[考研类试卷]考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷5及答案与解析.doc

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1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 积分 aa+2cosln(2cos)d 的值（A）与 a 有关（B）是与 a 无关的负数（C）是与 a 无关的正数（D）为零2 设常数 0， 则（A）I 1I 2（B） I1I 2（C） I1I 2（D）I 1 与 I2 的大小与 的取值有关3 下列反常积分中发散的是（A）（B） 0 d（C）（D）二、填空题4 _5 _6 _7 01arcsind_8 (n0)_9 02sinncosmd(自然数 n 或 m 为奇数)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演

2、算步骤。10 求双纽线 r2a 2cos2(a0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积11 求功：()设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?()半径为 R 的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?12 过曲线 y 2(0)上某点 A 作一切线，使之与曲线及 轴围成图形面积为 ，求：( )切点 A 的坐标； () 过切点 A 的切线方程； ()由上述图形绕 轴旋转的旋转体的体积13 设常数 b ，曲线 ：y (，)的孤长为 l ()求证：l ； ()求定积分J 14 设 f()为非负连续函数，且满足 f()0f(t)dtsin 4 求

3、f()在0， 上的平均值15 设 a0，f() 在(0， )连续，求证： () ()又设 f( )f()( 0) ，则16 设 f()在a，b上连续，f()0 且 abf()d0，求证：在a ，b上 f()017 证明 ，其中 n 为自然数18 证明定积分 I sin2d019 证明：20 证明sin()d ，其中 p021 证明 022 设 f()在0，1连续，且对任意 ，y 0，1均有f()f(y)M y，M为正的常数，求证：23 设函数 f()与 g()在区间a ，b上连续，证明： abf()g()d2abf2()dabg2()d (*)24 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可

4、导，且 abf()df(b)求证：在(a， b)内至少存在一点 ，使 f()025 求下列变限积分函数的导数： ()F() etdt，求 F()(0)； ()设f()处处连续，又 f(0)存在，F() 1 0tf(u)dudt，求 F()( )26 以下计算是否正确? 为什么 ?27 n 为自然数，证明：28 求下列不定积分：考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于被积函数 ln(2cos).cos 是以 2 为周期的偶函数，因此 原式 02ln(2cos)cosd -

5、ln(2cos)cosd 2 0ln(2cos)coad2 0ln(2cos)d(sin) 2sinln(2 cos 0 0sindln(2cos)又因为在0， 上，被积函数连续，非负，不恒为零，因此该积分是与 a 无关的正数故选 C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 A【试题解析】 当0 时 cossin，又 0 ，所以 I1I 20故选 A【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用3 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 A：由于当 k1 时，故 收敛 对于选项 B： 是收敛的 对于选项 C： 也是收敛的 由排除法可知，应选 D【知识模块】 一元函数积分概念、计算

6、及应用二、填空题4 【正确答案】 2【试题解析】 原式 -1122 (1 2)d -11d2 -11 d2【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 2e 22【试题解析】 原式 4e 22e 222e 22【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 【试题解析】 原式【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 【试题解析】 其中 01是 单位圆的面积即 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用8 【正确答案】 (nln1 n)C【试题解析】 原式【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 0【试题解析】 由周期函数的积分性质得

7、当 n 为奇数时，由于被积函数为奇函数，故 In，m 0 当 m 为奇数( 设 m2k1，k 0，1，2，)时 In，m sinn(1sin 2)kdsinR(sin) 0， 其中 R(u)为 u 的某个多项式(不含常数项) 因此，I n，m 0【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 双纽线如图 34 所示由对称性，只需考察 0， 面积S2.2 由 r2a 2cos2 得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 () 以球心为原点， 轴垂直向上，建立坐标系(如图 35)取下半球中的微元薄片，即 取小区间

8、， d1 ，0 ，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为，(1 2)d，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1)，故需做功 d1(1)(1) 2d因此，对下半球做的功 1 -10(1)(1 2)d 取上半球中的微元薄片，即 V 取小区间， d 0，1，相应的小薄片，其重量为，(1 ) 2d戈，当球从水中移出时，此薄片移动距离为 1所受力为重力，故需做功d2(1 2)d因此，对上半球做的功 2 01(1 2)d 于是，对整个球做的功为 1 2 -10(1)(1 2)d 01(1 2)d -11(1 2)d -10(1 2)d () 建立坐标系如图 36取 为积分变量，0 ，

9、R ，d 相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 (R2 2)d， 又比重 1，于是把这层水抽出需做功 d(R 2 2)d因此，所求的功 0R(R2 2)d【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 如图 37()设点 A(0， 02)，点 A 处的切线方程 y 022 0( 0)，即 y 20 02 令 y0 推出截距 按题意解得 1 得 A(1，1) ()过 A 点的切线 y2 1 () 旋转体体积 V【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 ()：y 2(a)(b) 2(ab)ab，两边对 求导得()曲线 ：y 是以( ，0) 为圆心，半径为 由题()

10、：a， ，则对应的 长 l圆周长的 倍【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 令 t u，则 0f(t)dt 0f(u)du于是 f() 0f(u)dusin 4，d 0f(u)du2 2sin4d 两边积分， 故 f()在平均值【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 证明()按要证的等式，将等式左端改写可得()按题设，对左端作变换 t【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 由定积分的性质 0 af()dtabf()d0( a，b) af(t)dt0(a，b) 得 af(t)dt f()=0( a，b) 【知识模块】 一元函数积

11、分概念、计算及应用17 【正确答案】 利用被积函数的结合性，原式改写成，I cosn-1cossinnd， 两式相加得现得递推公式 2In I n-1，2 nIn 2 n-1In-1 令 Jn2 nIn，得 Jn J n-1，由此进一步得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 先作变量替换 t 2 被积函数在0， 2，上变号， t(0，)时取正值，t( ，2)时取负值，于是 I I 1I 2 把后一积分转化为0，上积分，然后比较被积函数，即被积函数f(t) ，若补充定义 f(0)0，则 f(t)在0， 连续，且 f(t)0(t (0，) 【知识模块】 一元函数积分概念、计

12、算及应用19 【正确答案】 ()由题() 与题() 得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 使用换元积分法令 t，则 I0 这是由于被积函数是奇函数，积分区间是对称的【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 将 01f()d 与 分别表成代入不等式左端，然后利用定积分性质与已知条件得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 把证明定积分不等式 ( abf()g()g()d)2abf2()dabg2()d (*) 转化为证明重积分不等式 引入区域 D(，y)ab，ayb

13、(*)式左端 abf()g()d.abf(y)g(y)dy f()g(y).f(y)g()ddy f2()g2(y)f 2(y)g2()ddy f2()g2(y)ddy f2(y)g2()ddy abf2()dabg2(y)dy abf2(y)dyabg2()d abf2()dabg2(y)dy (*)式右端【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 因为 f()在a，b上连续，由积分中值定理可知，在 (a，b)内至少存在一点 c 使得 f(c) abf()d 这就说明 f(c)f(b) 根据假设可得 f()在c， b上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知，在(c ，b)

14、内至少存在一点 ，使f()0 ，其中 (c，b) (a，b)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 (I)注意到积分的上、下限都是戈的复合函数，由变限积分求导公式可得 ()令g(t) 注意 g(t)是 t 的可导函数，则 F() 1g(t)dt，F()g()，【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 题中所给出的计算是错误的原因在 arctan 在 0 不连续，且0 不是 arctan 的可去间断点，从而 arctan 不是 在区间1， 1上的一个原函数，故不能直接在1，1 上应用牛顿莱布尼兹公式这时正确的做法是把1，1分为1，0 与0，1两个小区间，然后用分段积分法进行如下计算：【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用28 【正确答案】 () 利用三角函数的倍角公式：1cos22cos 2 进行分项得()利用加减同一项进行拆项得()将被积函数的分母有理化后得再将第二项拆项得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用