【考研类试卷】考研数学一-高等数学多元函数微分学、多元函数积分学及答案解析.doc

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1、考研数学一-高等数学多元函数微分学、多元函数积分学及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：19，分数：19.00)1.极限 （分数：1.00）A.B.C.D.2.设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：1.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x，y)可微分，且对任意的 x，y 都有 （分数：1.00）A.B.C.D.4.已知 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy，则_Aa=2，b=-2 Ba=3，b=2Ca=2，b=2 Da=-2，b=2（分数：1.00）A.B.C.D.5.曲面 z=F(

2、x，y，z)的一个法向量为_A(F x，F y，F z-1) B(F x-1，F y-1，F z-1)C(F x，F y，F z) D(-F x，-F y，-1)（分数：1.00）A.B.C.D.6.设 u(x，y，z)=zarctan ，则 gradu(1，1，1)=_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.7.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：1.00）A.B.C.D.8.设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，z 是 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的全增量，则在点(x 0，y 0)处_Az=dz Bz=f x(x0，y 0)x+f y

3、(x0，y 0)yCz=f x(x0，y 0)dx+fy(x0，y 0)dy Dz=dz+o()（分数：1.00）A.B.C.D.9.曲线 在点(1，-1，0)处的切线方程为_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.10.在曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3的所有切线中，与平面 x+2y+z-4=0 半径的切线_A只有一条 B只有两条C至少有三条 D不存在（分数：1.00）A.B.C.D.11.下列命题中不正确的是_A设 f(u)有连续导数，则 (x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关B设 f(u)连续，则 f(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关C设

4、P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 ，则 Pdx+Qdy 在区域 D 内与路径无关D （分数：1.00）A.B.C.D.12.设区域 D=(x，y)|x 2+y24，x0，y0，f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则=_Aab B C(a+b) D （分数：1.00）A.B.C.D.13.设 L1：x 2+y2=1，L 2：x 2+y2=2，L 3：x 2+2y2=2，L 4：2x 2+y2=2 为四条逆时针方向的平面曲线，记（分数：1.00）A.B.C.D.14.累次积分 等于_A BC D （分数：1.00）A.B.C.D.15.设 D=(x，y)

5、|0x，0y，则 等于_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.16.设 ，其中 D：x 2+y2a 2，则 a 为_A1 B2C D （分数：1.00）A.B.C.D.17.设曲面是 z=x2+y2介于 z=0 与 z=4 之间的部分，则 （分数：1.00）A.B.C.D.18.设曲线 L：f(x，y)=1，f(x，y)具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N，为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是_A f(x，y)dx B f(x，y)dyC f(x，y)ds D fx(x，y)dx+f y(x，y)dy（分数：1.00）A.B.C.D

6、.19.设有空间区域 1：x 2+y2+z2R 2； 2：x 2+y2+z2R 2，x0，y0，z0则有_A BC D （分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：21，分数：21.00)20. （分数：1.00）填空项 1:_21.设 z=esinxy，则 dz= 1（分数：1.00）填空项 1:_22.设函数 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_23.由方程 xyz+ （分数：1.00）填空项 1:_24.设 z= ，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 （分数：1.00）填空项 1:_25.设函数 f(x，y)可微，且 f(1，1)=1，f x(1，1)=a，f y(1，

7、1)=b又记 (x)=fx，fx，f(x，x)，则 (1)=_（分数：1.00）填空项 1:_26.已知 z= ，其中 (u)可微，则 （分数：1.00）填空项 1:_27.曲面 （分数：1.00）填空项 1:_28.函数 f(x，y，z)=x 2+y3+z4在点(1，-1，0)处方向导数的最大值与最小值的平方和为_（分数：1.00）填空项 1:_29.函数 z=1-(x2+2y2)在点 M0 （分数：1.00）填空项 1:_30.曲面 x2+cos(xy)+yz+z=0 在点(0，1，-1)处的切平面方程为_（分数：1.00）填空项 1:_31.设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限

8、中的部分，则曲线积分 Lxdy-2ydx 的值为_（分数：1.00）填空项 1:_32.设 是由锥面 z= 与半球面 z= 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 （分数：1.00）填空项 1:_33.设曲面：|x|+|y|+|z|=1，则 （分数：1.00）填空项 1:_34.设曲面是 z= 的上侧，则 （分数：1.00）填空项 1:_35.已知曲线 L：y=x 2(0x （分数：1.00）填空项 1:_36.设 L 是柱面方程为 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 （分数：1.00）填空项 1:_37.设=(x，y，z)|

9、x+y+z=1，x0，y0，z0 则 （分数：1.00）填空项 1:_38.已知 A=(2x+yz)i+(6xy)j+(z2+xy)k，则 div(A)= 1（分数：1.00）填空项 1:_39.已知 A=(2z-3y)i+(3x-z)i+(y-2x)k，则 rot(A)=_（分数：1.00）填空项 1:_40.设区域 D 为 x2+y2R 2，则 （分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：60.00)41.用变换 可把 化简为 （分数：4.00）_42.设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t(x，y)，求 （分数：4.00）_43.设曲面 z

10、=f(x，y)二次可微，且 0，证明：对任给的常数 C，f(x，y)=C 为一条直线的充要条件是（分数：4.00）_44.函数 （分数：4.00）_45.在椭圆 x2+4y2=4 上求一点，使其到直线 2x+3y-6=0 的距离最短（分数：4.00）_46.设 x，y，zR +，求 u(x，y，z)=lnx+lny+3lnz 在球面 x2+y2+z2=5R2上的最大值，并证明：当a0，b0，c0 时，有（分数：4.00）_47.求函数 f(x，y)=x 3-y3+3x2+3y2-9x 的极值（分数：4.00）_48.求曲线 ： （分数：4.00）_49.已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆

11、周 x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周 x2+y2=4 到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分 I= L3x2ydx+(x2+x-2y)dy（分数：2.00）_50.计算二重积分 （分数：4.00）_51.设 ba0，证明 （分数：4.00）_52.设函数 f(x)为0，1上的单调减少且恒大于零的连续函数，证明：（分数：4.00）_53.计算二重积分 ，其中 D 是由曲线 x= （分数：4.00）_54.设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别为 a，b，试求这个三角形对其直角边的转动惯量（分数：4.00）_55.设闭区域 D：x 2+y2y，x0，f(x，y)为 D 上的连续函数，且（

12、分数：4.00）_56.计算 （分数：2.00）_考研数学一-高等数学多元函数微分学、多元函数积分学答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：19，分数：19.00)1.极限 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由于当 0x 2+y21 时，0|xyln(x 2+y2)| (x2+y2)ln(x2+y2)令 x2+y2=r，则，则 ，由夹逼准则，2.设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由复合函数求导法则，3.设函数 f(x，y)可微分，且对任意的 x，y 都有 （分数：1.00）A. B.C

13、.D.解析：解析 因 ，若 x1x 2，则 f(x1，y 1)f(x 2，y 1)；同理4.已知 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy，则_Aa=2，b=-2 Ba=3，b=2Ca=2，b=2 Da=-2，b=2（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy 可知，以上两式分别对 y，x 求偏导，得，由于 连续，因此5.曲面 z=F(x，y，z)的一个法向量为_A(F x，F y，F z-1) B(F x-1，F y-1，F z-1)C(F x，F

14、y，F z) D(-F x，-F y，-1)（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 曲面方程 z=F(x，y，z)可以写成 F(z，y，z)-z=0，由曲面的法向量计算公式，其法向量为(Fx，f y，F z-1)6.设 u(x，y，z)=zarctan ，则 gradu(1，1，1)=_A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由梯度计算公式，有7.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 已知 ，根据极限保号性，存在 0，当 0 时，有 成立，而 x2+1-xsinyx 2-x+1= ，所以当 08.设

15、 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，z 是 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的全增量，则在点(x 0，y 0)处_Az=dz Bz=f x(x0，y 0)x+f y(x0，y 0)yCz=f x(x0，y 0)dx+fy(x0，y 0)dy Dz=dz+o()（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，所以z=f x(x0，y 0)x+f y(x0，y 0)y+o()=dz+o()，9.曲线 在点(1，-1，0)处的切线方程为_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由法向量计算公式n=(Fx(xy

16、，y y，z y)，F y(xz，y z，z z)，F z(x0，y 0，z 0)得，曲面 x2+y2+z2=2 在点(1，-1，0)处的法向量为 n1=(2，-2，0)，平面 x+y+z=0 在点(1，-1，0)处的法线向量为 n2=(1，1，1)则曲线 在点(1，-1，0)处的切向量为=n 1n2=(-2，-2，4)则所求切线方程为10.在曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3的所有切线中，与平面 x+2y+z-4=0 半径的切线_A只有一条 B只有两条C至少有三条 D不存在（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 曲线的切向量为 T=(1，-2t，3t 2)，平面的法向量为 n=(

17、1，2，1)，于是由Tn=1-4t+3t2=0解得 t1=1，11.下列命题中不正确的是_A设 f(u)有连续导数，则 (x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关B设 f(u)连续，则 f(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关C设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 ，则 Pdx+Qdy 在区域 D 内与路径无关D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 对于 A，令 P(x，y)=xf(x 2+y2)，Q(x，y)=yf(x 2+y2)，则，得到 ，且全平面是单连通区域， LPdx+Qdy 在全平面内与路径无关A 正确对于 B，可求

18、得被积函数的原函数为，因而， Lf(x2+y2)(xdx+ydy)与路径无关B 正确对于 C，因 D 区域不一定是单连通区域，故 C 中积分不一定与路径无关C 不正确对于 D，取 L 为单位圆 x2+y2=1，并取逆时针方向，则12.设区域 D=(x，y)|x 2+y24，x0，y0，f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则=_Aab B C(a+b) D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 x 与 y 的可互换性，13.设 L1：x 2+y2=1，L 2：x 2+y2=2，L 3：x 2+2y2=2，L 4：2x 2+y2=2 为四条逆时针方向的平面曲线，记（分数

19、：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 Li所围区域封闭，故运用格林公式曲线 Li所围成的区域记为 Di(i=1，2，3，4)，由格林公式得 由 L1：x 2+y2=1，L 2：x 2+y2=2，L 3： =1，L 4： 可知 D1，D 2为圆域，D 3，D 4为椭圆域，而被积函数 f(x，y)=1- 为连续函数，在 D4上 f(x，y)0，但不恒等于 0，而在 D4之外，f(x，y)0 但不恒等于 0因为 D4 D1，故 I4I 1D 4和 D2的公共部分是 D4，D 2的剩余部分 f(x，y)0，但不恒等于 0因此 I4I 2D4和 D3的公共部分是相交的区域，D 4的剩余部分 f

20、(x，y)0 但不恒等于 0，而 D3的剩余部分14.累次积分 等于_A BC D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1，0y15.设 D=(x，y)|0x，0y，则 等于_A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 根据对称性，令 D1=(x，y)|0x，0yx，则16.设 ，其中 D：x 2+y2a 2，则 a 为_A1 B2C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由17.设曲面是 z=x2+y2介于 z=0 与 z=4 之间的部分，则 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 将曲面投影到

21、xOy 面上，记为 Dxy，则 ds= ，故18.设曲线 L：f(x，y)=1，f(x，y)具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N，为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是_A f(x，y)dx B f(x，y)dyC f(x，y)ds D fx(x，y)dx+f y(x，y)dy（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 记 M(xM，y M)，N(x N，y N)，则xM0，y M0；x N0，y N0A f(x，y)dx= 0B f(x，y)dy= 0C f(x，y)ds= =s，其中 s 为 从 M 到 N 的弧长D fx(x，y)dx+

22、f y(x，y)dy= (x，y)=19.设有空间区域 1：x 2+y2+z2R 2； 2：x 2+y2+z2R 2，x0，y0，z0则有_A BC D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设可知 1关于 yOz 坐标平面对称，选项 A 的左端积分中被积函数 x 为 x 的奇函数由三重积分的对称性质可知， (*)而在 2上，x0，从而 ，可知 A 不正确由于 2的边界曲面方程对 x，y 具有轮换对称性，可知 又由于 1关于 zox 坐标平面对称，选项B 中左端积分的被积函数为 y 的奇函数，由三重积分对称性可知，可知 B 不正确由于 1关 yOz 坐标平面对称，也关于 xOy

23、坐标平面对称，C 左端积分的被积函数 z 既为 x 的偶函数，也为 y 的偶函数，由两次使用三重积分对称性质，可得二、填空题(总题数：21，分数：21.00)20. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 21.设 z=esinxy，则 dz= 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：e sinxycosxy(ydx+xdy)）解析：解析 22.设函数 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析 由复合函数求导法则及导数与微分的关系，进而 ，则23.由方程 xyz+ （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 等式 xyz

24、+ 两边求微分得，把(1，0，-1)代入上式得 dz=dx-24.设 z= ，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由复合函数求导法则有 ，再将等式两边对 y 求偏导得25.设函数 f(x，y)可微，且 f(1，1)=1，f x(1，1)=a，f y(1，1)=b又记 (x)=fx，fx，f(x，x)，则 (1)=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：a(1+b+b 2+b3)）解析：解析 由题设 f(x，y)可微，且 f(1，1)=1，f x(1，1)=a，f x(1，1)=b又(x)=-f xx，fx，x)+f y

25、x，fx，f(x，x)fxx，f(x，x)+f yx，f(x，x)f x(x，x)+f y(x，x)，所以 (1)=f x(1，1)+f y(1，1)f x(1，1)+f y(1，1)If x(1，1)+f y(1，1)=a+ba+b(a+b)=a(1+b+b2+b3)26.已知 z= ，其中 (u)可微，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 由多元复合函数的求导法则所以27.曲面 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：a）解析：解析 设曲面上任意一点 M(x0，y 0，z 0)，则曲面在 M 点的法向量为，M 点的切平面方程为，即又因为 ，所以 M 点的切

26、平面方程满足等式，令 x=y=0，得切平面在 z 轴上的截距 z= ；x=z=0，得切平面在 y 轴上的截距y= ；y=z=0，得切平面在 x 轴上的截距 x= 故截距之和为28.函数 f(x，y，z)=x 2+y3+z4在点(1，-1，0)处方向导数的最大值与最小值的平方和为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：26）解析：解析 函数 f(x，y，z)=x 2+y3+z4在点(1，-1，0)处方向导数的最大值与最小值分别为函数f(x，y，z)在该点处梯度的模(长度)及梯度模(长度)的相反数由梯度计算公式，有gradf(1，-1，0)=(f x，f y，f z)|(1，-1，0) =

27、(2x，3y 2，4z 2)|(1，-1，0) =(2，3，0)，则该点处梯度的模长|gradf(1，-1，0)|= ，故所求平方和为29.函数 z=1-(x2+2y2)在点 M0 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 令 F(x，y)=x 2+2y2-1，则曲线 C 在点 M0 的法向量是( x， y)|M0=(2x，4y)| M0= ，因此曲线 C 在点 的内法线方向是 故 ，从而30.曲面 x2+cos(xy)+yz+z=0 在点(0，1，-1)处的切平面方程为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：x-y+z=-2）解析：解析 令 F(x，y，z)=x

28、2+cos(xy)+yz+x，则曲面的法向量n=Fx，F y，F z=2x-ysin(xy)+1，-xsin(xy)+z，y，则曲面 x2+cos(xy)+yz+x=0 在点(0，1，-1)处的法向量为 n=1，-1，1，故切平面方程为(x-0)-(y-1)+(z+1)=0，即 x-y+z=-231.设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线积分 Lxdy-2ydx 的值为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 正向圆周 x2+y2=2 在第一象限的部分，用极坐标可表示为于是32.设 是由锥面 z= 与半球面 z= 围成的空间区域，是 的整个边界的外

29、侧，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由高斯公式知，33.设曲面：|x|+|y|+|z|=1，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于曲面关于平面 x=0 对称，因此 又曲面：|x|+|y|+|z|=1 具有轮换对称性，于是34.设曲面是 z= 的上侧，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析 作辅助面 1：z=0，取下侧则由高斯公式，有35.已知曲线 L：y=x 2(0x （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由题意可知，x=x，y=x 2，0x ，则ds= ，所以36.设 L 是柱

30、面方程为 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：解析 曲线 L 的参数方程为其中 t 从 0 到 2因此37.设=(x，y，z)|x+y+z=1，x0，y0，z0 则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由曲面积分的计算公式可知 ，其中 D=(x，y)|x0，y0，x+y1故原式=38.已知 A=(2x+yz)i+(6xy)j+(z2+xy)k，则 div(A)= 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：2i+6xj+2zk）解析：解析 由散度

31、定义公式 div(A)=39.已知 A=(2z-3y)i+(3x-z)i+(y-2x)k，则 rot(A)=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：2i+4j+6k）解析：解析 由公式得40.设区域 D 为 x2+y2R 2，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用极坐标系，则三、解答题(总题数：16，分数：60.00)41.用变换 可把 化简为 （分数：4.00）_正确答案：(由 z=f(u，v)，且 u，v 分别是 x 与 y 的函数，则 ，那么，将以上结果代入原方程，整理得)解析：42.设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数

32、t(x，y)，求 （分数：4.00）_正确答案：(方法一：等式 y=f(x，t(x，y)两端对 x 求导得而 t=t(x，y)由 F(x，y，t)=0 所确定，则由隐函数存在定理有，于是 ，整理得 方法二：由 y=f(x，t)知 由 F(x，y，t)=0 知， ，得 dt= 将 dt 的表达式代入 dy= ，并整理可得)解析：43.设曲面 z=f(x，y)二次可微，且 0，证明：对任给的常数 C，f(x，y)=C 为一条直线的充要条件是（分数：4.00）_正确答案：(证明 必要性：若 f(x，y)=C 表示一条直线，则 f(x，y)一定是关于 x，y 的一次式，必有，其中 又因为 f(x，y)

33、=C，所以 ，则，(1)因此可得 f“xx(fy)2-2fxf“xy+f“yy(fx)2=0亦即(2)充分性：由(1)和(2)可知 )解析：44.函数 （分数：4.00）_正确答案：(在点(0，0)处有 ，所以如果考虑 P(x，y)沿着直线 y=x 趋于(0，0)则它不随 而趋于 0，这表示当 时， 并不是比 )解析：45.在椭圆 x2+4y2=4 上求一点，使其到直线 2x+3y-6=0 的距离最短（分数：4.00）_正确答案：(方法一：由点到直线的距离公式，椭圆 x2+4y2=4 上的点 P(x，y)到直线 2x+3y-6=0 的距离为由于 d 的表达式中含有绝对值，而 d2= ，所以本题

34、转化为求函数(2x+3y-6) 2在条件 x2+4y2=4 下的最小值点构造拉格朗日函数 F(x，y，)=(2x+3y-6) 2+(x 2+4y2-4)，则解得于是根据本题实际意义知，最短距离存在，即点 为所求的点方法二：作椭圆 x2+4y2=4 的切线 l，使其与直线 2x+3y-6=0 平行，这样的切线有两条，对应的两个切点，其中一个距直线 2x+3y-6=0 最远，另一个距直线 2x+3y-6=0 最近，直线 2x+3y-6=0 的斜率为 ，而椭圆 x2+4y2=4 在点 P(x，y)处切线斜率 y= 于是 ，即得8y=3x将 8y=3x 与 x2+4y2=4 联立解得由距离公式 知，点

35、 )解析：46.设 x，y，zR +，求 u(x，y，z)=lnx+lny+3lnz 在球面 x2+y2+z2=5R2上的最大值，并证明：当a0，b0，c0 时，有（分数：4.00）_正确答案：(构造拉格朗日函数 F(x，y，z，)=lnx+lny+3lnz+(x 2+y2+z2-5R2)，令解得驻点(R，R， )，且 u(R，R， )=ln( )，于是有lnxyz3in( )，故 ，特别地，取 x2=a，y 2=b，z 2=c，平方后即得 )解析：47.求函数 f(x，y)=x 3-y3+3x2+3y2-9x 的极值（分数：4.00）_正确答案：(由已知得 fx(x，y)=3x 2+6x-9

36、，f y(x，y)=-3y 2+6y令 得到 )解析：48.求曲线 ： （分数：4.00）_正确答案：(曲面 x2+z2=10 和曲面 y2+z2=10 在点 M0的法向量分别为 n1=(2x，0，2z)| (1，1，3) =2(1，0，3)，n2=(0，2y，2z)| (1，1，3) =2(0，1，3)由于切线的方向向量与它们均垂直，即有可取方向向量 l=(3，3，-1)，因此切线方程为 )解析：49.已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周 x2+y2=4 到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分 I= L3x2ydx+(x2+x-2y)dy（分数：2.00）_正确答案：(设圆 x2+y2=2x 为圆 C1，圆 x2+y2=4 为圆 C2，若补直线 L1为 x=0(0y2)，则由格林公式得)解析：50.计算二重积分 （分数：4.00）_正确答案：(画出积分区域 D 如下图所示用直线 x=1 将 D 分成两个积分区域：则 )解析：51.设 ba0，证明 （分数：4.00）_正确答案：