2014届北京市昌平区高三第二次统练文科数学试卷与答案（带解析）.doc

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1、2014届北京市昌平区高三第二次统练文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 试题分析： ，在复平面内对应的点为 ，位于第一象限。故 A正确。 考点：复数的运算。 已知 ，若 恒成立，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 时，函数 在 上是增函数，且 ；当时，函数 在 上单调递减，且 。令，表示过定点 斜率为 的直线。当 时，直线必与函数有两个交点，不能使 恒成立。当 时，显然恒成立；当 时，直线与函数 相切时，因定点 即在直线 上又在函数 图像上，则此点即为切点，因为 ，由

2、导数的几何意义可得 ，有数形结合分析可知 时 恒成立；显然当 时 也恒成立。综上可得 。故 D正确。 考点： 1函数的单调性； 2数形结合思想。 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报 40元； 方案二：第一天回报 10元，以后每天的回报比前一天多回报 10元； 方案三：第一天回报 0.4元，以后每天的回报是前一天的两倍 . 若投资的时间为 天，为使投资的回报最多，你会选择哪种方案投资？（ ） A方案一 B方案二 C方案三 D都可以 答案： B 试题分析：投资 8天时，方案一回报 元；方案二回报元；方案三回报 元。方案二回报最多，故B正确。

3、 考点： 1等差数列的前 项和； 2等比数列的前 项和。 下列函数中，对于任意的 ，满足条件 的函数是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由 可得函数 在 上单调递增。 A、 B、D三个选项中的函数定义域均不为 ，故舍。而 在 上是增函数。故 C正确。 考点： 1单调性的定义； 2函数的定义域及单调性。 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由三视图分析可知此几何体为底面是直角三角形，其中一条侧棱垂直与底面的三棱锥。底面三角形两直角边分别为 3、 4，棱锥高为 6.则棱锥体积为 。故 A正确。 考点： 1三视图； 2棱锥体积公式。

4、已知命题 使得 ；命题 .则下列命题为真命题的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 时， ，当且仅当 时取 ，故命题 是假命题。显然命题 是真命题。所以 为真命题。故 B正确。 考点： 1基本不等式； 2命题。 在 中，若 ，则 的大小为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由 得 。则，因为 ，所以 。故 C 正确。 考点：余弦定理。 已知等差数列 中， ，则 的前 10项和为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设公差为 ，则 ，则首项 。所以。故 C正确。 考点：等差的通项公式、前 项和公式。 填空题 在边长为 2的菱形 中， ，若 为 的中点，则的值为 _;

5、若点 为 边上的动点，点 是 边上的动点，且 ， ，则 的最大值为 _ . 答案： ； 试题分析：以 为坐标原点以 所在直线为 轴建立直角坐标系，由已知可得.所以 ，所以 。设 ， ， ，因为，所以 。即 ，同理可得 。所以,所以。因为 所以 时 。 考点： 1向量共线； 2向量的数量积； 3二次函数求最值问题。 已知矩形 中， ，在矩形 内随机取一点 ,则的概率为 _ . 答案： 试题分析：以 为直径作圆，与 边相切，切点为 边的中点，当点 即为 边中点时 ，分析可知当点 在矩形 内但不在圆 仁img src=http:/ style=vertical-align:middle;。则所求概率

6、为。 考点：几何概型概率。 执行右边的程序框图，若输入的 N是 4，则输出 p的值是 _ . 答案： 试题分析：根据框图的循环结构，依次 ； ； 。跳出循环输出 。 考点：算法程序框图。 已知双曲线 的焦距为 ，一条渐近 线的斜率为 ，则此双曲线的标准方程为 _，焦点到渐近线的距离为 _ . 答案： ； 试题分析：由题意可知 且 ，又因为 ，解由以上三个方程组成的方程组可得 。则此双曲线的标准方程为 。焦点 到渐近线 即 的距离为 。 考点： 1双曲线的标准方程； 2点到线的距离。 已知实数 满足 则 的最小值为 _ . 答案： 试题分析： 作出可行域如图中阴影部分，将 化为 ，作出直线并平移

7、，使之经过可行域，易知经过点 时，纵截距最小，此时。 考点：线性规划问题。 若直线 与直线 平行，则 _ . 答案： 试题分析：因两直线平行所以 ，解得 。 考点：两直线平行。 解答题 已知函数 , . （ 1）求 的最小正周期及值域； （ 2）求 单调递增区间 . 答案：（ 1） ，值域为 （ 2） 试题分析：先将函数式展开，再用二倍角公式降幂统一角，最后用两角和差公式的逆用即化一公式将其化简为 的形式，（ 1）根据周期公式 求其周期，再根据正弦的值域求此函数的值域。（ 2）将整体角代入正弦的单调增区间解得 的范围即为所求。 解：（ 1）因为 1分 3分 ， 4分 所以 . 6分 因为 ，

8、所以 . 7分 所以 . 所以 的值域为 . 8分 （ 2）因为 ， 10分 所以 . 11分 所以 . 12分 所以函数 的单调递增区间为 . 13分 考点： 1三角函数的化简变形； 2三角函数的周期、值域和单调性。 某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取 100名新生按上学所需时间分组：第 1组 ，第 2组，第 3组 ，第 4组 ，第 5组 ，得到的频率分布直方图如图所示 . （ 1）根据图中数据求 的值 （ 2）若从第 3， 4， 5组中用分层抽样的方法抽取 6名新生参与交通安全问卷调查，应从第 3， 4， 5组 各抽取多少名新生？ （ 3）在（

9、 2）的条件下，该校决定从这 6名新生中随机抽取 2名新生参加交通安全宣传活动，求第 4组至少有一名志愿者被抽中的概率 . 答案：（ 1） ；（ 2）第 3、 4、 5组依次各抽取人数为 3、 2、 1；（ 3）试题分析：（ 1）小矩形的面积表示此组的频率，根据频率和为 1 可求得 的值。（ 2）先求第 3、 4、 5组的频率即频率分布直方图中各组小矩形的面积，根据求得各组的频数，然后求得此 3组的频数和。最后根据比例计算各组抽取人数。（ 3）记第 3组的 3名新生为 ,第 4组的 2名新生为 ,第 5组的 1名新生为 ，将从这 6名新生中随机抽取 2名所办含的基本事件一一例举并得到基本事件总

10、数，其中第 4组至少有一名的基本事件再一一例举得到此事件包含的基本事件数。根据古典概型概率公式求其概率。 解：（ 1）因为 , 1分 所以 . 2分 （ 2）依题意可知， 第 3组的人数为 ， 第 4组的人数为 ， 第 5组的人数为 . 所以 3、 4、 5组人数共有 60. 3分 所以利用分层抽样的方法在 60名学生中抽取 6名新生 ,分层抽样的抽样比为 4分 所以在第 3组抽取的人数为 人 ， 在第 4组抽取的人数为 人， 在第 5组抽取的人数为 人， 7分 （ 3）记第 3组的 3名新生为 ,第 4组的 2名新生为 ,第 5组的 1名新生为 .则从 6名新生中抽取 2名新生，共有 : ,

11、共有 15种 . 9分 其中第 4组的 2名新生 至少有一名新生被抽中的有 : 共有 9种 , 11分 则第 4组至少有一名新生被抽中的概率为 13分 考点： 1频率分布直方图； 2分层抽样； 3古典概型概率。 已知正四棱柱 中， 是 的中点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： ； （ 3）在线段 上是否存在点 ，当 时，平面 平面 ？若存在，求出 的值并证明；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3）详见 试题分析：（ 1）连结 交 于 ，连结 ，在正四棱柱中底面为正方形，所以可知 为 的中点，因为 是 的中点，由中位线可得 .根据线面平行的判定定理即可证

12、得 平面 。（ 2）由正四棱柱可知侧棱垂直与底面，从而可得侧棱垂直与 ，因为底面为正方形可得 ，由线面垂直的判定定理可证得 平面 ，从而得证 。（ 3）取的中点 ，连结 ，可证得 为平行四边形，从而得到，当 为 中点时，同理可证的 为平行四边形，从而可得，由平行公理可知 ，在证 也为平行四边形，从而可证得 ，根据面面平行的判定定理可证得平面 平面 ，此时。 解：（ 1）在正四棱柱 中 ,连结 交 于 ，连结 . 因为 为正方形， 所以 为 中点 . 1分 在 中， 因为 为 中点， 所以 . 2分 因为 平面 ， 平面 ， 4分 所以 平面 . 5分 （ 2） 因为 为正方形， 所以 . 6分

13、 因为 已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ，且 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设数列 是首项为 1，公比为 的等比数列，求数列 的前 n项和 . 答案：（ 1） （ 2） 时， ； 时，试题分析：（ 1）将已知条件 中的 均用 表示，即可解得 的值。再根据等差的通项公式求其通项公式即可。（ 2）根据等比数列的通项公式可得 ，即可得 （注意对公比 是否为 1 进行讨论）。当 时， ，根据等差数列前 项和公式求 ；当 时， 的通项公式等于等差乘等比的形式，故应用错位相减法求其前 n项和 。 解：（ 1）因为公差 ，且 ， 所以 . 2分 所以 . 4分 所以等差数列 的通项公式为 .

14、 5分 （ 2）因为数列 是首项为 1，公比为 的等比数列， 所以 . 6分 所以 . 7分 （ 1）当 时， . 8分 所以 . 9分 （ 2）当 时， 因为 9分 10分 - 得 11分 12分 13分 考点： 1等差数列的通项公式、前 项和公式； 2错位相减法求数列前 项和。 已知函数 ， . （ 1）求函数 的单调区间； （ 2）如果对于任意的 ，都有 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） 在 和 上单调递减，在 上单调递增；（ 2） 试题分析：（ 1）先求导，根据 可得 的值。将 的值代入导数式并将导数变形分解因式，讨论导数的正负，导数大于 0得增区间，导数小于 0得减区间。（ 2）

15、将 变形为 （注意 所以不等式两边同除以 时不等号应改变）。设 .将问题转化为时 恒成立问题，即 。将函数 求导，分析讨论导数的正负，从而判断函数 的单调性，根据单调性求其最值。 解：（ 1） 因为 ， 1分 因为 ， 所以 . 2分 所以 . 令 ，解得 . 3分 随着 的变化， 和 的变化情况如下： 即 在 和 上单调递减，在 上单调递增 . 6分 （ 2） 因为对于任意的 ，都有 ， 即 ， 所以 . 8分 设 . 因为 ， 9分 又因为 ， 所以 . 10分 所以 . 所以 在 上单调递增 . 11分 所以 . 12分 即 .   已知椭圆 的焦点为 ，点 是椭圆上的一点， 与

16、 轴的交点 恰为 的中点， . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）若点 为椭圆的右顶点，过焦点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ,求 面积的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）根据已知分析可得点 横坐标为 1，纵坐标为 ,，即点。法一：将 代入椭圆方程，结合 且 ，解方程组可得 的值。法二：根据椭圆的定义求点 到两焦点的距离的和即为 ，再根据关系式 求得 。（ 2）设过点 的直线 的斜率为 ,显然（注意讨论直线斜率存在与否）。当直线的斜率不存在时，直线方程为，将 代入椭圆方程可得 的纵坐标，从而可得 ，根据椭圆图像的对称性可知 ，因此可得 。当直线斜率存在时设直线 的方程为 ，将直线与椭圆方程联立，消去 （或 ）得关于 的一元二次方程，从而可得根与系数的关系。根据弦长公式求 ，再用点到线的距离公式求点 到直线 的距离 ，所以 。最后根据基本不等式求其范围即可。 解：（ 1）因为 为 的中点， 为 的中点， ， 所以 ，且 . 1分 所以 . 因为 ， 所以 . 2分 因为 , 3分 所以 . 所以椭圆 的方程为 . 4分 （ 2）设过点 的直线 的斜率为 ,显然 . （ 1）当 不存在时，直线 的方程为 ， 所以 . 因为 相关试题 2014届北京市昌平区高三第二次统练文科数学试卷（带）