【考研类试卷】考研数学一-线性代数行列式、矩阵(三)及答案解析.doc

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1、考研数学一-线性代数行列式、矩阵(三)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：18，分数：9.00)1.记行列式 （分数：0.50）A.1B.2C.3D.42.若 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |=m，| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则 4 阶行列式| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |等于（分数：0.50）A.m+mB.-(m+n)C.n-mD.m-n3.设 A，B 均为 nn 矩阵，则必有 A.|A+B|=|A|+|B| B.AB=BA C.|AB|=|BA| D.(A+

2、B)-1+A-1+B-1（分数：0.50）A.B.C.D.4.设 A，B 为 n 阶矩阵，满足等式 AB=0，则必有（分数：0.50）A.A=0 或 B=0B.A+B=0C.|A|=0 或|B|=0D.|A|+|B|=05.设 n 维行向量 （分数：0.50）A.B.C.D.6.设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A*是 A 的伴随矩阵，则 A.(A*)*=|A|n-1A B.(A*)*=|A|n+1A C.(A*)*|A|n-2A D.(A*)*=|A|n+2A（分数：0.50）A.B.C.D.7.设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A*是 A 的伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有

3、(kA)*等于 A.kA* B.kn-1A* C.knA D.k-1A*（分数：0.50）A.B.C.D.8.设 A，B 为 n 阶矩阵，A*，B*分别是 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 ，则 C 的伴随矩阵 C*等于 A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.9.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于 A.A-1+B-1 B.A+B C.A(A+B)B-1 D.(A+B)-1（分数：0.50）A.B.C.D.10.设 ， ， ， （分数：0.50）A.B.C.D.11.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有（分数：

4、0.50）A.当|A|=(0)时，|B|=B.当|A|=(0)时，|B|=-C.当|A|0 时，|B|=0D.当|A|=0 时，|B|=012.设 A 为 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则（分数：0.50）A.rr1B.rr1C.r=r1D.r 与 r1 的关系依 C 而定13.设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=0，则 A 和 B 的秩（分数：0.50）A.必有一个等于 0B.都小于 nC.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n14.设矩阵 A mn 的秩 r(A)=mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（

5、分数：0.50）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0D.A 通过初等行变换，必可以化为(Em，0)形式15.设矩阵 A mn 的秩 r(A)=mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（分数：0.50）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.A 通过初等行变换，必可以化为(Em，0)形式D.非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多组解16.设 n(n3)阶矩阵 ，若矩阵 A 的秩为 n-1，则 必为 A1 B C-1 D （分数：0.50）A.B.C.D.17.设

6、 3 阶矩阵 （分数：0.50）A.=b 或 +2b=0B.=b 或 +2b0C.b 且 +2b=0D.b 且 +2b018.设矩阵 （分数：0.50）A.2B.3C.4D.5二、填空题(总题数：26，分数：52.00)19. （分数：2.00）20.n 阶行列式 （分数：2.00）21.五阶行列式 （分数：2.00）22.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）23.设 =(1，0，-1) T ，矩阵 A= T 为正整数，则|E-A n |= 1。 （分数：2.00）24.设行列式 （分数：2.00）25.设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且 （分数：2.00）26.设 A，B 均为 n

7、 阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则|2A * B -1 |= 1。 （分数：2.00）27.若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）28.已知 4 阶矩阵 A 相似于 B，A 的特征值为 2，3，4，5，E 为 4 阶单位矩阵，则|B-E|= 1。 （分数：2.00）29.设 3 阶矩阵 A，B 满足 A 2 B-A-B=E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，若 （分数：2.00）30.设 （分数：2.00）31.设 为 3 维列向量， T 是 的转置，若 （分数：2.00）32.设 （分数：2.00）33.设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的

8、秩为 1。 （分数：2.00）34.设 （分数：2.00）35. （分数：2.00）36.设 A 和 B 为可逆矩阵， （分数：2.00）37.设 （分数：2.00）38.设 （分数：2.00）39.设矩阵 （分数：2.00）40.设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵已知 AB=2A+B， （分数：2.00）41.设 n 维向量 =(，0，0，) T ，0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 （分数：2.00）42.设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，其中 （分数：2.00）43.已知 AB-B=A，其中 （分数：2.00）44.设矩阵 （分数：2.00）三、计算证明题(总

9、题数：16，分数：39.00)45.设 A 为 1010 矩阵 （分数：2.50）_46.设 A 为 3 阶方阵，A*是 A 的伴随矩阵，A 的行列式 （分数：2.50）_47.已知实矩阵 A=( ij ) 33 满足条件： (1) ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 是 ij 的代数余子式；(2) 11 0 计算行列式|A| （分数：2.50）_48.已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 （分数：2.50）_49.已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A 2 -3A-2E=0，其中 A 给定，而 E 是单位矩阵，证明 A 可逆，并求出其逆矩阵 A -1 （分数：2.50）_5

10、0.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =0试证明矩阵 E-A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为 n 阶单位矩阵) （分数：2.50）_51.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：2.50）_52.假设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中 （分数：2.50）_53.已知 X=AX+B，其中 （分数：2.50）_54.设 n 阶矩阵 A 和 B 满足条件 A+B=AB 已知 （分数：2.50）_55.设矩阵 （分数：2.50）_56.已知 （分数：2.50）_57.设(2E-C -1 B)A T ，其中 E 是 4

11、阶单位矩阵，A T 是 4 阶单位矩阵 A 的转置矩阵，且 （分数：2.50）_58.设矩阵 （分数：2.50）_59.已知矩阵 （分数：2.50）_60.已知 A，B 为 3 阶矩阵，且满足 2A -1 B=B-4E，其中 E 是 3 阶单位矩阵 若 （分数：1.50）_考研数学一-线性代数行列式、矩阵(三)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：18，分数：9.00)1.记行列式 （分数：0.50）A.1B.2 C.3D.4解析：2.若 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |=m，| 1 ，

12、 2 ， 2 ， 3 |=n，则 4 阶行列式| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |等于（分数：0.50）A.m+mB.-(m+n)C.n-m D.m-n解析：3.设 A，B 均为 nn 矩阵，则必有 A.|A+B|=|A|+|B| B.AB=BA C.|AB|=|BA| D.(A+B)-1+A-1+B-1（分数：0.50）A.B.C. D.解析：4.设 A，B 为 n 阶矩阵，满足等式 AB=0，则必有（分数：0.50）A.A=0 或 B=0B.A+B=0C.|A|=0 或|B|=0 D.|A|+|B|=0解析：5.设 n 维行向量 （分数：0.50）A.B.C. D.解析：6.设 n

13、阶矩阵 A 非奇异(n2)，A*是 A 的伴随矩阵，则 A.(A*)*=|A|n-1A B.(A*)*=|A|n+1A C.(A*)*|A|n-2A D.(A*)*=|A|n+2A（分数：0.50）A.B.C. D.解析：7.设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A*是 A 的伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA)*等于 A.kA* B.kn-1A* C.knA D.k-1A*（分数：0.50）A.B. C.D.解析：8.设 A，B 为 n 阶矩阵，A*，B*分别是 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 ，则 C 的伴随矩阵 C*等于 A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.

14、 解析：9.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于 A.A-1+B-1 B.A+B C.A(A+B)B-1 D.(A+B)-1（分数：0.50）A.B.C. D.解析：10.设 ， ， ， （分数：0.50）A.B.C. D.解析：11.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有（分数：0.50）A.当|A|=(0)时，|B|=B.当|A|=(0)时，|B|=-C.当|A|0 时，|B|=0D.当|A|=0 时，|B|=0 解析：12.设 A 为 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r

15、 1 ，则（分数：0.50）A.rr1B.rr1C.r=r1 D.r 与 r1 的关系依 C 而定解析：13.设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=0，则 A 和 B 的秩（分数：0.50）A.必有一个等于 0B.都小于 n C.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n解析：14.设矩阵 A mn 的秩 r(A)=mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（分数：0.50）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0 D.A 通过初等行变换，必可以化为(Em，0)形式解析：15.设矩阵 A mn 的秩 r

16、(A)=mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（分数：0.50）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.A 通过初等行变换，必可以化为(Em，0)形式D.非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多组解 解析：16.设 n(n3)阶矩阵 ，若矩阵 A 的秩为 n-1，则 必为 A1 B C-1 D （分数：0.50）A.B. C.D.解析：17.设 3 阶矩阵 （分数：0.50）A.=b 或 +2b=0B.=b 或 +2b0C.b 且 +2b=0 D.b 且 +2b0解析：18.设矩阵 （分数：0.50）A.2B.3C.4 D.5解析：二、填空

17、题(总题数：26，分数：52.00)19. （分数：2.00）解析：-320.n 阶行列式 （分数：2.00）解析： n +(-1) n+1 b n21.五阶行列式 （分数：2.00）解析：1-+ 2 - 3 + 4 - 522.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）解析：(-1) n-1 (n-1)23.设 =(1，0，-1) T ，矩阵 A= T 为正整数，则|E-A n |= 1。 （分数：2.00）解析： 2 (-2 n )24.设行列式 （分数：2.00）解析：-2825.设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且 （分数：2.00）解析：(-1) mn b26.设 A，B 均为 n

18、 阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则|2A * B -1 |= 1。 （分数：2.00）解析：27.若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）解析：2428.已知 4 阶矩阵 A 相似于 B，A 的特征值为 2，3，4，5，E 为 4 阶单位矩阵，则|B-E|= 1。 （分数：2.00）解析：2429.设 3 阶矩阵 A，B 满足 A 2 B-A-B=E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，若 （分数：2.00）解析：30.设 （分数：2.00）解析：031.设 为 3 维列向量， T 是 的转置，若 （分数：2.00）解析：332.设 （分数：2.00）解析：33

19、.设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为 1。 （分数：2.00）解析：034.设 （分数：2.00）解析：35. （分数：2.00）解析：36.设 A 和 B 为可逆矩阵， （分数：2.00）解析：37.设 （分数：2.00）解析：38.设 （分数：2.00）解析：39.设矩阵 （分数：2.00）解析：40.设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵已知 AB=2A+B， （分数：2.00）解析：41.设 n 维向量 =(，0，0，) T ，0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 （分数：2.00）解析：-142.设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，其中 （分

20、数：2.00）解析：43.已知 AB-B=A，其中 （分数：2.00）解析：44.设矩阵 （分数：2.00）解析：-3三、计算证明题(总题数：16，分数：39.00)45.设 A 为 1010 矩阵 （分数：2.50）_正确答案：()解析： 10 -10 10 46.设 A 为 3 阶方阵，A*是 A 的伴随矩阵，A 的行列式 （分数：2.50）_正确答案：()解析：47.已知实矩阵 A=( ij ) 33 满足条件： (1) ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 是 ij 的代数余子式；(2) 11 0 计算行列式|A| （分数：2.50）_正确答案：()解析：148.已

21、知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：49.已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A 2 -3A-2E=0，其中 A 给定，而 E 是单位矩阵，证明 A 可逆，并求出其逆矩阵 A -1 （分数：2.50）_正确答案：()解析：50.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =0试证明矩阵 E-A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为 n 阶单位矩阵) （分数：2.50）_正确答案：()解析：E+A+A 2 +A k-1 51.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：2.50）_正确答案：()解析：52.假设矩

22、阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中 （分数：2.50）_正确答案：()解析：53.已知 X=AX+B，其中 （分数：2.50）_正确答案：()解析：54.设 n 阶矩阵 A 和 B 满足条件 A+B=AB 已知 （分数：2.50）_正确答案：()解析：55.设矩阵 （分数：2.50）_正确答案：()解析：56.已知 （分数：2.50）_正确答案：()解析：57.设(2E-C -1 B)A T ，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶单位矩阵 A 的转置矩阵，且 （分数：2.50）_正确答案：()解析：58.设矩阵 （分数：2.50）_正确答案：()解析：59.已知矩阵 （分数：2.50）_正确答案：()解析：60.已知 A，B 为 3 阶矩阵，且满足 2A -1 B=B-4E，其中 E 是 3 阶单位矩阵 若 （分数：1.50）_正确答案：()解析：