[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷60及答案与解析.doc

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1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 60 及答案与解析一、填空题1 设 则 A31+A32+A33=_2 设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且|E 一 A|=|E 一 2A|=|E 一 3A|=0，则|B 一1+2E|=_3 设 A 为三阶正交阵，且|A|0，|B 一 A|=一 4，则|E 一 ABT|=_4 设 A 为 n 阶矩阵，且|A=a0，则 I(kA)*|=_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=0，其中5 求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；6 求矩阵 A7 用正

2、交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32 一 4x1x2 一 4x1x2 一 4x2x3 为标准二次型7 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a 一 1)x12+(a 一 1)x22+2x32+2x1x2(a0)的秩为 28 求 a；9 用正交变换法化二次型为标准形9 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A(A 称为幂等阵)求：10 二次型 XTAX 的标准形；11 |E+A+A2+An|的值11 设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1，x 2，x n)=12 记 X=(x1，x 2，x n)T，把二次型 f(x1，x 2，x n)写成矩阵

3、形式；13 二次型 g(X)=XTAX 是否与 f(x1，x 2，x n)合同？13 设 A 是三阶实对称矩阵，且 A2+2A=0，r(A)=2 14 求 A 的全部特征值；15 当 k 为何值时，A+kE 为正定矩阵？16 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3 为正定二次型，求 t 的范围17 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：|E+A| 118 用配方法化下列二次型为标准形：f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22 一 5x32+2x1x22x1x3+2x2x319 用配方法化下列二次型为标准形：f(x 1，x 2，x 3)=2x

4、1 x2+2x1 x3+6x2 x319 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x32 一 4x1x2 一 8x1x3 一 4x2x3 经过正交变换化为标准形 5y12+by22 一 4y32，求：20 常数 a，b ；21 正交变换的矩阵 Q21 设 为正定矩阵，令 P=22 求 PTCP；23 证明：D=BA 一 1BT 为正定矩阵24 设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 60 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 0【试题解析】 A 31+A32+A33=A31+A32+A33+0A34+0A35【知识模块】 线性代数2

5、【正确答案】 60【试题解析】 因为|E 一 A|=|E 一 2A|=|E 一 3A|=0，所以 A 的三个特征值为 ，1，又 AB，所以 B 的特征值为 ，1，从而 B 一 1 的特征值为 1，2，3，则 B一 1+2E 的特征值为 3，4， 5，故|B 一 1+2E|=60【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 一 4【试题解析】 |A| 0 |A|=一 1|E 一 ABT|=|AAT 一 ABT|=|A|(A 一 B)T|=一|A 一B|=|B 一 A|=一 4【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 k n(n 一 1)an 一 1【试题解析】 因为(kA) *=kn 一 1A*，且|A

6、 *|=|A|n 一 1，所以|(kA) *|=|kn 一 1|A*|=kn(n 一 1)|A|n 一 1=kn(n 一 1)an 一 1【知识模块】 线性代数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 由 AB+B=0 得(E+A)B=0，从而 r(E+A)+r(B)3，因为 r(B)=2，所以r(E+A)1，从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于 2 重，显然 =一 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1=2=一 1， 3=5由(E+A)B=0 得 B 的列组为(E+A)X=0的解，故 1= ， 2= 为 1=2=一 1 对应的线性无

7、关解令 3= 为3=5 对应的特征向量，因为 AT=A，所以 ，解得3= 令 1= 2=2 一 ，正交化得令 Q=(1， 2， 3)，则 f=XTAX一 y12 一 y22+5y32【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 由 QTAQ=【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX，其中 X= 由|E 一 A|= =(+3)( 一 3)2=0 得 1=一 3， 2=3=3由(一 3E一 A)X=0 得 A1=一 3 对应的线性无关的特征向量为 1= 由(3E 一 A)X=0 得2=3=3 对应的线性无关的特征向量为 2= 3= 将 2， 3 正交化得 2=， 3

8、=3 一 ，单位化得则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，Y T(QTAQ)Y=一 3y12+3y22+3y32【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A= ，因为二次型的秩为 2，所以 r(A)=2，从而 a=2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A= ，由|E 一 A|=0 得 1=2=2， 3=0当 =2 时，由(2E 一 A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 1= 2= 当 =0 时，由(0E 一 A)X=0 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 3= 因为 1， 2 两两正交，单位化得 1= 令，则 f=XTAX YT (QTAQ)Y=2y1

9、 2+2y2 2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 因为 A2=A，所以|A|E 一 A|=0，即 A 的特征值为 0 或者 1， 因为A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(n一 r 重 )，则二次型 XTAX 的标准形为 y12+y22+yr2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 令 B=E+A+A2+An，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n 一 r重)，故 |E+A+A2+An|=|B|=(n+1)r【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 f(X)=(x 1，x

10、 2，x n)因为 r(A)=n，所以|A|0，于是 A*=A 一 1，显然 A*，A 一 1 都是实对称矩阵【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A 一 1 合同，故二次型 f(x1，x 2，x n)与 g(X)=XTAX 规范合同【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由 A2+2A=0 得 r(A)+r(A+2E)=3，从而 A 的特征值为 0 或一 2，因为 A 是实对称矩阵且 r(A)=2，所以 1=0， 2=3=一 2【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 A+kE 的特征值为 k，k 一

11、 2，k 一 2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型为正定二次型，所以有 解得【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值10， 20， n0 ，因此 A+E 的特征值为1+11， 2+11， n+11，故|A+E|=( 1+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 A= ，则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22 一 5x32+2x1x2 一 2x1x3+2x2x3=(x1+x2 一 x3)2+(x

12、2+2x3)2 一 10x32， 且 f(x1，x 2，x 3)YT(PTAP)Y=y12+y22 一 10y32【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 令 ，或 X=P1Y，其中 P1=且 P1 可逆，则 f(x1，x 2， x3) 2y1 2 一 2y2 2+8y1 y3+4y2 y3=2(y1+2y3)2 一 2(y2 一 y3)2 一 6y3 2，再令 ，或 Y=P2Z，其中 P2= 且 P2 可逆，令 P=P1P2=，P 可逆，且 f(x1，x 2，x 3)=XTAXZT(PTAP)Z=2z1 2 一 2z2 2 一 6z3 2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正

13、确答案】 令 A= ，则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX矩阵 A 的特征值为 1=5， 2=b， 3=一 4，从而，特征值为 1=2=5， 3=一 4【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 将 1=2=5 代入(E 一 A)X=0，即(5E 一 A)X=0，由 5E 一 A=得 1=2=5 对应的线性无关的特征向量为 1=将 3=一 4 代入(E 一 A)X=0，即(4E+A)X=0，由 4E+A=得 3=一 4 对应的线性无关的特征向量为 3=令 1=1= ， 2=2 一 3=3= 单位化得 1=所求的正交变换矩阵为【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 为正定矩阵，所以 AT=A，D T=D，P TCP=【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 C 与 合同，且 C 为正定矩阵，所以为正定矩阵，故 A 与 D 一 BA 一 1BT 都是正定矩阵【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 A，B 正定，所以 AT=A，B T=B，从而(A+B) T=A+B，即A+B 为对称矩阵对任意的 X0，X T(A+B)X=XTAX+XTBX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 XTAX0，X TBX0，因此 XT(A+B)X 0，于是 A+B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数