2013-2014学年江苏盐城中学高二上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析）.doc

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1、2013-2014学年江苏盐城中学高二上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 命题 “ ， ”的否定是 . 答案： 试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以命题 “ ， ”的否定是 考点：本题考查的知识点是全称命题和特称命题的关系以及命题的否定 已知函数 ，若 、 满足 ，且恒成立，则 的最小值为 . 答案： 试题分析：由题意可知， ,且 ,要使不等式恒成立，只需恒成立，令 则 ， ，而函数 的值域是 ，因此，当时， 的取值集合为 ，即 的最小值为 考点：本题主要考查了不等式性质，函数值域的求解方法，以及二次函数的恒成立问题 过椭圆 的左顶点 A且斜率为 的直线交椭圆 于另一点 ，

2、且点 在 轴上的射影恰为右焦点 ,若 ，则椭圆的离心率的取值范围是 . 答案： 试题分析：由题意可知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，所以直线 的斜率 ，因为 ，所以，从而得到离心率 的取值范围为 考点：本题主要考查了椭圆的几何性质以及离心率的定义 已知 为坐标原点， ， ， ，若点 在直线 上运动，则 的最小值为 . 答案： 试题分析：因为点 在直线 上运动，所以 ,则， ，显然当 时， 取得最小值，最小值为 考点：本题主要考查了共线向量的充要条件，向量的数量积的运算，以及二次函数最值的求解方法 为椭圆 上的点， 是其两个焦点，若 ，则的面积是 答案： 试题分析： ，设 ，则由椭圆的定义可知

3、，所以 ，因为 ，由余弦定理可得， ，则 ，所以 考点：本题考查的主要知识点是椭圆的定义的应用，余弦定理的应用，以及三角形面积公式的掌握 已知正数 满足 ，则 的最小值为 . 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，取得最小值，最小值为 考点：本题主要考查了对于基本不等式的掌握 已知动点 到点 的距离等于它到直线 的距离，则点 的轨迹方程是 . 答案： 试题分析：设 ,因为动点 到点 的距离等于它到直线 的距离，所以根据两点间的距离公式和点到直线的距离公式可得，化简可得 抛物线的轨迹方程为 考点：本题主要考查了动点的轨迹方程的求法同时考查了学生基本的运算能力 设集合 ， ，则 .

4、 答案： 试题分析：集合 , ,所以 . 考点：本题考查的主要知识点是不等式的解法以及集合的基本运算 设 ， 且 ，则 的最小值是 答案： 试题分析： 满足的约束条件表示的平面区域如下图 部分所示 : 目标函数可化为 ，作出直线 ，将其平移，由上图可知，当把直线平移到经过点 时，可使 取得最小值可解得 点的坐标为 ，此时 取得最小值，最小值为 考点：本题主要考查了简单的线性规划问题，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题 已知直线 的方向向量分别为 ，若 ，则实数 = 答案： 试题分析：若直线 ，则其方向向量 ，所以 ，因为，所以 ，得到 考点：本题考查的知识点是

5、直线的互相垂直与其方向向量的关系，以及向量数量积的运算 “两条直线不相交 ”是 “两条直线是异面直线 ”的 条件（填 “充分不必要 ”、“必要不充分 ”、 “充要 ”、 “既不必要又不充分 ”中的一个） 答案：必要不充分 试题分析：若两条直线不相交，则两条直线是异面或平行直线 ；反过来，若两条直线是异面直线，则两条直线一定不相交，所以 “两条直线不相交 ”是 “两条直线是异面直线 ”的必要不充分条件 考点：本题考查的知识点是充分、必要条件的判断，空间中两条直线的位置关系 双曲线 的渐近线方程为 . 答案： 试题分析：由双曲线的方程可知，其焦点在 轴上，且 ， ，所以渐近线的方程为 考点：本题考

6、查的知识点是双曲线的渐近线方程的求解方法，做题的关键是判断其焦点在哪个坐标轴 已知点 ， ，则向量 的坐标为 . 答案： 试题分析：若已知向量的起点和终点坐标，则向量的坐标是其终点相应坐标减去起点坐标，因为点 ， ，则向量 的坐标为 考点：本题考查的重点是向量的坐标和起终点坐标的关系 抛物线 的焦点坐标是 . 答案： 试题分析：抛物线 的开口向上，所以其焦点在 轴的正半轴，因为，所以 ，则其焦点坐标为 考点：本题的考查的知识点是抛物线的焦点坐标的求解方法 解答题 在长方体 中， 为线段 中点 （ 1）求直线 与直线 所成的角的余弦值； （ 2）若 ,求二面角 的大小； （ 3）在棱 上是否存在

7、一点 ,使得 平面 ？若存在，求 的长；若不存在 ,说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）以 点为原点 ,建立空间直角坐标系 ,写出各点的坐标 ,从而可求出 和 的坐标 ,因为 ,所以直线 与直线 所成的角为，其余弦值 ；（ 2）分别求出平面 和平面 的法向量，求出法向量所成的角，转化为二面角的平面角；（ 3）假设在棱上存在一点 ,使得平面 ,则 ，设 ，则 垂直于平面 的法向量，从而求出 ，即存在点 ，使 平面 试题： （ 1）以 点为原点 ,分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系 , 则 ， , 故 即 与 所成角的余弦值为 0 (2) 连接 ,由长方体

8、,得 ， , ,由 (1)知 ,故 平面 . 所以 是平面 的法向量 ,而 , 又 ，设平面 的法向量为 ,则有 ,取 ,可得 则 ，所以二面角是 (3) 假设在棱上存在一点 ,使得 平面 ,则 ，设，平面 的法向量为 则有 ,取,可得 要使 平面 ,只要 ， ,又 平面 , 存在点 使 平面 ,此时 . 考点：本题考查的知识点是向量在立体几何中的应用，主要考查了利用向量方法解决空间中线面角，二面角的平面角的求解，以及线面平行的判定方法，解题的关键是建立空间坐标系，利用向量法解决空间中立体几何问题 某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为 的三段式污水处理池，池高为 1 ，如果池的四周墙壁的建造费单

9、价为 元 ，池中的每道隔墙厚度不计，面积只计一面，隔墙的建造费单价为 元 ，池底的建造费单价为元 ，则水池的长、宽分别为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？ 答案：污水池的长宽分别为 , 时造价最低，为 元 试题分析：设污水池的宽为 ，则长为 ，水池的造价为 元，则由题意知：定义域为 ， ,利用基本不等式即可求得其最值 试题： 设污水池的宽为 ，则长为 ，水池的造价为 元，则由题意知：定义域为 ， 当且仅当 ，取 “=”， 此时长为 ，即污水池的长宽分别为 , 时造价最低，为 元 考点：本题考查了基本不等式的应用 如图，四棱锥 SABCD的底面为正方形， SD 平面 ABCD， SD

10、=AD=2，请建立空间直角坐标系解决下列问题 （ 1）求证： ；（ 2）求直线 与平面 所成角的正弦值 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析： (1) 建立以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴的空间直角坐标系，写出 和 的坐标，计算其数量积即可证明垂直；（ 2）取平面 的法向量 ，利用向量 和 的数量积，计算向量 和的夹角，转化为线面角 试题： (1)建立以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴的空间直角坐标系， 则 , , , ， , ， ， （ 2）取平面 ADS 的一个法向量为 ,则 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 考点：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用 已知顶点在原点

11、 ，焦点在 轴上的抛物线过点 . （ 1）求抛物线的标准方程； （ 2）若抛物线与直线 交于 、 两点，求证： . 答案： (1) ；（ 2） 试题分析： (1)由题意可知，抛物线的开口向右，所以可设抛物线的标准方程为：，因为抛物线过点 ，从而求出方程；（ 2）设出 两点坐标，联立直线和抛物线的方程，化简整理为一元二次方程，根据韦达定理写出两根之和与两根之积，由斜率公式 写出 ,利用两根和与两根之积求出其乘积 试题： (1)设抛物线的标准方程为： ，因为抛物线过点 ，所以， 解得 ，所以抛物线的标准方程为： （ 2）设 、 两点的坐标分别为 ，由题意知： 消去 得 : ，根据韦达定理知： ，

12、所以， 考点：本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，考查了方程的思想方法 . 已知命题 ：任意 ， ，命题 ：函数 在上单调递减 （ 1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围； （ 2）若 和 均为真命题，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：对于命题 ,要使得对于任意 ， 恒成立，只需 小于或等于 的最小值；对于命题 ，要使函数 在 上单调递减，只需 ，从而得到 的取值范围 试题 :（ 1）当 为真命题时，有 恒成立，只需 小于或等于 的最小值，所以 ，即实数 的取值范围 （ 2）当 为真命题时，有 ，结合（ 1）取交集，有实数 的取值范围 考点：本

13、题考查了圆锥曲线的标准方程的掌握 ,以及对于复合命题真假性关系的判断 . 已知抛物线 与椭圆 有公共焦点 ，且椭圆过点. （ 1）求椭圆方程； （ 2）点 、 是椭圆的上下顶点，点 为右顶点，记过点 、 、 的圆为 ，过点 作 的切线 ，求直线 的方程； （ 3）过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点 、 ，试问直线 是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2） 或 ；（ 3） 试题分析：（ 1）由题目给出的条件直接求解 的值，则可求出椭圆方程；（ 2）当所求直线斜率不存在时，其方程为 ，符合题意；当直线斜率存在时，可设其斜率为 ，写出直线

14、的点斜式方程，因为直线与圆相切，所以根据圆心到直线的距离等于圆的半径可直接求得直线的斜率，从而得到 方程；（ 3）由题意可知，两直线的斜率都存在，设 AP： ，代入椭圆的方程从而求出点 的坐标，同理再求出点 的坐标，从而可求出直线 的方程，由方程可知当 时， 恒成立，所以直线恒过定点 试题： (1) ，则 c=2, 又 ，得 所求椭圆方程为 (2)M , M: ，直线 l斜率不存在时， ， 直线 l斜率存在时，设为 ， ，解得 ， 直线 l为 或 （ 3）显然，两直线斜率存在 , 设 AP： ， 代入椭圆方程，得 ，解得点 ， 同理得 ，直线 PQ： ， 令 x=0，得 ， 直线 PQ过定点 考点：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法