【考研类试卷】考研数学二（多元函数微分学）-试卷5及答案解析.doc

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1、考研数学二（多元函数微分学）-试卷 5 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.极限 （分数：2.00）A.等于 0B.不存在C.等于D.存在，但不等于3.设 u=arcsin = ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.极限 （分数：2.00）A.等于 0B.不存在C.等于D.存在且不等于 0 及5.设 u=f(r)，而 r= =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0

2、 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用“PQ”表示可由性质 P 退出性质 Q，则有 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.7.设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x，u“ 1 (x，2x)=x 2 ，u 有二阶连续偏导数，则 u 11 (x，2x)= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.利用变量替换 u=x，v= =z 化成新方程 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.若函数 u= （分数：2.00）A.x

3、+yB.xyC.x 2 一 y 2 (13)(x+y) 210.已知 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则 ( )（分数：2.00）A.a=2，b=一 2B.a=3，b=2C.a=2，b=2D.a=一 2，b=211.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且 （分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上12.设函数 z=(1+e y )cos x

4、ye y ，则函数 z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点D.有无穷多个极小值点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设 f 可微，则由方程 f(cx 一 az，cy 一 bz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足 az“ x +bz“ y = 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 z=z(x，y)由方程 sin x+2yz=e z 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.函数 f(x，y，z)=一 2x 2 在 x 2 一 y 2 一 2z 2 =2 条件下的极大值是 1（分数：2.00）填空项 1:_1

5、6.函数 u=arcsin( （分数：2.00）填空项 1:_17.设 z=e sin xy ，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy 一 y=0 和 e z 一 xz=0 所确定，求 （分数：2.00）_20.设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 z= =0 (1)验证 f“(u)+ （分数：2.00）_21.设 z=u(x，y)e ax+y ， （分数：2.00）_2

6、2.已知函数 u=u(x，y)满足方程 （分数：2.00）_23.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4 一 x 一 y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭合区域 D 上的极值、最大值与最小值（分数：2.00）_24.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费 z，(万元)及报纸广告费用 x 2 (万元)之间的关系有如下经验公式： R=15+14x 2 +32x 2 8x 1 x 2 一 2x 1 2 一 10x 2 2 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为15 万元，求相应的最优广

7、告策略（分数：2.00）_25.求 f(x，y)=x+xy 一 x 2 一 y 2 在闭区域 D=(x，y)0x1，0y2)上的最大值和最小值（分数：2.00）_26.设 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围（分数：2.00）_27.设 f(x，y)具有二阶连续偏导数，证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值b=(a)的必要条件是 f(a，b)=0，f“ x (a，b)=0，f“ y (a，b)0 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 r(a，

8、b)= （分数：2.00）_28.求函数 z=x 2 +y 2 +2x+y 在区域 D：x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值（分数：2.00）_29.求内接于椭球面 （分数：2.00）_30.在第一象限的椭圆 （分数：2.00）_31.在球面 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0，y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=ln x+ln y+3ln z 的最大值，并利用所得结果证明不等式 abc 2 27( （分数：2.00）_32.设 （分数：2.00）_33.设 A，B，C 为常数，B 2 一 AC0，A0u(x，y)具有二阶连续偏导数，试证明：必存在非奇异线性变换 = 1

9、x+y，= 2 x+y ( 1 ， 2 为常数)，将方程 （分数：2.00）_34.设 f(x，y)在点 O(0，0)的某邻域 U 内连续，且 （分数：2.00）_35.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 一 x 2 y 2 在区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，y0)上的最大值与最小值（分数：2.00）_36.设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f“ xy (0，0)，h“(1)=f“ yx (0，0)，且满足 =x 2 y 2 z 2 h“(xyz)，求 u 的表达式，其中 （分数：2.00）_37.求证：f(x，y)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 在约束

10、条件 g(x，y)=1 一 （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学）-试卷 5 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.极限 （分数：2.00）A.等于 0B.不存在 C.等于D.存在，但不等于解析：解析：当取 y=kx 时，3.设 u=arcsin = ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：将 x 视为常数，属基本计算4.极限 （分数：2.00）A.等于 0B.不存在 C.等于D.存在且不等于 0 及解析：解析：取 y=x

11、，则5.设 u=f(r)，而 r= =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：6.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用“PQ”表示可由性质 P 退出性质 Q，则有 ( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题考查如图 141 中因果关系的认知：7.设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x，u“ 1 (x，2x)=x 2 ，u 有二阶

12、连续偏导数，则 u 11 (x，2x)= ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 u“ 1 +2u“ 2 =1，两边再对 x 求导得 u“ 11 +2u“ 12 +2u“ 21 +4u“ 22 =0， 等式 u“ 1 (x，2x)=x 2 两边对 x 求导得 u“ 11 +2u“ 12 =2x， 将式及 u“ 12 =u“ 21 ，u“ 11 =u“ 22 代入式中得 u“ 11 (x，2x)=一 8.利用变量替换 u=x，v= =z 化成新方程 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：9.若函数 u= （分数：2.

13、00）A.x+yB.xy C.x 2 一 y 2 (13)(x+y) 2解析：解析：10.已知 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则 ( )（分数：2.00）A.a=2，b=一 2B.a=3，b=2C.a=2，b=2 D.a=一 2，b=2解析：解析：由 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy 可知， 3axy 2 一2sin(x+2y)=6xy 2 一 bsin(x+2y) 故得 a=2，b=211.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且 （分

14、数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上 C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上解析：解析：令 B= 12.设函数 z=(1+e y )cos xye y ，则函数 z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点 D.有无穷多个极小值点解析：解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷 由 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设 f 可微，则由方程 f(cx 一 a

15、z，cy 一 bz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足 az“ x +bz“ y = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C）解析：解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题 方程两边求全微分，得 f“ 1 (cdxadx)+f“ 2 (cdybdz)=0，即 14.设函数 z=z(x，y)由方程 sin x+2yz=e z 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程两端对 x 求偏导数 cos x+0 一15.函数 f(x，y，z)=一 2x 2 在 x 2 一 y 2 一 2z 2 =2 条件下的极大值是 1（分数：2

16、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：由拉格朗日乘数法可得16.函数 u=arcsin( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由一 117.设 z=e sin xy ，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e sinxy cosxy(ydx+xdy)）解析：解析：z“ x =e sinxy cos xyy，z“ y =e sinxy os xyx，则 dz=e sinxy cos xy(ydx+xdy)三、解答题(总题数：20，分数：40.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（

17、分数：2.00）_解析：19.设 u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy 一 y=0 和 e z 一 xz=0 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 z= =0 (1)验证 f“(u)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解 在方程 f“(u)+ =0中，令 f“(u)=g(u)，则 f“(u)=g“(u)，方程变为 g“(u)+ =0，这是可分离变量微分方程，解得 g(u)= ，由初始条件 f“(1)=1 解出 C 1

18、 =1，所以，f“(u)= )解析：21.设 z=u(x，y)e ax+y ， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.已知函数 u=u(x，y)满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 u(x，y)=v(x，y)e ax+by 两边同时求偏导数， )解析：23.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4 一 x 一 y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭合区域 D 上的极值、最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程组 得线段 x=0(0y6)及点(4，0)，(2，1)而点(4，0)及线段x=0(0y6)在 D 的边界上，

19、只有点(2，1)在 D 内部，可能是极值点。 f“ xx =8y 一 6xy 一 2y 2 ，f“ xy =8x 一 3x 2 一 4xy，f“ yy =一 2x 2 在点(2，1)处， A= )解析：24.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费 z，(万元)及报纸广告费用 x 2 (万元)之间的关系有如下经验公式： R=15+14x 2 +32x 2 8x 1 x 2 一 2x 1 2 一 10x 2 2 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为15 万元，求相应的最优广告策略（分数：2.00）_正确

20、答案：(正确答案：(1)利润函数为 z=f(x 1 ，x 2 )=15+14x 1 +32x 2 8x 1 x 2 一 2x 1 2 一 10x 2 2 一(x 1 +x 2 ) =15+13x 1 +31x 2 8x 1 x 2 一 2x 1 2 一 10x 2 2 函数 z=f(x 1 ，x 2 )在(075，125)的二阶导数为 A= =一 20由于 B 2 一 AC=6480=一 160，A=一 40，所以函数z=f(x 1 ，x 2 )在(075，125)处达到极大值，也即最大值所以投入电台广告费 075 万元，报纸广告费 125 万元时，利润最大 (2)若广告费用为 15 万元，则

21、需求利润函数 z=f(x 1 ，x 2 )在 x 1 +x 2 =15 时的条件极值 F(x 1 ，x 2 ，)=15+13x 1 +31x 2 8x 1 x 2 2x 1 一 10x 2 +(x 1 +x 2 一 15)， 由方程组 )解析：25.求 f(x，y)=x+xy 一 x 2 一 y 2 在闭区域 D=(x，y)0x1，0y2)上的最大值和最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是闭区域上求最值的问题由于函数 f(x，y)=x+xy 一 x 2 一 y 2 在闭区域 D上连续，所以一定存在最大值和最小值 首先求 f(x，y)=x+xyx 2 一 y 2 在闭区域 D 内部

22、的极值： 解方程组 由 g(x，y)=(f“ xy ) 2 一 f“ xx f“ yy =一 3 得 f(x，y)=x+xy 一 x 2 y 2 在闭区域D 内部的极大值 再求 f(x，y)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值： 这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件 在 x 轴上约束条件为 y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，)=x+xyx 2 一 y 2 +y， 解方程组 在下面边界的端点(0，0)，(1，0)处 f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以，下面边界的最大值为 ，最小值为 0 同理可求出： 在上面边界上的最大值为一 2，最小值为一 4； 在左面边界上的最大值

23、为 0，最小值为一 4； 在右面边界上的最大值为 ，最小值为一 2 比较以上各值，可知函数 f(x，y)=x+xy 一 x 2 一 y 2 在闭区域 D 上的最大值为 )解析：26.设 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 ，可得 f“ x (x，y)=2kx+2ky， f“ xx (x，y)=2k， f y (x，y)=2kx+2y， f“ yy (x，y)=2， f“ xy =(x，y)=2k， 于是， 若=B 2 一 AC=4k 2 一 4k0且

24、A=2k0，故 0k1； 若=B 2 一 AC=4k 2 一 4k=0，则 k=0 或 k=1 当 k=0 时，f(x，y)=y 2 ，由于 f(x，0)0，于是点(0，0)非极小值点 当 k=1 时，f(x，y)=(x+y) 2 ，由于 f(x，一 x)0，于是点(0，0)也非极小值点 综上所述，志的取值范围为(0，1)解析：27.设 f(x，y)具有二阶连续偏导数，证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值b=(a)的必要条件是 f(a，b)=0，f“ x (a，b)=0，f“ y (a，b)0 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a

25、，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 r(a，b)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=(x)在 x=a 处取得极值的必要条件是 “(a)=0而 )解析：28.求函数 z=x 2 +y 2 +2x+y 在区域 D：x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 x 2 +y 2 1 是有界闭区域，z=x 2 +y 2 +2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值 函数在区域内部无偏导数不存在的点 再求函数在边界上的最大值与最小值点，即求 z=x 2 +y 2 +2x+y 满足约束条件 x 2 +y 2 =1 的条件极值点此时，z

26、=1+2x+y 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数 L(x，y，)=1+2x+y+(x 2 +y 2 一 1)， )解析：29.求内接于椭球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设该内接长方体体积为 v，p(x，y，z)(x0，y0，z0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以 v=8xyz，z0，y0，z0 且满足条件下的极值 设 L(x，y，z，)=8xyz+( 一 1)，求出 L 的所有偏导数，并令它们都等于 0，有 由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点( )为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体，体

27、积为 v= )解析：30.在第一象限的椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 构造拉格朗日函数 h(x，y，)=f(x，y)+g(x，y) 根据条件极值的求解方法，先求 根据实际问题，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为 )解析：31.在球面 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0，y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=ln x+ln y+3ln z 的最大值，并利用所得结果证明不等式 abc 2 27( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作拉格朗日函数 L(x，y，z，)=ln x+ln y+3ln z+(x 2 +y 2 +z

28、2 一 5R 2 )，并令 由，式得 x 2 =y 2 = ，因 xyzs 在有界闭集 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0，y0，z0)上必有最大值，且最大值必在 x0，y0，z0 取得，故 f=ln xyz 3 在 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 也有最大值，而 ，故 x 2 y 2 z 6 27R 10 令 x 2 =a，y 2 =b，z 2 =c，又知 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 ，则 abc 2 27( )解析：32.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)按定义易知 f“ x (0，0)=0，f“ y (0，0)=0 )解析：33.设 A，

29、B，C 为常数，B 2 一 AC0，A0u(x，y)具有二阶连续偏导数，试证明：必存在非奇异线性变换 = 1 x+y，= 2 x+y ( 1 ， 2 为常数)，将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于 B 2 一 AC0，A0，所以代数方程 A 2 +2B+C=0 有两个不相等的实根 1 与 2 。取此 1 与 2 ，此时 1 2 A+( 1 + 2 )B+C= (ACB 2 )0，代入变换后的方程，成为 )解析：34.设 f(x，y)在点 O(0，0)的某邻域 U 内连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2

30、一 x 2 y 2 在区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，y0)上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 f(x，y)在 D 的内部的驻点由 f“ x (x，y)=2x 一 2xy 2 =0， f“ y (x，y)=4y 一 2x 2 y=0， 再考虑 D 的边界上的 f(x，y)在 y=0 上，f(x，0)=x 2 ，最大值 f(2，0)=4，最小值 f(0，0)=0 又在 x 2 +y 2 =4 上， )解析：36.设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f“ xy (0，0)，h“(1)=f“ yx (0，0)，且满足 =x 2 y 2 z

31、2 h“(xyz)，求 u 的表达式，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 u“ x =yzh“(xyz)，u“ xy =zh“(xyz)+xyz 2 h“(xyz)， u“ xyz =h“(xyz)+xyzh“(xyz)+2xyzh“(xyz)+x 2 y 2 z 2 h“(xyz) 故 3xyzh“(xyz)+h“(xyz)=0，令 xyz=t，得 3th“(t)+h“(t)=0 )解析：37.求证：f(x，y)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 在约束条件 g(x，y)=1 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在全平面连续，1 一 =0 为有界闭区域，故 f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值 设(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )分别为最大值点和最小值点，令 )解析：