2012-2013学年陕西省南郑中学高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析）.doc

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1、2012-2013学年陕西省南郑中学高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 计算 的值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： = = ，故选 C。 考点：本题主要考查复数的代数运算。 点评：简单题，注意通过分子、分母同乘分母的共轭复数，实现 “分母实数化 ”。 已知 f(x) x3 ax2 (a 6)x 1有极大值和极小值，则 a的取值范围为( ) A -1 a 2 B -3 a 6 C a -1或 a 2 D a -3或 a 6 答案： D 试题分析：因为 f(x) x3 ax2 (a 6)x 1有极大值和极小值，所以，有不等实根， ，解得， a -3或 a 6，故

2、选 D。 考点：本题主要考查利用导数研究函数的极值。 点评：简单题，连续函数存在极值，函数的导数为零必有解。 已知函数 f(x)在定义域 R内是增函数，且 f(x) 0，则 g（ x） =x2 f(x)的单调情况一定是（ ） A在（ -， 0）上递增 B在（ -， 0）上递减 C在 R上递减 D在 R上递增 答案： A 试题分析：因为，函数 f(x)在定义域 R内是增函数，所以， ，又 f(x)0，所以， 0，在（ -， 0）成立，即 g（ x） =x2 f(x)的单调情况一定是在（ -， 0）上递增，故选 A 考点：本题主要考查导数的运算法则，导数的应用。 点评：简单题，函数在某区间为增函数

3、，则函数的导数非负；函数在某区间为减函数，则函数的导数非正。 一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t称后的位移为 ， 那么速度为零的时刻是（ ） A 0秒 B 1秒末 C 2秒末 D 1秒末和 2秒末 答案： D 试题分析：位移对时间的导数是质点的运动速度。因为， ， 所以， ，令 =0得， t=1或 2，故选 D。 考点：本题主要考查导数的计算，位移和速度的关系。 点评：简单题，注意到位移对时间的导数是质点的运动速度，通过求导数的速度的表达式。 若有 4名学生通过了插班考试，现插入 A、 B、 C三个班中，并且每个班至少插入 1人的不同插法有 （ ） A.24种 B.28种 C.36种 D.

4、32种 答案： C 试题分析：由题意，四名学生中有两名学生分在一个班有 C42种，再分到三个不同的班有 A33种， 所以，满足条件的种数是 C42A33 =36，故选 C。 考点：本题主要考查排列组合的实际应用。 点评：基础题，利用排列组合解决实际问题，注意结合计数原理。 曲线 y x2-2x在点 处的切线的倾斜角为 ( ) A -135 B 45 C -45 D 135 答案： D 试题分析：因为， y x2-2x，所以 ，故切线的斜率为 -1，切线的倾斜角为 135，故选 D。 考点：本题主要考查导数的几何意义，直线的斜率与倾斜角。 点评：简单题，利用导数值等于切线的斜率，求导数使其等于切

5、线的斜率，即为倾斜角的正切。 曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（ ） A B C 和 D 和 答案： C 试题分析：由 y=x3+x-2，求导数得 y=3x2+1， 由已知得 3x2+1=4，解之得 x=1 当 x=1时， y=0；当 x=-1时， y=-4 切点 P0的坐标为（ 1， 0）或（ -1， -4） 故选 C。 考点：本题主要考查导数的几何意义，直线平行的条件。 点评：简单题，利用导数值等于切线的斜率，求导数使其等于直线的斜率。 如图，由函数 的图象，直线 及 x轴所围成的阴影部分面积等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为， =0 时， x=1，所以，

6、由函数 的图象，直线 及 x轴所围成的阴影部分面积等于 ，故选 A。 考点：本题主要考查定积分的几何意义及定积分的计算。 点评：简单题，图中阴影面积，是函数在区间 1,2的定积分。 可导函数 在一点的导数值为 是函数 在这点取极值的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：以 y=|x|为例，其在 x=o 处取到极值，但，函数在该点的导数不存在。可导函数 在一点的导数值为 是函数 在这点取极值的必要不充分条件。选 B。 考点：本题主要考查应用导数研究函数的极值，函数极值存在的条件。 点评：简单题，可导函数 在一点的导数值为 是函数 在

7、这点取极值的必要不充分条件。 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 （ ） A 10种 B 25种 C 20种 D 32种 答案： D 试题分析：每一名同学均有 2种选法，所以， 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 ，故选 D。 考点：本题主要考查分步计数原理。 点评：简单题，分 5步，分别安排 5位同学，每一 位同学均有 2种选法。 填空题 设函数 y=f（ x）的定义域为 ，若对给定的正数 K，定义则当函数 时， 答案： ln2+1 试题分析：因为函数 ， ，即f1（ x） = 所以， 考点：本题

8、主要考查学生的学习能力，分段函数的概念及定积分计算，分式不等式解法。 点评：中档题，在理解题意的基础上，确定分段函数的式，并对分段函数进行定积分计算。 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点有 _个答案： 试题分析：从图中看，是导数为 0的 x值有 4个。极小值点要求在 “驻点 ”的两侧导数值 “左负右正 ”，故应由极小值点 1个。 考点：本题主要考查函数存在极值的条件。 点评：简单题，极小值点要求在 “驻点 ”的两侧导数值 “左负右正 ”。 从 4台甲型笔记本电脑和 5台乙型笔记本电脑中任意选择 3台，其中至少要有甲型与乙型笔记本电脑各 1台，

9、则不同取法共有 _种 答案：种 试题分析：任选 3 台，至少要有 A 型和 B型笔记本电脑各一台，共有两种类型：A2 台、 B1 台； A1 台、 B2 台 A2 台、 B1 台时共有 C42C51=30种； A1 台、 B2 台时共有 C41C52=40种 共 有 40+30=70种。 考点：本题主要考查简单的排列组合应用问题的解法，计数原理。 点评：简单题，本题是排列组合常见题目，结合分类、分步计数原理加以处理，是常见解法。 曲线 上一点 处的切线方程是 答案： 试题分析：因为， ， ，所以，曲线 上一点 处的切线斜率为 ，故曲线 上一点 处的切线方程是 。 考点：本题主要考查导数的几何意

10、义，直线方程。 点评：简单题，利用导数值等于切线的斜率，求导数值得到切线的斜率，利用点斜式求直线方程。 复数 与复数 相等，则实数 的值为 _ 答案： 试题分析：由两复数相等，则它们的实部、虚部分别相等。得， ，解得， a=-4. 考点：本题主要考查复数相等的充要条件。 点评：简单题，两复数相等，则它们的实部、虚部分别相等。 解答题 已知向量 ， ，函数 （ 1）求函数 的式及其单调递增区间； （ 2）在 中，角 为钝角，若 ， ， 求 的面积。 答案：（ 1） ，单调递增区间为 ，； （ 2） . 试题分析：（ 1） 由 得： 单调递增区间为 ， 6分 （ 2） ， 角 为钝角，所以 8分

11、由正弦定理可得： ， ，而 ， 10分 12分 考点：本题主要考查平面向量的数量积，平面向量的坐标运算，正弦定理、余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式。 点评：典型题，属于常见题型，根据已知条件，灵活运用数量积及三角公式化简，并进一步研究正弦型函数的性质。综合应用正弦定理、余弦定理，得到三角形边角关系，利用三角形面积公式，达到解题目的。 已知在等比数列 中， ，且 是 和 的等差中项 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）若数列 满足 ，求 的前 项和 . 答案：（ I） ；（ II） 。 试题分析：（ I）设等比数列 的公比为 是 和 的等差中项 2分 4分 6分 （ II） . 8分

12、 9分 12分 考点：本题主要考查等差中项、等比数列的的基础知识， “分组求和法 ”。 点评：中档题，本题综合考查等差数列、等比数列的基础知识，本解答从确定通项公式入手，明确了所研究数列的特征。 “分组求和法 ”、 “错位相消法 ”、 “裂项相消法 ”是高考常常考到数列求和方法。 如图所示，在边长为 60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 答案：箱子底边长取 40 cm时，容积最大，最大容积为 16 000 cm3. 试题分析：设箱子的底边长为 x cm，则箱子高 h cm. 箱子容积 V

13、 V(x) x2h (0x60) 求 V(x)的导数，得 V(x) 60x- x2 0， 解得 x1 0(不合题意，舍去 )， x2 40. 当 x在 (0,60)内变化时，导数 V(x)的正负如下表： x (0,40) 40 (40,60) V(x) 0 - 因此在 x 40处，函数 V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数 V(x)的最大值 将 x 40代入 V(x) 得最大容积 V 402 16 000(cm3) 所以箱子底边长取 40 cm时，容积最大，最大容积为 16 000 cm3. 考点：本题主要考查函数模型，应用导数研究函数的单调性、最值。 点评：典型题，本题属于函数及导数应

14、用中的基本问题，通过研究构建函数函数模型，利用导数求函数的最值。关于函数应用问题的考查，在高考题中往往是 “一大两小 ”。构建函数模型的步骤 “审清题意、设出变量、确定函数、求解答案：、写出结语 ”。本题利用均值定理，确定函数的最值。 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部 分叫棱台。 如图，在四棱台 中，下底 是边长为 的正方形，上底是边长为 1的正方形，侧棱 平面 ， . （ ）求证： 平面 ； （ ）求平面 与平面 夹角的余弦值 . 答案：以 D为原点，以 DA、 DC、 DD1所在直线分别为 x轴， z轴建立空间直角坐标系 Dxyz 如图，则有 A（ 2， 0， 0），

15、B（ 2， 2， 0）， C（ 0， 2， 0），A1（ 1， 0， 2）， B1（ 1， 1， 2）， C1（ 0， 1， 2）， D1（ 0， 0， 2） . （ ）设 由 得到，进一步得到 平面 ； （ ）二面角 的余弦值为 . 试题分析：以 D为原点，以 DA、 DC、 DD1所在直线分别为 x轴， z轴建立空间直角坐标系 Dxyz 如图，则有 A（ 2， 0， 0）， B（ 2， 2， 0）， C（ 0， 2，0）， A1（ 1， 0， 2）， B1（ 1， 1， 2）， C1（ 0， 1， 2）， D1（ 0， 0， 2） . 3分 （ ）证明：设 则有 所以， ， 平面 ； 6分

16、 （ ）解： 设 为平面 的法向量， 于是 8分 同理可以求得平面 的一个法向量 ， 10分 二面角 的余弦值为 . 12分 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必 考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤。在空间垂直关系明确的情况下，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量可简化证明过程。本题难度不大。 若函数 f(x) ax3-bx 4，当 x 2时，函数 f(x)有极值 - . (1)求函数的式 (2)若方程 f(x)

17、 k有 3个不同的根，求实数 k的取值范围 答案： (1) f(x) x3-4x 4.(2)- k . 试题分析： f(x) 3ax2-b. (1)由题意得 解得 故所求函数的式为 f(x) x3-4x 4. (2)由 (1)可得 f(x) x2-4 (x-2)(x 2)， 令 f(x) 0，得 x 2或 x -2. 当 x变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表： x (-， -2) -2 (-2， 2) 2 (2， ) f(x) 0 - 0 f(x) - 因此，当 x -2时， f(x)有极大值 ， 当 x 2时， f(x)有极小值 - ， 所以函数 f(x) x3-4x 4的图象大

18、致如图所示 若 f(x) k有 3个不同的根，则直线 y k与函数 f(x)的图象有 3个交点，所以 - k . 考点：本题主要考查函数的式，应用导数研究函数的单调性、极值。 点评：中档题，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，是导数的应用中的基本问题。本题（ II）应用导数，通过研究函数的单调性、极值等，对函数的图象有了充分的了解，明确了函数零点情况。 已知椭圆 C： 的两个焦点为 F1、 F2，点 P 在椭圆 C 上，且 |PF1|= , |PF2|= ， PF1 F1F2. （ 1）求椭圆 C的方程； (6分 ) （ 2）若直线 L过圆 x2+y2+4x-2y=0的圆心 M交椭圆于 A、

19、 B两点，且 A、 B关于点 M对称，求直线 L的方程 . 答案： (1)椭圆 C的方程为 1. (2)所求的直线方程为 8x-9y+25=0. 试题分析： (1) 点 P在椭圆 C上， ， a=3. 在 Rt PF1F2中， 故椭圆的半焦距 c= , 从而 b2=a2-c2=4, 椭圆 C的方程为 1. (2)设 A， B的坐标分别为（ x1, y1）、（ x2, y2） . 圆的方程为（ x+2） 2+(y-1)2=5, 圆心 M的坐标为（ -2， 1） . 从而可设直线 l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C的方程得 （ 4+9k2） x2+(36k2+18k)x+36k2+3

20、6k-27=0. （ *） 又 A、 B关于点 M对称 . 解得 ， 直线 l的方程为 即 8x-9y+25=0. 此时方程（ *）的 ，故所求的直线方程为 8x-9y+25=0. 解法二： (1)同解法一 . (2)已知圆的方程为（ x+2） 2+(y-1)2=5, 圆心 M的坐标为（ -2， 1） . 设 A， B的坐标分别为（ x1,y1） ,(x2,y2). 由题意 x1 x2且 由 - 得 又 A、 B关于点 M对称， x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入 得 ，即直线 l的斜率为 ， 直线 l的方程为 y-1 （ x+2），即 8x-9y+25=0. 此时方程（ *）的 ，故所求的直线方程为 8x-9y+25=0. 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与圆、椭圆的位置关系。 点评：中档题，本题求椭圆的标准方程时，应用了椭圆的定义。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本解法给出了两种思路，其中思路 1主要是利用韦达定理，结合对称性求得直线方程；思路 2则利用了 “点差法 ”求斜率，进一步结合对称性求得 直线方程。