（浙江专版）2020版高考数学一轮复习第二章不等式第二节一元二次不等式及其解法学案（含解析）.doc

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1、1第二节 一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系判别式 b24 ac 0 0 0二次函数y ax2 bx c (a0)的图象一元二次方程ax2 bx c0 (a0)的根有两相异实根x1， x2(x1 x2)有两相等实根x1 x2b2a 没有实数根一元二次不等式ax2 bx c0(a0)的解集x|x x1或 x x2 Error! R一元二次不等式ax2 bx c0 (a0)的解集x|x1 x x2 小题体验1(2019温州模拟)已知集合 A x|x23 x20， B x|x1，则 A B( )A(1,2) B(2，)C(1，) D解析：选 A 由题意知， A x|1 x2，故 A B x|1

2、 x22(教材习题改编)不等式 x22 x30 的解集为_答案：3不等式 ax2 abx b0 的解集为 x|2 x3，则 a_， b_.解析：由题意知 2,3是 ax2 abx b0 的两根，则Error!得Error!答案： 5561对于不等式 ax2 bx c0，求解时不要忘记讨论 a0 时的情形22当 0 时， ax2 bx c0( a0)的解集为 R还是，要注意区别3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论小题纠偏1不等式 0 的解集为( )x 3x 1A x|x1 或 x3 B x|1 x3C x|1 x3 D x|1 x3解析：选 C 由 0，得Error!x 3x 1解得

3、 1 x3.2若不等式 mx22 mx10 的解集为 R，则 m的取值范围是_解析：当 m0 时，10 显然成立当 m0 时，由条件知Error!得 0 m1.由知 0 m1.答案：0,1)考 点 一 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1已知函数 f(x)Error!则不等式 f(x) x2 的解集是_解析：当 x0 时，原不等式等价于 2x21 x2， x0；当 x0 时，原不12等式等价于2 x x2， x0.综上所述，原不等式的解集为Error!.答案：Error!2不等式 1 的解集为_2x 1x 5解析：将原不等式移项通分得

4、0，3x 4x 5等价于Error! 解得 x5 或 x .43所以原不等式的解集为Error!.答案：Error!3解下列不等式：(1)(易错题)3 x22 x80；(2) 2.x 5 x 1 2解：(1)原不等式可化为 3x22 x80，3即(3 x4)( x2)0.解得2 x ，43所以原不等式的解集为Error!.(2)不等式等价于Error!即Error!解得 x1 或 1 x3.12所以原不等式的解集为Error!.谨记通法解一元二次不等式的 4个步骤考 点 二 含 参 数 的 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领解关于 x的

5、不等式 ax2( a1) x10( a0)解：原不等式变为( ax1)( x1)0，因为 a0，所以 a (x1)0，(x1a)所以当 a1 时，解为 x1；1a当 a1 时，解集为；当 0 a1 时，解为 1 x .1a综上，当 0 a1 时，不等式的解集为Error!.当 a1 时，不等式的解集为.当 a1 时，不等式的解集为Error!.由题悟法解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式 与 0的关系(3)确定无根时可直接写

6、出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而4确定解集形式提醒 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于 0的情况即时应用1已知不等式 ax2 bx10 的解集是 ，则不等式 x2 bx a0 的解集是12， 13( )A(2,3)B(，2)(3，)C.(13， 12)D. ( ，13) (12， )解析：选 A 由题意知 ， 是方程 ax2 bx10 的根，所以由根与系数的关系12 13得 ， .解得 a6， b5，不等式 x2 bx a0，即为12 ( 13) ba 12 ( 13) 1ax25 x60，解集为(2,3)2若不等式 ax25 x20 的解集是Error

7、!.(1)求实数 a的值；(2)求不等式 ax25 x a210 的解集解：(1)由题意知 a0，且方程 ax25 x20 的两个根为 ，2，代入解得 a2.12(2)由(1)知不等式为2 x25 x30，即 2x25 x30，解得3 x ，12即不等式 ax25 x a210 的解集为 .( 3，12)考 点 三 一 元 二 次 不 等 式 恒 成 立 问 题 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与 x轴

8、的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围常见的命题角度有：(1)形如 f(x)0( f(x)0)( xR)确定参数的范围；(2)形如 f(x)0( x a， b)确定参数的范围；(3)形如 f(x)0(参数 m a， b)确定 x的范围 5题点全练角度一：形如 f(x)0( f(x)0)( xR)确定参数的范围1若不等式 2kx2 kx 0 对一切实数 x都成立，则 k的取值范围为( )38A(3,0) B3,0)C3,0 D(3,0解析：选 D 当 k0 时，显然成立；当 k0 时，即一元二次不等式 2kx2 kx 0 对一切实数 x都成立，则Error!解得383 k0.综上，满

9、足不等式 2kx2 kx 0 对一切实数 x都成立的 k的取值范围是(3,038角度二：形如 f(x)0( x a， b)确定参数的范围2已知函数 f(x) x2 ax b2 b1( aR， bR)，对任意实数 x都有 f(1 x) f(1 x)成立，若当 x1,1时， f(x)0 恒成立，则 b的取值范围为_解析：由 f(1 x) f(1 x)知 f(x)的图象关于直线 x1 对称，即 1，解得 a2.a2又因为 f(x)开口向下，所以当 x1,1时， f(x)为增函数，所以 f(x)min f(1)12 b2 b1 b2 b2，f(x)0 恒成立，即 b2 b20 恒成立，解得 b1 或

10、b2.所以 b的取值范围为(，1)(2，)答案：(，1)(2，)角度三：形如 f(x)0(参数 m a， b)确定 x的范围3若不等式 x2( a6) x93 a0 在| a|1 时恒成立，则 x的取值范围是_解析：将原不等式整理成关于 a的不等式( x3) a x26 x90.令 f(a)( x3) a x26 x9.因为 f(a)0 在| a|1 时恒成立，所以(1)若 x3，则 f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若 x3，则由一次函数的单调性，可得Error!即Error! 解得 x2 或 x4.故 x的取值范围是(，2)(4，)6答案：(，2)(4，)通法在握一元二次型不等式恒成立问

11、题的 3大破解方法方法 解 读 适合题型判别式法(1)ax2 bx c0 对任意实数 x恒成立的条件是Error!(2)ax2 bx c0 对任意实数 x恒成立的条件是Error!二次不等式在 R上恒成立(如“题点全练”第 1题)分离参数法如果不等式中的参数比较“孤单” ，分离后其系数与 0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解： a f(x)恒成立等价于 a f(x)max； a f(x)恒成立等价于 a f(x)min适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求(如“演练冲关”第 2题)主参换位法把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解常见的是转化

12、为一次函数 f(x) ax b(a0)在 m， n恒成立问题，若f(x)0 恒成立Error!若 f(x)0 恒成立Error!若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时(如“题点全练”第 3题)演练冲关1(2018台州模拟)不等式 a28 b2 b (a b)对于任意的 a， bR 恒成立，则实数 的取值范围为_解析：因为 a28 b2 b (a b)对于任意的 a， bR 恒成立，所以 a28 b2 b (a b)0 对于任意的 a， bR 恒成立，即 a2 ba (8 )b20 恒成立，由二次不等式的性质可得， 2b24( 8) b2 b

13、2( 24 32)0，所以( 8)( 4)0，解得8 4.答案：8,42设函数 f(x) mx2 mx1( m0)，若对于 x1,3， f(x) m5 恒成立，求 m的取值范围解：要使 f(x) m5 在1,3上恒成立，7则 mx2 mx m60，即 m 2 m60 在 x1,3上恒成立(x12) 34因为 x2 x1 2 0，(x12) 34又因为 m(x2 x1)60，所以 m .6x2 x 1因为函数 y 在1,3上的最小值为 ，所以只需 m 即可6x2 x 1 6(x 12)2 34 67 67因为 m0，所以 m的取值范围是(，0) .(0，67) 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(

14、2019浙江名校联考)已知集合 A y|y 1， B x|x2 x60，则xA RB ( )A1,2 B1,3C1,2) D1,3)解析：选 B 由题意知 A1，)， B(，2)(3，)，故 RB2,3，A RB 1,32(2018台州模拟)不等式 x22 x5 a23 a对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围为( )A1,4 B(，25，)C(，14，) D2,5解析：选 A x22 x5( x1) 24 的最小值为 4，所以 x22 x5 a23 a对任意实数 x恒成立，只需 a23 a4，解得1 a4.3(2018镇海中学月考)不等式 ax2 bx c0 的解集为 x|2 x3，则不

15、等式ax2 bx c0 的解集为_解析：令 f(x) ax2 bx c，其图象如下图所示，再画出 f( x)的图象即可，所以不等式 ax2 bx c0 的解集为 x|3 x2答案： x|3 x284(2018金华十校联考)若不等式 2x1 m(x21)对满足| m|2 的所有 m都成立，则 x的取值范围为_解析：原不等式化为( x21) m(2 x1)0.令 f(m)( x21) m(2 x1)(2 m2)则Error!解得 x ， 1 72 1 32故 x的取值范围为 .( 1 72 ， 1 32 )答案： ( 1 72 ， 1 32 )5(2018湖州五校联考)已知实数 x， y满足 x2

16、2 y2 x(2y1)，则12x_， y_，2 xlog 2y_.解析：法一：由已知得 2x24 y24 xy2 x10，即( x1) 2( x2 y)20，所以Error!解得 x 1， y ，2 xlog 2y2log 2 211.12 1法二：由已知得，关于 x的不等式 x2(2 y1) x2 y2 0(*)有解，所以12 (2 y1) 24 0，即 (2 y1) 20，所以 2y10，即 y ，此时(2y212) 12不等式(*)可化为 x22 x10，即( x1) 20，所以x1,2 xlog 2y2log 2 211.1答案：1 112 二保高考，全练题型做到高考达标1已知不等式

17、x22 x30 的解集为 A，不等式 x2 x60 的解集为 B，不等式x2 ax b0 的解集为 A B，则 a b等于( )A3 B1C1 D3解析：选 A 由题意得， A x|1 x3， B x|3 x2， A B x|1 x2，由根与系数的关系可知， a1， b2，则 a b3.2若 a0，则关于 x的不等式 x24 ax5 a20 的解集是( )A(， a)(5 a，)B(，5 a)( a，)C(5 a， a)9D( a，5 a)解析：选 B 由 x24 ax5 a20，得( x5 a)(x a)0， a0， x5 a或 x a.3(2018丽水五校联考)设函数 f(x)Error!

18、若 f(4) f(0)， f(2)0，则关于x的不等式 f(x)1 的解集为( )A(，31，) B3，1C3，1(0，) D3，)解析：选 C 因为 f(4) f(0)，所以当 x0 时， f(x)的对称轴为 x2，又 f(2)0，则 f(x)Error!不等式 f(x)1 的解为3，1(0，)，故选 C.4(2018宁波四校联考)设二次函数 f(x) x2 x a(a0)，若 f(m)0，则f(m1)的值为( )A正数B负数C非负数D正数、负数和零都有可能解析：选 A 设 f(x) x2 x a0 的两个根为 ， ，由 f(m)0，则 m ，由于二次函数 f(x) x2 x a的对称轴为

19、x ，且 f(0) a0，则12| |1， f(m1)0，故选 A.5若不等式 x2( a1) x a0 的解集是4,3的子集，则 a的取值范围是( )A4,1 B4,3C1,3 D1,3解析：选 B 原不等式为( x a)(x1)0，当 a1 时，不等式的解集为 a,1，此时只要 a4 即可，即4 a1；当 a1 时，不等式的解为 x1，此时符合要求；当a1 时，不等式的解集为1， a，此时只要 a3 即可，即 1 a3.综上可得4 a3.6不等式 x2 ax40 的解集不是空集，则实数 a的取值范围是_解析：不等式 x2 ax40 的解集不是空集， a2440，即 a216. a4 或 a

20、4.答案：(，4)(4，)7若关于 x的不等式 ax b的解集为 ，则关于 x的不等式 ax2 bx a0( ，15) 45的解集为_解析：由已知 ax b的解集为 ，可知 a0，且 ，将不等式( ，15) ba 1510ax2 bx a0 两边同除以 a，得 x2 x 0，即 x2 x 0，即 5x2 x40，解45 ba 45 15 45得1 x ，故所求解集为 .45 ( 1， 45)答案： ( 1，45)8(2018萧山月考)不等式 x2 ax b0( a， bR)的解集为Error!，若关于 x的不等式 x2 ax b c的解集为( m， m6)，则实数 c的值为_解析：因为不等式

21、x2 ax b0( a， bR)的解集为Error!，所以 x2 ax b 20，(x12a)那么不等式 x2 ax b c，即 2 c，所以 c0，(x12a)所以 x ，c12a c 12a又 m x m6， m6 m，c12a ( c 12a)即 2 6，所以 c9.c答案：99已知 f(x)3 x2 a(6 a)x6.(1)解关于 a的不等式 f(1)0；(2)若不等式 f(x) b的解集为(1,3)，求实数 a， b的值解：(1) f(x)3 x2 a(6 a)x6， f(1)3 a(6 a)6 a26 a3，原不等式可化为 a26 a30，解得 32 a32 .3 3原不等式的解集

22、为 a|32 a32 3 3(2)f(x) b的解集为(1,3)等价于方程3 x2 a(6 a)x6 b0 的两根为1,3，等价于Error! 解得Error!10关于 x的不等式Error!的整数解的集合为2，求实数 k的取值范围解：由 x2 x20 可得 x1 或 x2.Error! 的整数解为 x2，又方程 2x2(2 k5) x5 k0 的两根为 k和 .5211若 k ，52则不等式组的整数解集合就不可能为2；若 k，则应有2 k3.3 k2.52综上，所求 k的取值范围为3,2) 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若关于 x的不等式 x24 x2 a0 在区间(1,4)内有解，则实数

23、 a的取值范围是( )A(，2) B(2，)C(6，) D(，6)解析：选 A 不等式 x24 x2 a0 在区间(1,4)内有解等价于 a( x24 x2) max，令 g(x) x24 x2， x(1,4)， g(x) g(4)2， a2.2设 f(x) ax2 bx c，若 f(1) ，问是否存在 a， b， cR，使得不等式72x2 f(x)2 x22 x 对一切实数 x都成立，证明你的结论12 32解：由 f(1) ，得 a b c .72 72令 x2 2 x22 x ，解得 x1.12 32由 f(x)2 x22 x 推得 f(1) ，32 32由 f(x) x2 推得 f(1)

24、 ，12 32 f(1) . a b c .故 a c 且 b1.32 32 52 f(x) ax2 x a.52依题意 ax2 x a x2 对一切 xR 都成立，52 12即( a1) x2 x2 a0 对一切 xR 都成立 a1 且 14( a1)(2 a)0.即(2 a3) 20，(2 a3) 20，由 a10 得 a . f(x) x2 x1.32 32证明如下： x2 x12 x22 x x2 x (x1) 20.32 32 12 12 12 x2 x12 x22 x 对 xR 都成立32 3212x2 x1 x2 x2 x (x1) 20，32 12 12 12 12 x2 x2 x1 对 xR 都成立12 32存在实数 a ， b1， c1，使得不等式 x2 f(x)2 x22 x 对一切 xR 都32 12 32成立13