【考研类试卷】考研数学三(微积分)模拟试卷212及答案解析.doc
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1、考研数学三(微积分)模拟试卷 212 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 x=f(x,y)= (分数:2.00)A.可微B.偏导数存在,但不可微C.连续,但偏导数不存在D.偏导数存在,但不连续3.设 z=f(x,y)= (分数:2.00)A.偏导数存在且连续B.偏导数不存在,但连续C.偏导数存在,可微D.偏导数存在,但不可微4.设 f(x,y)=x 一 y(x,y),其中 (x,y)在点(0,0)处连续且 (0,0)=0,则 f(x,y)在点(0,
2、0)处(分数:2.00)A.连续,但偏导数不存在B.不连续,但偏导数存在C.可微D.不可微5.已知(axy 3 一 y 2 cosx)dx+(1+bysinx+3x 2 y 2 )dy 为某二元函数 f(x,y)的全微分,则常数(分数:2.00)A.a=一 2,b=2B.a=2,b=一 2C.a=一 3,b=3D.a=3,b=一 3二、填空题(总题数:2,分数:4.00)6.已知函数 z=f(x,y)在(1,1)处可微,且 f(1,1)=1, =3设 (x)=fx,f(x,x),则 (分数:2.00)填空项 1:_7.设 f(x)= D=(x,y)一x+,一y+,则 (分数:2.00)填空项
3、1:_三、解答题(总题数:17,分数:40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_计算下列函数指定的偏导数:(分数:6.00)(1).设 u=f(2xy)+g(x,xy),其中 f 具有二阶连续导数,g 具有二阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_(2).设 u=u(x,y)由方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定,其中 可微,P 连续,且 (u)1,求 P(x) (分数:2.00)_(3).设 z 3 一 2xz+y=0 确定 z=z(x,y),求 z 的三个二阶偏导数(分数:2.00)_9.已知函数 z=u(x,y)e ax+by ,其中 u(x,y)具有二阶连
4、续偏导数,且 (分数:2.00)_10.设函数 f(x)二阶可导,g(y)可导,且 F(x,y)=fx+g(y),求证: (分数:2.00)_11.设函数 f(x,y)= ,且 g 有二阶导数,求证: (分数:2.00)_已知函数 f(x,y,z)=x 3 y 2 z 及方程 x+y+z 一 3+e -3 =e -(x+y+z) (*)(分数:4.00)(1).如果 x=x(y,z)是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1,1)=1,又 u=f(x(y,z),y,z),求 (分数:2.00)_(2).如果 z=z(x,y)是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1,1)=1,又 w=f(x,y,z(
5、x,y),求 (分数:2.00)_12.设 z=f(x,y,u),其中 f 具有二阶连续偏导数,u(x,y)由方程 u 5 5xy+5u=1 确定求 (分数:2.00)_13.设 u=f(x,y,z),(x 2 ,e y ,z)=0,y=sinx 确定了函数 u=u(x),其中 f, 都有一阶连续偏导数,且 (分数:2.00)_14.设 y=f(x,t),且方程 F(x,y,z)=0 确定了函数 t=t(x,y),求 (分数:2.00)_15.设函数 f(u,v)具有二阶连续偏导数,函数 g(y)连续可导,且 g(y)在 y=1 处取得极值 g(1)=2求复合函数 z=f(xg(y),x+y)
6、的二阶混合偏导数 (分数:2.00)_16.设 f(x,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且 f y (a,b)0,证明由方程 f(x,y)=0 在x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是: f(a,b)=0,f x (a,b)=0, 且当 r(a,b)0 时,b=(a)是极大值;当 r(a,b)0 时,b=(a)是极小值,其中 r(a,b)= (分数:2.00)_17.求使得不等式 (分数:2.00)_18.试求多项式 p(x)=x 2 +ax+b,使积分 -1 1 p 2 (x)dx 取最小值(分数:2.00)_某工厂生产甲、乙两
7、种产品,当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位:吨)时的总收益函数为 R(x,y)=42x+27y 一 4x 2 2xyy 2 ,总成本函数为 C(x,y)=36+8x+12y(单位:万元)除此之外,生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元,1 万元(分数:4.00)(1).在不限制排污费用支出的情况下,这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少?(分数:2.00)_(2).当限制排污费用支出总额为 8 万元的条件下,甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?(分数:2.00)_19.生产某种产品需要投甲、乙两种原料,x 1 和 x 2 (单位:吨)分
8、别是它们各自的投入量,则该产品的产出量为 Q=2x x (单位:吨),其中常数 0,0 且 +=1如果两种原料的价格分别为 p 1 与 p 2 (单位:万元吨)试问,当投入两种原料的总费用为 P(单位:万元)时,两种原料各投入多少可使该产品的产出量最大?(分数:2.00)_20.已知三角形的周长为 2p,将它绕其一边旋转而构成一立体,求使立体体积最大的那个三角形(分数:2.00)_21.证明不等式: (分数:2.00)_考研数学三(微积分)模拟试卷 212 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选
9、项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 x=f(x,y)= (分数:2.00)A.可微B.偏导数存在,但不可微C.连续,但偏导数不存在 D.偏导数存在,但不连续解析:解析:设z=f(x,y)一 f(0,0),则可知z= z=0这表明 f(x,y)= 在点(0,0)处连续 因 f(x,0)=0 f(x,0) x=0 =0,同理 f y (0,0)=0 令 =z 一 f x (0,0)x 一f y (0,0)y= ,当(x,y)沿 y=x 趋于点(00)时 3.设 z=f(x,y)= (分数:2.00)A.偏导数存在且连续B.偏导数不存在,但连续C.偏导数存在,可微 D.偏导数存在,但不
10、可微解析:解析:由偏导数定义可知 这说明 f x (0,0)存在且为 0,同理 f y (0,0)存在且为 0 4.设 f(x,y)=x 一 y(x,y),其中 (x,y)在点(0,0)处连续且 (0,0)=0,则 f(x,y)在点(0,0)处(分数:2.00)A.连续,但偏导数不存在B.不连续,但偏导数存在C.可微 D.不可微解析:解析:直接按可微性定义f(x,y)在(x 0 ,y 0 )可微,即 f(x,y)在(x 0 ,y 0 )满足 f(x 0 +x,y 0 +y)一 f(x 0 ,y 0 )=Ax+By+()(= 0),其中 A,B 是与x,y 无关的常数易知 A= 特别是,若有 f
11、(x 0 +x,y 0 +y)一 f(x 0 ,y 0 )=(), 则 f(x,y)在(x 0 ,y)可微(且 =0) 这里,由于 5.已知(axy 3 一 y 2 cosx)dx+(1+bysinx+3x 2 y 2 )dy 为某二元函数 f(x,y)的全微分,则常数(分数:2.00)A.a=一 2,b=2B.a=2,b=一 2 C.a=一 3,b=3D.a=3,b=一 3解析:解析:依题设由 df(x,y)=f x (x,y)dx+f y (x,y)dy =(axy 3 一 y 2 cosx)dx+(1+bysinx+3x 2 y 2 )dy, 可知 f x (x,y)=axy 3 一 y
12、 2 cosx,f y (x,y)=1+bysinx+3x 2 y 2 , 所以 f“ xy (x,y)=3axy 2 2ycosx,f“ yx (x,y)=bycosx+6xy 2 由 f“ xy (x,y)和 f“ yx (x,y)的表达式可知它们都是连续函数,根据当混合偏导数连续时与求导次序无关的定理即得 f“ xy (x,y)f“ yx (x,y)从而 a=2,b=一 2故应选 B二、填空题(总题数:2,分数:4.00)6.已知函数 z=f(x,y)在(1,1)处可微,且 f(1,1)=1, =3设 (x)=fx,f(x,x),则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案
13、:51)解析:解析: 又 =f 1 +f 2 (f 1 +f 2 ), (1)=f(1,1)=1, 所以 7.设 f(x)= D=(x,y)一x+,一y+,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由于 故在区域 D 1 =(x,y)0y1,一 yx1 一 y(如图 42)上 f(y)=y,f(x+y)=x+y,在 D 1 的外部 f(y)=0,f(x+y)=0于是 三、解答题(总题数:17,分数:40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:计算下列函数指定的偏导数:(分数:6.00)(1).设 u=f(2xy)+g(x,xy),其中
14、 f 具有二阶连续导数,g 具有二阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: =2f+g 1 +yg 2 , )解析:(2).设 u=u(x,y)由方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定,其中 可微,P 连续,且 (u)1,求 P(x) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:在 u=(u)+ y x P(t)dt 两边分别对 x,y 求偏导数可得 )解析:(3).设 z 3 一 2xz+y=0 确定 z=z(x,y),求 z 的三个二阶偏导数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:在方程两边分别对戈求偏导数得 (3z 2 2x) 一 2z=0, (*) 即 将(
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