[考研类试卷]考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷4及答案与解析.doc

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1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（A）设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小（B）设当 xx 0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小（C）设在 x=x0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x) 必是无穷大（D）设在 x=x0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大2 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x0

2、 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数为 ( )（A）f(x)sin x（B） f(x)+sinx（C） f2(x)（D）|f(x)|3 设当 xx 0 时，(x)，(x)都是无穷小(x)0)，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )（A）（B） 2(x)+2(x).cos（C） ln1+(x).2(x)（D）|(x)|+|(x)|4 设当 x0 时，e tanx 一 ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 当 x0 时，f(x)=xsin ax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则 ( )二、填空题6 7 8

3、若当 x0 时，有 ，则 a=_9 当 x0 时，若有 则 A=_，k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求极限：11 求极限：12 求极限：13 14 15 设 f(x)是三次多项式，且有16 17 18 确定常数 a 和 b 的值，19 设函数 f(x)= (x0)，证明：存在常数 A，B，使得当 x0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数 A，B20 21 求常数 A，B ，C，D 22 23 数列x n通项24 设 a1=2， 存在并求其极限值25 设 a1=1，当 n1 时 证明：数列a n收敛，并求其极限值26 设 a1=0，当 n1 时

4、，a n+1=2 一 cosan，证明：数列a n收敛，并证明其极限值位于区间( ，3)内27 设 a1=1，当 n1 时， ，证明：数列a n收敛，并求其极限值28 设 x1=1， xn+1=29 如果数列x n收敛，y n发散，那么x nyn是否一定发散?如果x n和y n都发散，那么x nyn的敛散性又将如何?30 证明：若单调数列x n有一收敛的子数列，则数列 xn必收敛31 分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【

5、试题解析】 设 f(x)= ，当 x0 时为无界变量，不是无穷大令 g(x)=x，当 x0 时为无穷小，可排除(A)设 x0 时，令 f(x)=x2，g(x)= 可排除(B)，(C)【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x)+sin x 在点 x0 处连续，则 f(x)=f(x)+sin x一 sin x 在点 x0 处也连续，与已知矛盾【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 A【试

6、题解析】 由泰勒公式 sinax=ax 一 +o(x3)(x0)，【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题6 【正确答案】 e 6【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 一 3【试题解析】 当 x0 时， 故 a=一 3【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 原极限等价于求 令 f(t)=a

7、rctan t，t由拉格朗日中值定理可得【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 因为又 x0 时，a x 一1=exlna 一 1 xlna【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 因为 所以 f(2a)=f(4a)=0，从而得知 x 一 2a， x-4a 为 f(x)的因式,又因为 f(x)为三次多项式，可令 f(x)=b(x 一 2a)(x一 4a)(xc)于是【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 显然由条件知0，而【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案

8、】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 故由归结原则，【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 ，所以a n有下界下面再证明a n单调递减【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 f(x)在0，+)上单增由 a1=10，可得 故 a1a 20，又由于函数 f(x)在0，+)上单调增加，所以有 f(a1)f(a 2)f(0)=0再根据递归定义式 an+1=f(an)，可

9、得a2a 30类似地可以继续得到： a1a 2a 3a 4a na n+10，于是可知数列a n单调减少且有下界 0，所以数列a n收敛设其极限为 A(A0)，即=A，则必有 =A 在 an+1=f(an)两边同取 n时的极限，根据函数 f(x)的连续性，有 A=f(A)，即 A=【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 设 f(x)=2 一 cos x，则 an+1=f(an)，有 f(x)=sin x，所以 f(x)在0，3上单增由于 a1=0，a 2=2 一 cos a1=1，即 a1a 23，由于函数 f(x)在0，3上单调增加，所以 f(a1)f(a 2)f(3)，即 a2a

10、 33，从而有a1a 2a 3a 3a na n+13 于是可知数列 an单调增加且有上界 3，所以数列a n收敛设其极限为 A(A3)，即 =A，则必有 =A 在an+1=f(an)两边同取 n时的极限，有 A=f(A)，即 A=2 一 cos A 记 g(x)=x 一2+cos x，则上述数列的极限值 A，就是方程 g(x)=0 的解 由于函数 g(x)在0，3上连续，在(0，3) 内可导，且有 g(x)=1 一 sin x0，所以函数 g(x)在0，3上单调增加由于 g(3)=1+cos 3 0， 所以方程 g(x)=0 在区间 内的解存在且唯一，证毕【知识模块】 函数、极限、连续27

11、【正确答案】 设 所以 f(x)在0，+)上单调减少，由于 a1=1， 可知 a1 a3a 2，而 f(x)在0，+)上单调减少，所以有 f(a1)f(a 3)f(a 2)，即 a2a 4a 3，所以 a1a 3a 4a 2，递推下去就可以得到 a 1 a3a 5a 2n-1a 2na 6a 4a 2， 由此可以肯定，给定数列的奇数项子数列a 2n-1单调减少且有下界 ，偶数项子数列a 2n单调增加且有上界 a1=1，所以他们都收敛,设他们的极限分别为正数 P 和 Q，即在 an+1=f(an)两边同取 n时的极限，根据函数 f(x)的连续性，有【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】

12、 即 xn+1x n，由数学归纳法可知对一切 n，都有 xn+1x n又 xn+1= 所以xn单调增加且有上界，x n必收敛 两边取极限，得【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 在题设两种情况下，x nyn的收敛性都不能确定现在先就 xn收敛，y n发散的情况来分析利用 (xn0)这个恒等式，就可得到下述结论：若x n收敛且不收敛于零，y n发散，则x nyn必发散这是因为若x nyn)收敛，且又x n收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知y n收敛，这与假设矛盾若 =0，且y n发散，则x nyn可能收敛，也可能发散，如：则 xnyn=1，于是x n，y n收敛

13、则 xnyn=(一 1)n，于是x nyn发散 现在再就 xn和y n都发散的情况来分析x nyn)的收敛性有下面的结论：若x n和y n都发散，且两者至少有一个是无穷大，则x nyn必发散这是因为如果x nyn收敛，而x n为无穷大，从等式 便得到y n收敛于零，这与假设矛盾若x n和y n都不是无穷大且都发散，则 xnyn)可能收敛，也可能发散，如x n=yn=(一 1)n 有 xnyn=1，于是x nyn收敛x n=(一 1)n，y n=1 一(一 1)n，有 xnyn=(一 1)n 一 1，于是 xnyn发散【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 记数列y n为单调数列x n

14、的收敛子数列，因为单调数列 xn的子数列y k也一定是单调数列由于收敛的单调数列必有界，所以数列y k一定有界即存在实数 A 和 B，对一切 k 成立 Ay kB由于数列y k是单调数列x n的收敛子数列，所以存在 N，当 nN 时，有 xny1，则 Ax nB又根据单调有界数列必收敛的原理可知，数列x n必收敛【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=|x|，通常写成分段函数的形式 但也可以写成一个表达式 所以函数 (x)=|x|是初等函数而则不是初等函数【知识模块】 函数、极限、连续