第二问需要结合题中的条件，对 1 进行变形，得到结果.