【考研类试卷】考研数学三（多元函数微分学）-试卷2及答案解析.doc

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1、考研数学三（多元函数微分学）-试卷 2 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.极限 （分数：2.00）A.等于 0B.不存在C.等于D.存在，但不等于3.设 u=arcsin ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.极限 （分数：2.00）A.等于 0B.不存在C.等于D.存在且不等于 0 及5.设 u=f(r)，而 r= ，f(r)具有二阶连续导数，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质

2、： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用“P Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x，u 1 (x，2x)=x 2 ，u 有二阶连续偏导数，则 u 11 (x，2x)= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.利用变量代换 u=x，v= ，可将方程 化成新方程 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.若

3、函数 u= ，其中 f 是可微函数，且 （分数：2.00）A.x+yB.xyC.x 2 y 2D.(x+y) 210.已知 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则 ( )（分数：2.00）A.a=2，b=2B.a=3，b=2C.a=2，b=2D.a=2，b=211.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且 （分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界

4、上12.设函数 z=(1+e y )cosxye y ，则函数 z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点D.有无穷多个极小值点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设 f 可微，则由方程 f(cxaz，cybz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足 az x +bz x = 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 z=z(x，y)由方程 sinx+2yz=e z 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.函数 f(x，y，z)=2x 2 在条件 x 2 y 2 2z 2 =2 下的极大值是 1（分数：2.00）填

5、空项 1:_16.函数 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 z=e sinxy ，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.求 f(x，y)=z+xyx 2 y 2 在闭区域 D=(x，y)0x1，0y2)上的最大值和最小值（分数：2.00）_20.设 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围（分数：2.00）_21.设 f(x，y)具有二阶连续偏导数证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数 y=(x)在 x

6、=a 处取得极值b=(a)的必要条件是 f(a，b)=0，f x (a，b)=0，f y (a，b)0 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 （分数：2.00）_22.求函数 z=x 2 +y 2 +2x+y 在区域 D：x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值（分数：2.00）_23.求内接于椭球面 （分数：2.00）_24.在第一象限的椭圆 （分数：2.00）_25.厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p 1 和 p 2 ，销售量分别为 q 1 和 q 2 ，需求函数分别为 q 1 =2402p 1 和 q 2 =10

7、005p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 ) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?（分数：2.00）_26.在球面 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0,y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz 的最大值，并利用所得结果证明不等式 （分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.设 A，B，C 为常数，B 2 AC0，A0u(x，y)具有二阶连续偏导数试证明：必存在非奇异线性变换 = 1 x+y，= 2 x+y( 1 ， 2 为常数)， 将方程 （分数：2.00）_29.设 f(x，y)在

8、点 0(0，0)的某邻域 U 内连续，且 （分数：2.00）_30.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 x 2 y 2 在区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，y0)上的最大值与最小值（分数：2.00）_31.设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f xy (0，0)，h(1)=f yx (0，0)，且满足 求 u 的表达式，其中 （分数：2.00）_32.证明：f(x，y)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 在约束条件 g(x，y)=1 （分数：2.00）_33.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 P 1 和 P 2 ，销售量分别为 q 1 和 q

9、2 需求函数分别为：q 1 =2ap 1 +bp 2 ，q 2 =1cp 2 +dp 1 总成本函数 C=3+k(q 1 +q 2 )其中a，b，c，d，k 都为大于 0 的常数，且 4ac(b+d) 2 试问厂家如何确定两个市场的售价，能够使获得的总利润最大（分数：2.00）_34.设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x 2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量如果生产函数为 Q=2x 1 x 2 ，其中 ， 为正常数，且 +=1假设两种要素价格分别为 p 1 ，p 2 试问产出量为 12 时，两要素各投入多少，可以使得投入总费用最小?（分数：2.00）_35.设生产函数和成本函数分别

10、为 （分数：2.00）_考研数学三（多元函数微分学）-试卷 2 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.极限 （分数：2.00）A.等于 0B.不存在 C.等于D.存在，但不等于解析：解析：当取 y=kx 时，3.设 u=arcsin ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：将 x 视为常数，属基本计算4.极限 （分数：2.00）A.等于 0B.不存在 C.等于D.存在且不等于 0 及解析：解析：取 y=x，则 =0；取 y=x 2

11、，则 5.设 u=f(r)，而 r= ，f(r)具有二阶连续导数，则 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：属基本计算，考研计算中常考这个表达式6.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用“P Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题考查图 14-1 中因果关系的认知：7.设函数 u=u(x

12、，y)满足 及 u(x，2x)=x，u 1 (x，2x)=x 2 ，u 有二阶连续偏导数，则 u 11 (x，2x)= ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 u 1 +2u 2 =1，两边再对 x 求导得 u 11 +2u 12 +2u 21 +4u 22 =0， 等式 u 1 (x，2x)=x 2 两边对 x 求导得 u 11 +2u 12 =2x， 将式及 u 12 =u 21 ，u 11 =u 22 代入式中得 u 11 (x，2x)= 8.利用变量代换 u=x，v= ，可将方程 化成新方程 ( ) （分数：2.00）A.

13、B.C.D.解析：解析：由复合函数微分法 ，于是9.若函数 u= ，其中 f 是可微函数，且 （分数：2.00）A.x+yB.xy C.x 2 y 2D.(x+y) 2解析：解析：设 t= ，则 u=xyf(t)，10.已知 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则 ( )（分数：2.00）A.a=2，b=2B.a=3，b=2C.a=2，b=2 D.a=2，b=2解析：解析：由 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy 可知， =axy 3 +cos(x+2y)， =3x 2

14、 y 2 +bcos(x+2y)， 以上两式分别对 y，x 求偏导得 =3axy 2 2sin(x+2y)， =6xy 2 bsin(x+2y)， 由于 连续，所以 11.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且 （分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上 C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上解析：解析：令 12.设函数 z=(1+e y )cosxye y ，则函数 z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.

15、有无穷多个极大值点 D.有无穷多个极小值点解析：解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度，事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆 由 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设 f 可微，则由方程 f(cxaz，cybz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足 az x +bz x = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：c）解析：解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题 方程两边求全微分，得 f 1 (cdxadz)+f 2 (cdybdz)=0，即

16、 dz= ，故 az x +bz y = 14.设函数 z=z(x，y)由方程 sinx+2yz=e z 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程两端对 x 求偏导数 cosx+0 移项并解出15.函数 f(x，y，z)=2x 2 在条件 x 2 y 2 2z 2 =2 下的极大值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由拉格朗日乘数法即得16.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由117.设 z=e sinxy ，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正

17、确答案：正确答案：e sinxy cosxy(ydx+xdy)）解析：解析：z x =e sinxy cosxy.y，z y =e sinxy cosxy.x，则 dz=e sinxy cosxy(ydx+xdy)三、解答题(总题数：18，分数：36.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.求 f(x，y)=z+xyx 2 y 2 在闭区域 D=(x，y)0x1，0y2)上的最大值和最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是闭区域上求最值的问题由于函数 f(x，y)=x+xyx 2 y 2 在闭区域 D 上连续，所以一定存在最大值和最

18、小值 首先求 f(x，y)=x+xyx 2 y 2 在闭区域 D 内部的极值： 解方程组 得区域 D 内部唯一的驻点为 由 g(x，y)=(f xy ) 2 f xx f yy =3 得 f(x，y)=x+xyx 2 y 2 在闭区域 D 内部的极大值 再求 f(x，y)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值： 这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件 在 x 轴上约束条件为 y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，)=x+xyx 2 y 2 +y， 解方程组 得可能的极值点 ，其函数值为 在下面边界的端点(0，0)，(1，0)处 f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以，下面边界的

19、最大值为 ，最小值为 0 同理可求出： 在上面边界上的最大值为2，最小值为4； 在左面边界上的最大值为 0，最小值为4； 在右面边界上的最大值为 ，最小值为2 比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xyx 2 y 2 在闭区域 D 上的最大值为 )解析：20.设 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 ，可得 f x (x，y)=2kx+2ky，f xx (x，y)=2k， f y (x，y)=2kx+2y，f yy (x，y)=2， f xy (x，y

20、)=2k， 于是， 若=B 2 AC=4k 2 4k0 且 A=2k0，故 0k1； 若=B 2 AC=4k 2 4k=0，则 k=0 或 k=1， 当 k=0 时，f(x，y)=y 2 ，由于 f(x，0)0，于是点(0，0)非极小值点 当 k=1 时，f(x，y)=(x+y) 2 ，由于 f(x，x)0，于是点(0，0)也非极小值点 综上所述，k 的取值范围为(0，1)解析：21.设 f(x，y)具有二阶连续偏导数证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值b=(a)的必要条件是 f(a，b)=0，f x (a，b)=0，f y (a，b)0 且当 r(

21、a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题是一道新颖的计算性证明题，考查抽象函数的极值判别和高阶偏导数计算，计算量大，难度不小 y=(x)在 x=a 处取得极值的必要条件是 (a)=0而 (x)= (f y (x，y)0) 设 b=(a)，则 f(a，b)=0， =0 于是 f x (a，b)=0，f y (a，b)0又 当 0 时，(a)0，故 b=(a)是极大值； 当 )解析：22.求函数 z=x 2 +y 2 +2x+y 在区域 D：x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答

22、案：(正确答案：由于 x 2 +y 2 1 是有界闭区域，z=x 2 +y 2 +2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值 解方程组 由于(1) 2 + 1，即(1， )不在区域 D 内，舍去 函数在区域内部无偏导数不存在的点 再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求 z=x 2 +y 2 +2x+y 满足约束条件 x 2 +y 2 =1 的条件极值点此时，z=1+2x+y 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数 L(x，y，)=1+2x+y+(x 2 +y 2 1)， 解方程组 所有三类最值怀疑点仅有两个，由于 ，所以最小值 m=1 ，最大值 M=1+ )解析：23.求内接于椭球面

23、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设该内接长方体体积为 v，p(x，y，z)(x0，y0，z0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以 v=8xyz，x0，y0，z0 且满足条件=1因此，需要求出 v=8xyz 在约束条件 =1 下的极值 设 L(x，y，z，)=8xyz+( 1)，求出 L 的所有偏导数，并令它们都等于 0，有 ，分别乘以x，y，z，有 得 ，于是 或 =0(=0 时，8xyz=0，不合题意，舍去) 把 代入，有 1=0，解得 由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点 为顶点所作对称于坐标平面的长方体即

24、为所求的最大长方体，体积为 v= )解析：24.在第一象限的椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 g(x，y)= +y 2 1，则有 椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为 原点到该法线的距离为 d= 记 f(x，y)= ，x0，y0，约束条件为 g(x，y)= +y 2 1，构造拉格朗日函数 h(x，y，)=f(x，y)+g(x，y) 根据条件极值的求解方法，先求 令 =0，得联立方程组： 代入式得到： 根据实际问题，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为 )解析：25.厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p 1 和 p 2 ，销售量

25、分别为 q 1 和 q 2 ，需求函数分别为 q 1 =2402p 1 和 q 2 =10005p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 ) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总收入函数为 R=p 1 q 1 +p 2 q 2 =24p 1 02p 1 2 +10p 2 005p 2 2 总利润函数为 L=RC=32p 1 02p 1 2 005p 2 2 1395+12p 2 由极值的必要条件，得方程组 解此方程组得 p 1 =80，p 2 =120 由问题的实际含义可知，当 p 1 =80，

26、p 2 =120 时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为 )解析：26.在球面 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0,y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz 的最大值，并利用所得结果证明不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作拉格朗日函数 L(x，y，z，)=lnx+lny+31nz+(x 2 +y 2 +z 2 5R 2 )， 并令 由前 3 式得 x 2 =y 2 = ，代入第 4 式得可疑点(R，R， R)，因 xyz 3 在有界闭集x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0，y0，x0)上必有最大值，且最大值必在 x0，y0，z

27、0 取得，故f=lnxyz 3 在 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 也有最大值，而(R，R， R)唯一，故最大值为 f(R，R， R)=ln(3 R 5 )，又 lnx+1ny+31nxln(3 R 5 )，xyz 3 3 R 5 ，故 x 2 y 2 z 6 27R 10 令 x 2 =a，y 2 =b，z 2 =c，又知 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 ，则 abc 3 27( )解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)按定义易知 f x (0，0)=0，f y (0，0)=0 f(x,y)0= 0(当 x，y)(0，0)，所以 f(x，y)在点(0

28、，0)处连续 l 0 =(cos，sin)， cos 2 sin 2 =cos 2 sin 2 (存在) f=f(0+x，0+y)f(0，0)= ，按可微定义，若可微，则 即应有 但上式并不成立(例如取y=kx，上式左边为 )，故不可微 (2)以下直接证明成立，由此可推知，均成立事实上， )解析：28.设 A，B，C 为常数，B 2 AC0，A0u(x，y)具有二阶连续偏导数试证明：必存在非奇异线性变换 = 1 x+y，= 2 x+y( 1 ， 2 为常数)， 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入所给方程，将该方程化为 (A 1 2 +2B 1 +C) +2 1 2 )A+

29、( 1 + 2 )B+C +(A 2 2 +2B 2 +C) =0由于 B 2 AC0，A0，所以代数方程A 2 +2B+C=0 有两个不相等的实根 1 与 2 取此 1 与 2 ，此时 1 2 A+( 1 + 2 )B+C= (ACB 2 )0，代入变换后的方程，成为 )解析：29.设 f(x，y)在点 0(0，0)的某邻域 U 内连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 再令 a= +b，b0，于是上式可改写为 f(x，y)=xy+( +b+)(x 2 +y 2 )= (x+y) 2 +(b+)(x 2 +y 2 ) 由 f(x，y)的连续性，有 f(0，0)= f(x，y)

30、=0 另一方面，由 =0 知，存在点(0，0)的去心邻域 U (0)，当(x，y)U (0)时，有 )解析：30.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 x 2 y 2 在区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，y0)上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 f(x，y)在 D 的内部的驻点由 f x (x，y)=2x2xy 2 =0，f y (x，y)=4y2x 2 y=0， 解得 x=0 或 y=1；x= 或 y=0经配对之后，位于区域 D 内部的点为 M 1 ( ，1)，M 2 ( ，1) 经计算， f( ，1)=2，f( ，1)=2 再考虑 D 的边界上的f

31、(x，y)在 y=0 上，f(x，0)=x 2 ，最大值 f(2，0)=4，最小值 f(0，0)=0又在 x 2 +y 2 =4 上， =x 2 +2(4x 2 )x 2 (4x 2 )=x 4 5x 2 +8 g(x)(2x2) 令 g(x)=4x 3 10x=0， 得 x=0 或 x= 有 g(0)=8， ，比较以上所获得的那些函数值的大小，有 f(x，y)=f(0，2)=8， )解析：31.设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f xy (0，0)，h(1)=f yx (0，0)，且满足 求 u 的表达式，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u x =yzh

32、(xyz)，u xy =zh(xyz)+xyz 2 h(xyz)， u xyz =h(xyz)+xyzh(xyz)+2xyzh(xyz)+x 2 y 2 z 2 h(xyz)， 故 3xyzh(xyz)+h(xyz)=0，令 xyz=t，得 3th(t)+h(t)=0 设 v=h(t)，得 3tv+v=0，分离变量，得 v= ，从而h(t)=C 1 +C 2 又 f(x，0)=0，则易知 f x (00)=0，当(x，y)(0，0)时， 于是 f x (0，y)=y，所以 f xy (0，0)=1，由对称性知 f yx (0，0)=1，所以 h(1)=1,h(1)=1，从而 C 1 = ，C

33、2 = 这样 h(t)= ，从而 u= )解析：32.证明：f(x，y)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 在约束条件 g(x，y)=1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在全平面连续，1 =0 为有界闭区域，故 f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值 设(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )分别为最大值点和最小值点，令 L(x，y，)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +(1 )， 则(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )应满足方程 记相应乘子为 1 ， 2 ，则(x 1 ，y 1 ， 1 )满足 (A )x 1 +By 1 =0，Bx 1 +(c

34、 )y 1 =0， 解得 1 =Ax 1 2 +2Bx 1 y 1 +Cy 1 2 同理 2 =Ax 2 2 +2Bx 2 y 2 +Cy 2 2 即 1 ， 2 是 f(x，y)在椭圆 =1 上的最大值和最小值 又方程组和有非零解，系数行列式为 0，即 )解析：33.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 P 1 和 P 2 ，销售量分别为 q 1 和 q 2 需求函数分别为：q 1 =2ap 1 +bp 2 ，q 2 =1cp 2 +dp 1 总成本函数 C=3+k(q 1 +q 2 )其中a，b，c，d，k 都为大于 0 的常数，且 4ac(b+d) 2 试问厂家如何确定两个

35、市场的售价，能够使获得的总利润最大（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：收益函数 R=p 1 q 1 +p 2 q 2 =2p 1 ap 1 2 +P 2 cp 2 2 +(b+d)p 1 p 2 利润函数 L=RC=R3+k(q 1 +q 2 ) =2p 1 ap 1 2 +p 2 cp 2 2 +(b+d)p 1 p 2 3k(3ap 1 +bp 2 cp 2 +dp 1 ) )解析：34.设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x 2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量如果生产函数为 Q=2x 1 x 2 ，其中 ， 为正常数，且 +=1假设两种要素价格分别为 p 1 ，p 2 试问产出量为 12 时，两要素各投入多少，可以使得投入总费用最小?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：费用 c=p 1 x 1 +p 2 x 2 ，条件：12=2x 1 x 2 构造拉格朗日函数：F(x 1 ，x 2 ，)=(p 1 x 1 +p 2 x 2 )+(122x 1 x 2 ) 于是，有 )解析：35.设生产函数和成本函数分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y，)=ln(lx y )+(Saxby)=lnl+alnx+lny+(Saxby)，则 )解析：